广东省肇庆市高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.1 数系的扩充和复数的概念教案 理 新人教A版选修2-2

广东省肇庆市高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念教案理新人教A版选修2-2授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间教学内容分析本节课的主要教学内容是数系的扩充和复数的概念。学生将学习实数系的局限性，了解数系扩充的必要性，并掌握复数的概念。具体内容包括：

1.实数系的局限性：学生将通过实例了解实数系在表示某些问题时存在的局限性，例如无法表示实数轴上的点(-1)的平方根。

2.数系扩充的目的：学生将学习数系扩充的目的是为了解决实数系无法表示的问题，以及复数在数学和物理学中的应用。

3.复数的概念：学生将学习复数的定义，了解复数由实部和虚部组成，并能表示为a+bi的形式，其中i是虚数单位。

4.复数的性质：学生将学习复数的基本性质，包括复数的相等性、实部和虚部的性质、复数的乘法和除法运算等。

教学内容与学生已有知识的联系：学生在之前的数学学习中已经掌握了实数的基本概念和运算规则，本节课将在此基础上进行数系的扩充，引入复数的概念和运算规则。学生需要将已有的实数知识与复数知识进行联系和整合，理解复数在数学和物理学中的作用。核心素养目标本节课的核心素养目标包括：

1.逻辑推理：学生能够通过实例和数学证明，理解实数系的局限性和数系扩充的必要性，以及复数的概念和性质。

2.数学建模：学生能够将复数知识应用到实际问题中，例如在物理学中处理振动问题，理解复数在数学建模中的作用。

3.直观想象：学生能够通过图形和几何直观地理解复数的概念和运算，例如在复平面中表示复数，并理解复数的几何意义。

4.数学运算：学生能够掌握复数的四则运算规则，包括复数的加法、减法、乘法和除法，并能熟练进行相关的计算。教学难点与重点1.教学重点：

（1）数系的扩充：本节课的核心内容是数系的扩充，学生需要理解实数系的局限性和数系扩充的必要性。教师可以通过举例解释，如无法用实数表示负数的平方根，引导学生理解数系扩充的重要性。

（2）复数的概念：学生需要掌握复数的定义，了解复数由实部和虚部组成，并能表示为a+bi的形式，其中i是虚数单位。教师可以借助图形和几何直观地展示复数的概念，帮助学生更好地理解。

（3）复数的性质：学生需要熟悉复数的基本性质，包括复数的相等性、实部和虚部的性质、复数的乘法和除法运算等。教师可以通过具体的例子和数学证明，引导学生理解和掌握这些性质。

2.教学难点：

（1）复数的概念：学生可能对虚数单位i的理解存在困难，难以接受i的平方等于-1这一规定。教师可以通过实际例子和生活中的比喻，如电梯上升和下降的相反方向，帮助学生理解虚数单位i的意义。

（2）复数的四则运算：学生可能对复数的加法、减法、乘法和除法运算规则感到困惑。教师可以通过具体的例子和数学证明，引导学生理解和掌握这些运算规则。

（3）复数的几何意义：学生可能对复数在复平面上的表示和几何意义感到难以理解。教师可以通过图形和几何直观地展示复数的几何意义，如复数在复平面上的位置与实部和虚部的关系，帮助学生更好地理解。教学方法与策略1.教学方法：

（1）讲授法：在课堂上，教师可以采用讲授法，系统地、逻辑性地向学生介绍数系的扩充和复数的概念、性质及其运算规则。通过教师的讲解，学生能够全面、深入地掌握本节课的核心知识。

（2）案例研究法：教师可以选取一些与实际生活相关的案例，如电路中的交流电、物理中的振动问题等，引导学生运用复数知识进行分析和解决。通过案例研究，学生能够将理论知识与实际应用相结合，提高解决问题的能力。

（3）小组讨论法：在课堂上，教师可以组织学生进行小组讨论，让学生围绕某一问题展开探讨，如复数的几何意义、复数的四则运算等。通过小组讨论，学生能够加深对知识点的理解，提高沟通与合作能力。

2.教学活动设计：

（1）角色扮演：教师可以让学生扮演数学家和物理学家的角色，分别介绍复数在数学和物理学中的发展历程和应用。通过角色扮演，学生能够更加生动地理解复数的重要性。

（2）实验活动：教师可以组织学生进行实验，如利用计算器求解复数的四则运算，让学生亲身体验复数的运算过程。通过实验活动，学生能够加深对复数运算规则的理解。

（3）游戏设计：教师可以设计一些与复数相关的游戏，如“复数接龙”、“复数猜猜看”等。通过游戏，学生能够在轻松愉快的氛围中巩固复数知识。

3.教学媒体和资源：

（1）PPT：教师可以制作精美的PPT，通过图文并茂的方式呈现数系的扩充和复数的概念、性质及其运算规则。PPT能够帮助学生更好地理解和记忆知识点。

（2）视频：教师可以选取一些与复数相关的视频资源，如数学家介绍复数的演讲、物理学中应用复数的实验视频等。视频资源能够直观地展示复数在实际中的应用，激发学生的学习兴趣。

（3）在线工具：教师可以引导学生利用在线工具，如数学软件、在线计算器等，进行复数的运算和分析。在线工具能够帮助学生更好地掌握复数的运算技巧。教学实施过程1.课前自主探索：

教师活动：教师提前布置预习任务，要求学生阅读教材中关于数系的扩充和复数的概念、性质及运算规则的内容。

学生活动：学生自主阅读教材，初步了解数系的扩充和复数的概念、性质及运算规则。

教学方法：自主学习法

教学手段：教材、学习笔记

教学资源：教材

作用和目的：培养学生自主学习的能力，为课堂学习做好铺垫。

2.课中强化技能：

（1）导入新课：

教师活动：教师通过回顾实数系的内容，引出数系扩充的必要性，进而引入复数的概念。

学生活动：学生跟随教师思路，回顾实数系内容，理解数系扩充的必要性。

教学方法：讲授法

教学手段：PPT、黑板

教学资源：PPT、黑板

作用和目的：激发学生学习兴趣，为新课学习做好铺垫。

（2）讲解复数概念：

教师活动：教师详细讲解复数的定义，并通过实例解释虚数单位i的意义。

学生活动：学生认真听讲，记录关键知识点，参与课堂讨论。

教学方法：讲授法、互动讨论法

教学手段：PPT、黑板

教学资源：PPT、黑板

作用和目的：帮助学生深入理解复数的概念，突破学习难点。

（3）复数的几何表示：

教师活动：教师利用图形和几何直观展示复数的几何意义，解释复数在复平面上的表示方法。

学生活动：学生观察图形，跟随教师讲解，理解复数的几何意义。

教学方法：直观展示法、讲授法

教学手段：PPT、图形演示工具

教学资源：PPT、图形演示工具

作用和目的：帮助学生形象地理解复数的几何意义，加深对知识点的印象。

（4）复数运算规则：

教师活动：教师讲解复数的加法、减法、乘法和除法运算规则，并通过实例进行演示。

学生活动：学生跟随教师讲解，参与课堂练习，巩固运算规则。

教学方法：讲授法、互动讨论法

教学手段：PPT、黑板

教学资源：PPT、黑板

作用和目的：使学生熟练掌握复数的运算规则，提高运算能力。

3.课后拓展应用：

教师活动：教师布置课后作业，要求学生运用所学知识解决实际问题，如电路中的交流电问题。

学生活动：学生完成课后作业，运用复数知识解决实际问题。

教学方法：自主学习法、实践应用法

教学手段：教材、学习笔记

教学资源：教材

作用和目的：培养学生运用所学知识解决实际问题的能力，巩固课堂所学。知识点梳理1.实数系的局限性

-实数系无法表示实数轴上的点(-1)的平方根。

-实数系无法表示某些物理问题中的速度、加速度等向量。

2.数系的扩充

-引入虚数单位i，满足i^2=-1。

-数系扩充为复数系，包括实数和虚数。

3.复数的概念

-复数由实部和虚部组成，表示为a+bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。

-复数的零点、无穷大和复平面。

4.复数的性质

-复数的相等性：两个复数相等当且仅当它们的实部和虚部都相等。

-实部和虚部的性质：复数的实部是实数，虚部是实数的倍数。

-复数的乘法和除法运算：

-乘法：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

-除法：(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c^2+d^2)+(bc-ad)/(c^2+d^2)i

5.复数的几何意义

-复数在复平面上的表示：实部对应x轴，虚部对应y轴。

-复数的几何运算：加法、减法、乘法和除法在复平面上的直观表示。

6.复数的应用

-复数在电路分析中的应用：交流电的相位和频率。

-复数在物理学中的应用：速度、加速度的向量表示。

-复数在数学分析中的应用：复变函数、复数积分等。

7.复数的运算规则

-复数的加法和减法：实部相加或相减，虚部相加或相减。

-复数的乘法：分配律、结合律和交换律。

-复数的除法：分子分母同乘以分母的共轭复数。

8.复数的模和辐角

-复数的模：复数到原点的距离，表示为|a+bi|=sqrt(a^2+b^2)。

-复数的辐角：复数在复平面上的旋转角度，表示为arg(a+bi)。

9.复数的乘方和根

-复数的乘方：遵循实数和虚数的乘方规则。

-复数的根：复数的n次根存在且唯一，当n为正偶数时，根有两个；当n为正奇数时，根有四个。典型例题讲解七、典型例题讲解

例题1：求复数z=3-4i的模和辐角。

解答：

（1）求模：

模长|z|=sqrt(3^2+(-4)^2)=sqrt(9+16)=sqrt(25)=5。

（2）求辐角：

由于3>0，-4<0，故复数z在复平面上的位置在第四象限。

设复数z=r(cosθ+isinθ)，其中r为模长，θ为辐角。

则cosθ=3/5，sinθ=-4/5。

因此，θ=arctan(-4/3)，即θ≈-53.13°。

例题2：求复数z=1+i的平方。

解答：

复数z的平方可以直接按照复数乘法规则进行计算：

z^2=(1+i)(1+i)=1*1+1*i+i*1+i*i

=1+i+i+i^2

=1+2i-1

=2i。

因此，复数z=1+i的平方等于2i。作业布置与反馈作业布置：

1.完成教材P68的练习题1-5，要求学生独立完成，巩固本节课所学的复数概念和运算规则。

2.选取一些实际问题，如电路中的交流电问题，让学生运用复数知识进行分析和解决，提高学生运用所学知识解决实际问题的能力。

3.让学生设计一个复数相关的数学小游戏，如复数接龙、复数猜猜看等，通过游戏巩固复数知识，提高学生的学习兴趣。

作业反馈：

1.在批改学生作业时，重点关注学生对复数概念的理解和运用，如复数的表示方法、实部和虚部的运算等。

2.对于学生在作业中出现的错误，及时给予指出并给出正确的解答，帮助学生纠正错误。

3.对于学生的优秀作业，可以给予表扬和鼓励，以提高学生的学习积极性。

4.针对学生在作业中普遍存在的问题，可以在课堂上进行讲解和解答，确保学生能够掌握所学知识。

5.鼓励学生之间相互讨论和交流，共同解决问题，提高学生的合作能力。板书设计①实数系的局限性

-无法表示实数轴上的点(-1)的平方根。

-无法表示向量等物理问题。

②数系的扩充

-引入虚数单位i，满足i^2=-1。

-数系扩充为复数系，包括实数和虚数。

③复数的概念

-复数由实部和虚部组成，表示为a+bi。

-复数的零点、无穷大和复平面。

④复数的性质

-复数的相等性：实部和虚部都相等。

-实部和虚部的性质：实部是实数，虚部是实数的倍数。

-复数的乘法和除法运算规则。

⑤复数的几何意义

-复数在复平面上的表示：实部对应x轴，虚部对应y轴。

-复数的几何运算：加法、减法、乘法和除法在复平面上的直观表示。

⑥复数的应用

-复数在电路分析中的应用：交流电的相位和频率。

-复数在物理学中的应用：