统计物理第二章

统计物理第二章玻尔兹曼统计南京工业大学理学院吴高建1上一章内容概括1、粒子运动状态的描述方法：和

经典粒子：－空间、相轨道的概念、

量子粒子:量子数、可能量子状态数目的计算

2、系统微观状态的经典和量子描述

经典粒子系统：－空间中的N个点

量子粒子系统：定域和非定域、全同性、统计特性

3、等几率原理：任何微观状态的几率均相等

4、玻尔兹曼、玻色、费米系统的微观状态数目

的计算及其关系

5、玻尔兹曼、玻色、费米系统的最可几分布

（可以看作是平衡态时的分布）

＝（，T）、＝（T）的物理意义

三种分布之间的关系2玻尔兹曼、玻色、费米分布，以及三者之间的关系玻色粒子，玻色分布费密粒子，费密分布可分辨粒子，玻尔兹曼分布非兼并条件下注意：全同性带来的微观状态数目的差异注意：全同性带来的微观状态数目的差异全同性对微观状态数目的影响：粒子之间的交换能否引起系统微观状态的改变！（N！）3我们已经知道，如何描述粒子的运动状态（能级、简并度）、可能状态数目的计算方法（态密度）、处于平衡态时系统的分布公式等。

后面的任务

近独立粒子系统的宏观性质的计算：

一、玻尔兹曼统计

二、玻色、费米统计42.1热力学量的统计表达式5定域系统或者满足经典极限条件的玻色、费米系统都服从玻尔兹曼分布。本章根据玻尔兹曼分布讨论这两类系统的热力学性质（内能、熵、自由能等）。首先推导热力学量的统计表达式。根据玻尔兹曼分布，系统的内能和粒子数可以由右边的两式计算。右式中，和是两个常数。6上面给出了、N、Z之间的关系。可以利用这种关系消去内能计算式中的

。配分函数7对于服从玻尔兹曼分布的系统，知道其配分函数Z，就可以求得其内能！配分函数Z，根据定义，与系统的体积V、温度T等有关。1内能8在热力学中讲过，系统可以通过功和热量的方式同外界交换能量。在无穷小的过程中：对于准静态过程，外界作的功可以表示为dW=Ydy的形式。其中，Y是广义力，dy是外参量的变化。例如：当系统在准静态过程中体积有dV的变化时，外界对系统做的功为-PdV。2广义作用力9粒子的能量是外参量的函数（例如：自由粒子的能量是体积V的函数）。由于外参量的变化，外界施于处于能级

l上的一个粒子的广义力等于

l/y。因此，外界对系统的广义力Y为：10这样，如果知道了系统的配分函数Z，就可以计算系统的内能和外界对系统的广义力。系统的压强（广义力的负值）可以表述为：这实际上给出了系统的物态方程：P＝P（T，V）11上面求得的宏观物理量的统计表达式都是将宏观量对应的微观量进行统计平均得到的。例如：内能对应着粒子的微观能级；广义力对应着能级对广义坐标的偏微分等。

根据分布可以直接求得系统的内能，外界的广义功等。热量是热现象中特有的宏观量，与内能和广义力不同，没有与热量相对应的微观量；熵本身是一个宏观统计的结果，也没有与之对应的微观量。因此，不可能根据分布直接计算得出。一个可行的办法是从热力学第一、二定律出发，将内能和广义功的统计表达式进行比较得到。12外界所作的功体现为：粒子分布不变，能级的改变；

所吸收的热量体现为：粒子能级不变，分布的改变。3热量：寻找热量与配分函数之间的关系。13由上述关系，可以推导出热量的微分表达式：由于lnZ是（，y）的函数，有：代入该式中14

dQ的微分表达式15①根据热力学第二定律，微热量dQ存在一个积分因子1/T：dS是系统的熵的完整微分当微分式有一个积分因子时，它有无穷多个积分因子。任意两个积分因子之比是S的函数（dS是用积分因子乘微分式dQ后得到的完整微分）。

只是T的函数，k不是S的函数，因而是一个常数。与系统的性质无关，是一个普适常数。4熵16S是积分常数熵常数②熵的统计意义：得到了服从玻尔兹曼分布的系统的熵与粒子数、内能等的关系。其中，熵常数S待定。17a)对于定域系统，粒子可以分辨，服从玻尔兹曼分布其微观状态数目为：对最可几分布所对应的系统微观状态数目取对数，得到了系统的微观状态数目的对数与系统包含的粒子数、内能等的关系式。最可几分布满足的条件而且有下式成立：18b)在非简并条件下，费米和玻色系统服从玻尔兹曼分布，微观状态数目为

而且有下式成立：对最可几分布所对应的系统微观状态数目取对数，得到了系统的微观状态数目的对数与系统包含的粒子数、内能等的关系式。19S是熵常数现在来比较一下系统的微观状态数目的对数与系统的熵的表达式，以图得到熵常数S。对于定域系统满足非经典极限条件的非定域系统对于定域系统，取S＝0，有：对于满足经典极限条件的非定域系统，取：20玻尔兹曼关系式这样，熵就有了它的统计意义：它是系统的微观状态数目的对数乘以k。同时熵也有了一个绝对的数值。熵是混乱度的量度。如果某个宏观状态的微观状态数目愈多，它的混乱度就愈大，熵也愈大。在理想的绝对零度下，系统处于基态，状态数很小，所以熵近似为0或者等于0。孤立系统的熵增原理：系统总是朝着微观状态数目增加的方向过渡，那样的状态有更大的几率出现。熵是一种统计性质，对少数几个粒子组成的系统谈不到熵。因此，热力学第二定律适用于粒子数非常多的系统。21这样，对于定域系统，其熵的计算公式为：对于满足经典极限条件的非定域系统，其熵的计算公式为：上述两式的区别是由粒子的全同性（不可分辨性）引起的。22对于遵从玻尔兹曼分布的定域系统、满足经典极限条件的玻色、费米系统，从玻尔兹曼分布得到系统的内能和广义力的统计表达式：可分辨粒子系统：不可分辨粒子系统：熵与系统的微观状态数有关，可从热力学第一、第二定律出发，比较内能、广义功、热量等的表达式导出。23求出了系统的配分函数Z，就可以求得系统的基本热力学函数：内能U、物态方程、熵S，从而确定系统的全部平衡性质。因此，Z是以和y（对简单系统，即T和V）为变量的特性函数。对于以T和V为变量的简单系统，特性函数为系统的自由能F=U-TS可分辨粒子系统，或者说定域系统：满足经典极限条件的玻色、费米系统：245拉氏乘子

,β的物理意义满足经典极限条件的玻色、费米系统：拉氏乘子的表达式：拉氏乘子的表达式：25玻尔兹曼分布函数定义配分函数Z由Z表示的内能由Z表示的广义力由Z表示熵，与微观态数目有关由Z表示的自由能F，与系统微观状态数目有关（利用热力学第一定律和第二定律）F=U-TSF=U-TS能级和简并度能级和简并度量子力学计算实验数据26比较玻尔兹曼分布的量子表达式和经典表达式，知道配分函数的经典表达式应该为：如果

l取的足够小，上式的求和可以写成积分形式：注意：ho的取值对于系统的内能和物态方程没有影响，但是对熵有影响：不同的取值相差一个常数。当令ho＝h，在能级密集、任意两个能级的差值远小于kT时，经典统计的结果可以作为量子统计的极限结果而得到。6经典统计理论中热力学函数的表达式。272.2理想气体的物态方程281一般气体满足经典极限条件，遵从玻尔兹曼分布。考虑单分子理想气体，如Ar,Ke,Xe

等。需要知道能级及其简并度关键在于求得配分函数Z系统的

l,l如何求得能级及其简并度292理想气体的配分函数的可能值如下：把单原子理想气体看作是在容器中自由运动的粒子，有：考虑：在宏观大小的容器中运动的理想气体，其动量值和能量值可以看作是连续的。30在dxdydzdPxdPydPz范围内，分子的微观状态数为：上式可以分为六个积分的乘积：31或：利用球极坐标，分子的自旋为零，则分子的动量在pp＋dp内的可能的微观状态数为：32理想气体的物态方程3理想气体的物态方程334对于单原子理想气体，其他的物理量的导出：34作一些基本假设，求出系统的配分函数Z可以求出系统的内能U(T,V)、物态方程P(T,V)、自由能F(T,V)、熵S(T,V)、化学势

(T,V)等等根据热力学函数关系，可以求出系统的其他宏观物理量确定了系统在平衡态时的性质354一般气体满足经典极限条件：e

>>1。经典极限条件也可以写成另一种表述：气体愈稀薄；温度愈高；质量愈大。气体中分子间的平均距离远远大于deBrogile波长。362.3麦克斯韦速度分布律37上一课知识回顾玻尔兹曼统计及其应用：1、如何计算遵循玻尔兹曼分布的系统的宏观性质

公式推导：内能、物态方程、熵、自由能等2、如何利用上述知识求得实际系统的宏观性质

单原子理想气体：内能、物态方程、熵等38作一些基本假设，求出系统的配分函数Z可以求出系统的内能U(T,V)、物态方程P(T,V)、自由能F(T,V)、熵S(T,V)、化学势

(T,V)等等根据热力学函数关系，可以求出系统的其他宏观物理量确定了系统在平衡态时的性质39玻尔兹曼分布函数定义配分函数Z由Z表示的内能由Z表示的广义力由Z表示熵，与微观态数目有关由Z表示的自由能F，与系统微观状态数目有关（利用热力学第一定律和第二定律）F=U-TSF=U-TS能级和简并度能级和简并度量子力学计算实验数据40量子统计

全同性，统计特性

非轨道运动，量子数描述运动状态

能量分立（能级、简并度）

玻尔兹曼、玻色、费米分布满足准经典条件时：能量可以看作准连续。此时，能级的简并度可以用态密度代替，而且对能级的求和变为积分。半经典统计：

（经典极限条件下的量子统计）

粒子具有全同性

玻色、费米的统计特性被忽略

能量分立（能级、简并度）

玻尔兹曼分布

满足准经典条件时：能量可以看作准连续。能级的简并度可用态密度代替，对能级的求和变为积分。经典统计（经典粒子）：粒子可以区分，遵循牛顿力学，遵循玻尔兹曼分布。借用准经典近似条件下的态密度的求法后，同定域系统的玻尔兹曼分布很类似（h，h0）。量子统计、半经典统计、经典统计的联系和区别41假设气体含有N个分子，体积为V，满足经典极限条件，遵从玻尔兹曼分布。在宏观大小的容器内运动时，分子的平动能量可以看作是准连续的变量。因此，量子统计理论和经典统计理论给出相同的结果。利用经典统计理论进行讨论。玻尔兹曼分布的经典表达式为：在没有外场时，分子质心运动能量的经典表达式是：1麦克斯韦速度分布律42气体分子的平移运动可以看作是三维的粒子运动。在体积V内，在动量为dpxdpydpz的范围内，分子质心平动的状态数目为(相当于ωl)：在体积V内，质心平动动量在dpxdpydpz的范围内的分子数目为：参数可以由下式求出：43在体积V内，质心平动动量在dpxdpydpz的范围内的分子数目为：44令n＝N/V表示单位体积内的分子数。则在单位体积内，速度在dvxdvydvz内的分子数目为：（利用速度同动量的关系）函数f（vx，vy，vz）满足下面的约束条件：这就是麦克斯韦速度分布律。452麦克斯韦速率分布函数利用球极坐标可以得到气体的速率分布函数。在单位体积内，速率在dv范围内的分子数目为：它应当满足下面的约束条件：46（1）求出分子的平均速率和方均根速率。气体分子的方均根速率、平均速率和最概然速率的比值为：3麦克斯韦速率分布函数的应用47（2）碰壁数的计算单位时间内碰到单位面积器壁上的分子数目，称为碰壁数。如图示：dA是器壁上的一个单位面积元，其法线方向沿着x轴。以d

dAdt表示在时间dt内碰到面积dA上的速率在dvxdvydvz范围内的分子数。这分子数就是位于以dA为底，v(vx,vy,vz)为轴线，以vxdt为高的柱体内，速度在dvxdvydvz范围内的分子数。vxdtxdAv柱体的体积为：vxdtdA，所以：单位时间内碰到单位器壁面积上的分子数目为：482.4能量均分定理49根据经典玻尔兹曼分布导出能量均分定理，并利用能量均分定理讨论一些物质系统的热容量。1能量均分定理：对于处在温度为T的平衡状态的经典系统，粒子能量中每一个平方项的平均值为1/2kBT。粒子的能量是势能和动能的和。动能可以表示为右式。其中系数ai都是正数，有可能是广义坐标的函数，但与动量无关。50由分部积分得到，＝0同样地，对于动能中的其他平方项，得到类似的结果可以。51假如势能中有一部分可以写成平方项，如下。其中，bi都是正数，有可能是qr

＋1,…,qr的函数，并且动能中的系数ai也只是qr

＋1,…,qr的函数，与q1,…,qr

无关。同样地可以证明：这样，就证明了，能量的表达式中的每一个平方项的平均值都是1/2kBT：能量均分定理。

利用能量均分定理，可以很方便地求出一些物质系统的内能和热容量。522能量均分定理的应用之一：单原子分子单原子单原子分子只有平动，其能量地表达式如下：式中有三个平方项，所以根据能量均分定理，在温度为T时，单原子分子的平均能量为：由单原子分子组成的理想气体的内能为：单原子分子理想气体的定容比热为：根据热力学公式，可以求出定压比热为：53

的理论结果为1.667，与实验结果的相比较，符合得很好。气体温度（K）

数值氦气（He）

氖气（Ne）

氩气（Ar）

氪气（Kr）

氙气（Xe）

钠（Na）

钾（K）

汞（Hg）291

93

292

288

93

292

292

750－926

660－1000

548－6291.660

1.673

1.642

1.650

1.690

1.689

1.666

1.680

1.640

1.666有一个需要注意得问题是，在这些讨论中，我们并没有考虑原子内电子的运动的贡献。也就是说，（问题一）原子内的电子对热容量没有贡献。为什么？

目前，我们不能回答。543能量均分定理的应用之二：双原子分子双原子分子的能量可以表述为：在式中，的一项为分子的平动能，M为分子的质量；第二项是分子的转动能，I是转动惯量；第三项是分子中两原子相对运动的能量。其中是相对运动的动能，u（r）是相对运动的势能。是约化质量。如果不考虑两原子间的相对运动，则能量中包含5个平方项。所以，双原子分子的平均能量为：55那么，双原子分子气体的内能和热容量分别为：定压和定容比热的比值为：气体温度（K）

数值氢气（H2）

氮气（N2）

氧气（O2）

CO

NO

HCl289

197

92

293

92

293

197

92

291

93

288

228

193290-3731.407

1.453

1.597

1.398

1.419

1.398

1.411

1.404

1.396

1.417

1.38

1.39

1.381.4056可以看出，对于双原子分子，除了在低温之下的氢气外，理论结果和实验结果符合得很好。气体温度（K）

数值氢气（H2）

氮气（N2）

氧气（O2）

CO

NO

HCl289

197

92

293

92

293

197

92

291

93

288

228

193290-3731.407

1.453

1.597

1.398

1.419

1.398

1.411

1.404

1.396

1.417

1.38

1.39

1.381.40在这些讨论中，忽略了分子中原子的相互运动，忽略了原子中电子的运动的贡献。

如果考虑分子中原子的相对运动，比较合理的假设是两个原子保持一定的距离而作相对振动。这样，能量公式中有7个平方项。据此得出的结论同实验结果不符合。问题二：为什么分子中原子的相对运动可以忽略？574能量均分定理的应用之三：固体的比热固体中的原子可以看作是在其平衡位置附近作微振动。假设各个原子的振动是相互独立的简谐振动。原子在一个自由度上的能量为：上式中有两个平方项。而每个原子有三个自由度。根据能量均分定理，在温度为T时，固体中每个原子的平均能量为：则固体的内能和定容比热等可以计算出为：这个结果与1818年杜隆、珀蒂的实验发现符合。58实验中发现，固体的热容量随着温度降低得很快。在温度接近于绝对零度时，热容量也趋近与零。显然，利用经典理论不能解释。另外，金属中存在着自由电子，如果考虑将能量均分用于自由电子，则自由电子的热容量与离子振动的热容量差不多。这就与实验结果不符合：在3K以上，自由电子的热容量很小，可以忽略不计。根据热力学公式将CV换算成Cp后，同实验结果比较：室温下和高温时符合得好。但在低温时不符合。595经典统计的缺陷：问题一：气体分子中原子内的电子为什么对热容量无贡献？问题二：分子中原子的相对运动对热容量的贡献为什么可以被忽略？问题三：固体的热容量为什么跟温度有关？问题四：低温下氢的热容量与实验不符合？上述问题利用经典统计显然不能解释。所以，必须考虑量子统计。下面以双原子分子为例讲述理想气体的内能和热容量的量子统计理论。602.5理想气体的内能和热容量611

暂时不考虑原子电子的运动，在一定的近似条件下，双原子分子的能量可以看作是平动能、振动能和转动能的和：假设平动、振动和转动的能级简并度分别为：

t、v、r，则系统的配分函数为：这样，配分函数Z可以分解成平动配分函数、振动配分函数和转动配分函数的乘积。62据此，双原子分子理想气体的内能可以计算为：因而，系统的定容比热可以计算为：也就是说，系统的内能和热容量可以表述成是平动、振动和转动等项的和。下面我们逐项进行讨论。632理想气体的内能和热容量：平动的贡献对平动项，有：平动项对内能和热容量的贡献为：平动项的贡献与经典统计的能量均分定理得到的结果一致。注意：此时是h，而不是h0。643理想气体的内能和热容量：振动的贡献在一定的近似下，双原子分子中两原子的相对振动可以看作是线性谐振子。以表示谐振子的频率，振子的能级为：由于一维线性谐振子的能级简并度为1，所以振动的配分函数可以计算为：利用公式，得到：65所以，振动对内能的贡献为：式中第一项为零点能，与温度无关。第二项是温度为T时N个振子的热激发能量。据此，得到振动项对热容量的贡献如下：66为了方便，引入特征振动温度

v：系统的内能和热容量中的振动部分可以写成：式子中引入的特征振动温度与分子的振动频率有关。67下表中给出了一些分子的特征振动温度

v的数据。从表中可以看出，双原子分子的特征振动温度一般在103的量级，在常温下，远远大于温度：

将这个条件带入振动部分的内能和热容量的表达式中，可以得到：分子

v（103K）分子

v（103K）H2

N2

O26.10

3.34

2.23CO

NO

HCl3.07

2.69

4.1468左式指出，在常温范围内，振动自由度对热容量的贡献接近于零。可以这样理解：（问题二被回答）

在常温范围内，双原子分子的振动能级间距h

远远大于kBT。由于能级分立，振子最少必须获得h

的能量才能够跃迁到激发态。在T<<v的情况下，振子获取该能量跃迁到激发态的概率是很小的。因此，平均来讲，振子基本上被冻结在基态。当气温升高时，并不吸收能量。因此，对热容量的贡献可以被忽略。694理想气体的内能和热容量：转动的贡献在讨论转子时，需要区分双原子分子是同核（H2）还是异核（CO）两种不同的情况。首先考虑异核的情况。其转动能级为：式中，l为转动量子数。能级的简并度为：2l＋1。所以转动配分函数为：引入转动特征温度

r，使得：70转动的配分函数可以改写为：转动特征温度

r取决于分子的转动惯量I。如下表示。从表中可以看出，转动特征温度

r在常温下远远小于温度T：分子

r（K）分子

r（K）H2

N2

O285.4

2.86

2.70CO

NO

HCl2.77

2.42

15.171在成立时，当l改变时，

rl(l+1)/T可以近似看成是连续变量。因此，配分函数中的求和可以改成积分形式。令：系统的内能和热容量则为：这与经典的能量均分定理给出的结果一致。因为常温下转动能级的间隔远远小于kBT，所以转动能量可以看成准连续。量子、经典统计结果相同72必须考虑微观粒子的全同性对转动状态的影响。在此只讨论氢的情况。氢分子的转动与两个氢核的自旋状态有关：假如两个氢核的自旋是平行的，则l只能取奇数，称为正氢状态；如果自旋反平行，则l只能取偶数，称为仲氢状态。两种状态相互转变的几率很小。在通常条件下，正氢占3/4，仲氢占1/4。两者的配分函数分别为：正氢的配分函数仲氢的配分函数对于同核的双原子分子：73对于同核的双原子分子：

则氢的配分函数为：从前面的表格中知道，氢的特征转动温度为：85.4K。当T>>

r时，氢分子可以处在l较大的转动状态上。则下式成立：利用积分代替求和，仍然有：

与经典统计的能量均分定理给出的结果一样。74对于氢分子，由于它的惯性质量小，转动特征温度较其他气体为高，约84.5K。因此在低温下（如92K），能量均分定理就不对了。因此，需要按照级数（而不是积分）求出配分函数，在求出转动内能和转动热容量。照此办理，理论与实验结果符合得相当好。这样，就回答了前面经典统计不能回答的问题（问题四）：利用经典的能量均分原理得到的低温时的氢的热容量与实验不符合。原因在于氢的转动特征温度较高。再看问题一：原子内电子的运动对热容量没有贡献。主要是因为原子内电子的激发态与基态的能量差值大体在1～10eV左右，即10－19～10－18J的量级，相应的特征温度约为104～105K。因此，在一般温度下很难把电子激发到激发态。即：电子基本上被冻结在基态，所以对热容量没有贡献。75对于异核的双原子分子，在两个条件：下，有：这些结果，特别是热容量的结果与从经典的能量均分定理获得的结果是一致的。

在玻尔兹曼分布下，如果两个相邻的能级的间隔远远小于热运动的能量kBT，则粒子的能量就可以看成是准连续的变量。由量子统计和经典统计得到的内能和热容量的结果是相同的。762.6固体热容量的Einstein理论77固体热容量的Einstein理论前面讨论的理想气体是非定域系统，在满足经典极限条件下遵循玻尔兹曼分布。下面讨论定域系统。首先，固体的热容量的Einstein模型。能量均分定理给出的固体的热容量为常数3NkB，在常温和高温下与实验符合。但在低温下与实验不符合。经典统计理论不能解释。Einstein利用量子理论分析固体热容量，成功地解释了固体的热容量随着温度下降而减小的事实。如前所述，固体中原子的热振动可以看成是3N个振子的振动。Einstein假设这3N个振子的频率都相等。以表示振子的圆频率。振子的能级为：78固体热容量的Einstein理论由于每个振子都定域在其平衡位置附近振动，所以振子是可以分辨的，遵从玻尔兹曼分布。其配分函数为：则固体的内能为：右式中第一项为3N个振子的零点能，与温度无关。第二项为3N个振子的热激发能量。定容比热为：79固体热容量的Einstein理论引入Einstein特征温度

E，热容量表述为：根据Einstein的理论，固体的热容量随着温度降低而减小。而且CV作为

E/T的函数是一个普适函数。当温度T>>E时，热容量近似等于3NkB，与能量均分定理给出的结果相同。此时能级准连续。当温度T<<E时，公式给出当温度趋于零时，CV趋于零。80固体热容量的Einstein理论Einstein的固体热容量理论在低温时预言，固体的热容量随着温度降低趋于零。这与实验结果定性相同。这是因为，在低温时振子被冻结在基态，对热容量无贡献。但是，实验测量的结果表明，固体的热容量随着温度的降低比Einstein模型缓慢。这是因为该模型过分简化。同时也说明统计物理学的困难。Einstein模型回答了前面的第三个问题：为什么固体的热容量随着温度下降而减小。81顺磁性固体顺磁性固体的理论模型是：磁性离子定域在晶体的特定格点上，彼此足够远，相互作用可以忽略。因此，顺磁性固体是由定域的、近独立的磁性离子组成的系统，遵循玻尔兹曼分布。

只考虑最简单的情况，假设磁性离子的总角动量量子数为1/2，其磁距大小为，在磁场中的可能取值由两个：，（＋：逆磁场，－：沿磁场）。配分函数为：顺磁性固体的磁化强度（单位体积内的磁距）为：N表示单位体积内的磁性离子数。B＝mH。代入右式，有：82顺磁性固体在弱场或者高温极限下（

B/kBT）<<1，得到居里定律。下式中磁化率＝N2/kBT。在强场或者低温极限下（

B/kBT）>>1，得到m＝N。此时意味着所有的自旋磁距都沿着外磁场方向，磁化达到饱和。顺磁性固体的内能和熵分别为：83顺磁性固体在弱场或者高温极限下（

B/kBT）<<1：在强场或者低温极限下（

B/kBT）>>1，S

0，说明系统的状态数目为1：此时所有的磁距均沿着磁场的方向。所以，S＝kBln2N。这意味着，系统的微观状态数目为：2N：在弱场或者高温极限下，磁距沿着磁场或者逆着磁场的几率相等。由于每个磁距各有2个可能的状态，整个系统的状态为2N。上述理论可以推广到磁性离子的总角动量量子数J为任意正数或者半整数的情形，而且