玻耳兹曼分布热力学

§6.6玻耳兹曼分布一.最可几分布二.麦克斯韦—玻耳兹曼分布三.经典统计的最可几分布＊.数学补充：1.Lagrange不定乘子法2.Stirling公式数学补充：Lagrange不定乘子法：存在约束条件的多元函数的极值问题约束条件多元函数的极值应由下式确定由于xi不完全独立，Lagrange引入不定乘子法。1)每个约束方程的全微分2)f的全微分3)约束条件下求函数极值等效于求：拉氏乘子即：拉氏函数即3)令每一个dxi

的系数等于零约束条件m+n个方程求解m+n个未知量总结：约束条件：求函数极值：约束条件下求函数极值等效于求：拉氏乘子拉氏函数Stirling公式：更精确的公式：取对数得一.最概然（可几）分布等概率原理分布---微观状态含微观态数多的分布出现的概率大例：则{al}出现的概率大于{al´}和{al´´}最概然分布：含微观态数最多的分布出现的概率最大，叫最概然分布二、玻耳兹曼分布1.定义：玻耳兹曼系统的粒子的最概然分布2.玻耳兹曼分布的导出：(1)分布{al}对应的玻耳兹曼系统的微观态数为：Ω是

{al}的函数。最概然分布是使Ω最大的分布Ω很大且lnΩ随Ω单调增减，故Ω极大等价于lnΩ极大两边取对数：假设所有al都很大，利用Stirling公式，得：约束条件：(3)变分：为求lnΩ

极大，令al有一个虚变动δal

，则lnΩ

也有虚变动δlnΩlnΩ有极大值，须约束条件要求：(4)Lagrange不定乘子法求极大值：约束条件：求函数极值：约束条件下求函数极值等效于求：------玻耳兹曼分布须每项系数均为零------玻耳兹曼分布联合约束条件可以确定α,β：3.讨论：(1)玻耳兹曼分布给出了最概然分布下εl上的粒子数令fs代表处在能级εl上的一个量子态εs上的平均粒子数------也称玻耳兹曼分布(2)我们只证明了lnΩ的一级变分等于零，还应该证明

lnΩ的二级变分小于零(3)玻耳兹曼分布所包含的系统微观状态数，几乎

等于所有可能的微观状态数![说明]若与玻耳兹曼分布有一个小的偏差Δal,那么Ω有一个相应的ΔΩ假设与玻耳兹曼分布的偏差很小，那么这个估计说明，即使与最概然分布有极小的偏差，它的微观状态数与最概然分布的微观状态数相比也是几近于零的。最概然分布的微观状态数非常接近于全部可能的微观状态数!(4)推导中使用的近似条件al>>1,ωl>>1实际上往

往并不能满足。系综理论会给出更严格的推导。(5)推导是针对单元系的，可以推广到多元系的情况。三、经典统计的最可几分布α,β可由下式确定：两种粒子N、N’，总能量E，体积V，分布{al

}和{al’}须满足才可以实现作业：6.56.5提示：§6.7玻色分布和费米分布一.对应于一分布{al}的平衡态的孤立系统(N,E,V)约束条件：玻色系统：费米系统：二.最概然分布：玻色、费米约束条件下求函数极值问题1.玻色系统的最概然分布推导若假设al

>>1

，ωl

>>1

可得利用Stirling公式，得：虚变动：------玻色分布约束条件：拉氏函数：2.费米系统的最概然分布推导假设------费米分布类似玻色分布推导可得：取对数：并用stirling公式：微观态数：玻耳兹曼分布：§6.8三种分布的关系玻色分布：费米分布：约束条件：玻色分布和费米分布过渡到玻耳兹曼分布若：一、极限条件：经典极限条件非简并条件此时，二、的意义：2.说明1.(1)1/N!

对求极值无影响;(2)定域粒子组成的系统遵从玻耳兹曼分布；(3)定域系统和满足经典条件的玻色（费米）系统的差别；定域系统------