2024-2025学年高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2.1.1第2课时指数幂及运算学案含解析新人教A版必修1

PAGE第2课时指数幂及运算内容标准学科素养1.理解分数指数幂的含义．2．驾驭根式与分数指数幂的互化．3．驾驭有理数指数幂的运算性质.提升数学运算发展逻辑推理授课提示：对应学生用书第35页[基础相识]学问点一分数指数幂的意义eq\a\vs4\al(预习教材P50－51，思索并完成以下问题)牛顿是大家所熟识的物理学家，你知道他在数学上的贡献吗？他在1676年6月13日写给莱布尼兹的信里说：“因为数学家将aa，aaa，aaaa…写成a2，a3，a4…，所以可将eq\r(a)，eq\r(a3)，…写成aeq\f(1,2)，aeq\f(3,2)，…；将eq\f(1,a)，eq\f(1,aa)，eq\f(1,aaa)，…写成a－1，a－2，a－3…”．这是牛顿首次运用随意实数指数，这正是这节课我们要学习的指数幂的扩充过程．能否把eq\r(4,a3)，eq\r(3,b2)，eq\r(4,c5)写成下列形式：eq\r(4,a3)＝aeq\f(3,4)(a>0)；eq\r(3,b2)＝beq\f(2,3)(b>0)；eq\r(4,c5)＝ceq\f(5,4)(c>0)．提示：能．学问梳理1.规定正数的正分数指数幂的意义是：aeq\f(m,n)＝eq\r(n,am)(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．2．规定正数的负分数指数幂的意义是：a－eq\f(m,n)＝eq\f(1,a\f(m,n))＝eq\f(1,\r(n,am))(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．3．0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．学问点二有理数指数幂的运算性质eq\a\vs4\al(预习教材P51－53，思索并完成以下问题)(1)整数指数幂的运算性质有哪些？提示：①am·an＝am＋n；②(am)n＝am·n；③eq\f(am,an)＝am－n(m＞n，a≠0)；④(a·b)m＝am·bm.(2)零和负整数指数幂是如何规定的？提示：规定：a0＝1(a≠0)；00无意义，a－n＝eq\f(1,an)(a≠0)．学问梳理1.有理数指数幂的运算性质(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．2．无理数指数幂一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．[自我检测]1．等于()A．25 B.eq\r(5,16)C. D.eq\r(5,4)解析：＝eq\r(5,42)＝eq\r(5,16)，故选B.答案：B2．已知a>0，则等于()A.eq\r(a3) B.eq\f(1,\r(3,a2))C.eq\f(1,\r(a3)) D．－eq\r(3,a2)解析：＝＝eq\f(1,\r(3,a2)).答案：B3．()4＋(－1)0＝__________.解析：()4＋(－1)0＝m2＋1.答案：m2＋1授课提示：对应学生用书第36页探究一根式与分数指数幂的互化[例1](1)下列根式与分数指数幂的互化正确的是()(2)用分数指数幂的形式表示下列各式：④法一：从外向里化为分数指数幂：法二：从里向外化为分数指数幂：[答案](1)C(2)见解析方法技巧根式与分数指数幂的互化技巧(1)在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：，其中字母a要使式子有意义．(2)将含有多重根号的根式化为分数指数幂的途径有两条：一是由里向外化为分数指数幂；二是由外向里化为分数指数幂．跟踪探究1.用分数指数幂的形式表示下列各式(其中a＞0)：(1)a3·eq\r(3,a2)；(2)探究二利用分数指数幂求值[阅读教材P51例2]求值：题型：分数指数幂求值[例2]计算下列各式：方法技巧利用指数幂的运算性质化简求值的方法(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的依次．(2)在明确根指数的奇偶(或详细次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．跟踪探究2.计算下列各式(式中字母都是正数)：探究三指数幂运算中的条件求值[例3]已知aeq\f(1,2)＋a－eq\f(1,2)＝4，求下列各式的值：(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2.[解析](1)将aeq\f(1,2)＋a－eq\f(1,2)＝4两边平方，得a＋a－1＋2＝16，故a＋a－1＝14.(2)将a＋a－1＝14两边平方，得a2＋a－2＋2＝196，故a2＋a－2＝194.延长探究1.在本例条件不变的条件下，求a－a－1的值．解析：令a－a－1＝t，则两边平方得a2＋a－2＝t2＋2，∴t2＋2＝194，即t2＝192，∴t＝±8eq\r(3)，即a－a－1＝±8eq\r(3).2．在本例条件不变的条件下，求a2－a－2的值．解析：由上题可知，a2－a－2＝(a－a－1)(a＋a－1)＝±8eq\r(3)×14＝±112eq\r(3).方法技巧解决条件求值的思路(1)在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的的变形，或先对条件式加以变形、沟通所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值．(2)在利用整体代入的方法求值时，要留意完全平方公式的应用．授课提示：对应学生用书第37页[课后小结]1.eq\r(n,am)＝aeq\f(m,n)(a>0)可以实现分数指数幂与根式的互化，但要留意根指数是分数指数的分母．2．在应用分数指数幂进行根式的计算时，应留意把根式统一化为分数指数幂的形式．当所求根式含有多重根号时，应由里向外用分数指数幂写出，然后再利用性质运算．3．对于已知数值条件的化简求值问题，常利用“整体代入”的思想求解．[素养培优]忽视运算性质的条件而致误求的值．易错分析：原式＝1－eq