2024-2025学年新教材高中数学课时素养评价四十第六章概率1.2乘法公式与事件的独立性含解析北师大版选择性必修第一册

PAGE四十乘法公式与事务的独立性(15分钟30分)1．(2024·宿州高二检测)掷一枚硬币两次，记事务A＝“第一次出现正面”，B＝“其次次出现反面”，则有()A．A与B相互独立 B．P(A∪B)＝P(A)＋P(B)C．A与B互斥 D．P(AB)＝eq\f(1,2)【解析】选A.对于选项A，由题意得事务A的发生与否对事务B的发生没有影响，所以A与B相互独立，所以A正确．对于选项B，C，由于事务A与B可以同时发生，所以事务A与B不互斥，故选项B，C不正确．对于选项D，由于A与B相互独立，因此P(AB)＝P(A)P(B)＝eq\f(1,4)，所以D不正确．2．某市某校在秋季运动会中，支配了篮球投篮竞赛．现有20名同学参与篮球投篮竞赛，已知每名同学投进的概率均为0.4，每名同学有2次投篮机会，且各同学投篮之间没有影响．现规定：投进两个得4分，投进一个得2分，一个未进得0分，则其中一名同学得2分的概率为()A．0.5B．0.48C．0.4D．0.32【解析】选B.设“第一次投进球”为事务A，“其次次投进球”为事务B，则得2分的概率为P＝P(Aeq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A)B)＝0.4×0.6＋0.6×0.4＝0.48.3．甲骑自行车从A地到B地，途中要经过3个十字路口．已知甲在每个十字路口遇到红灯时的概率都是eq\f(1,3)，且在每个路口是否遇到红灯相互独立，那么甲在前两个十字路口都没有遇到红灯，直到第3个路口才首次遇到红灯的概率是()A．eq\f(1,3) B．eq\f(4,9) C．eq\f(4,27) D．eq\f(1,27)【解析】选C.由于甲在每个路口是否遇到红灯相互独立，所以甲在前两个十字路口都没有遇到红灯，直到第3个路口遇到红灯的概率P＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\f(1,3)＝eq\f(4,27).4．(2024·西安高二检测)甲、乙、丙三位学生用计算机联网学习数学，每天上课后独立完成6道自我检测题，甲及格的概率为eq\f(4,5)，乙及格的概率为eq\f(3,5)，丙及格的概率为eq\f(7,10)，三人各答一次，则三人中只有一人及格的概率为()A．eq\f(3,20) B．eq\f(42,135)C．eq\f(47,250) D．以上都不对【解析】选C.因为甲及格的概率为eq\f(4,5)，乙及格的概率为eq\f(3,5)，丙及格的概率为eq\f(7,10)，所以仅甲及格的概率为eq\f(4,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(7,10)))＝eq\f(24,250)；仅乙及格的概率为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,5)))×eq\f(3,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(7,10)))＝eq\f(9,250)；仅丙及格的概率为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,5)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5)))×eq\f(7,10)＝eq\f(14,250)；三人中只有一人及格的概率为：eq\f(24,250)＋eq\f(9,250)＋eq\f(14,250)＝eq\f(47,250).5．甲、乙同时炮击一架敌机，已知甲击中敌机的概率为0.3，乙击中敌机的概率为0.5，则敌机被击中的概率为________．【解析】依据独立事务与独立事务的概率公式可得，甲乙都没有击中敌机的概率为(1－0.3)×(1－0.5)＝0.35，由对立事务的概率公式可得，敌机被击中的概率为1－0.35＝0.65.答案：0.656．(2024·潍坊高二检测)在三角形ABC中，一机器人从三角形ABC上的每一个顶点移动到另一个顶点，(规定：每次只能从一个顶点移动到另一个顶点)，而且按逆时针方向移动的概率为顺时针方向移动的概率的3倍，假设现在机器人的初始位置为顶点A处，则通过三次移动后返回到A处的概率为________．【解析】设顺时针方向移动的概率为p，则逆时针方向移动的概率为3p，所以3p＋p＝1，所以p＝eq\f(1,4)，所以顺时针方向移动的概率为eq\f(1,4)，逆时针方向移动的概率为eq\f(3,4)，初始位置为顶点A处，则通过三次移动后返回到A处，共有两种状况：三次都逆时针的概率为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(3)＝eq\f(27,64)，三次都顺时针方向移动的概率为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(3)＝eq\f(1,64)，所以通过三次移动后返回到A处的概率为eq\f(27＋1,64)＝eq\f(7,16).答案：eq\f(7,16)(30分钟60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1．随机揣测“选择题”的答案，每道题猜对的概率为0.25，则两道选择题至少猜对一道的概率约为()A．eq\f(7,16)B．eq\f(1,16)C．eq\f(9,16)D．eq\f(3,8)【解析】选A.每道题猜对的概率为0.25＝eq\f(1,4)，则猜错的概率为eq\f(3,4)，由独立事务概率的计算公式得：两道选择题都猜错的概率为eq\f(3,4)×eq\f(3,4)＝eq\f(9,16)，所以至少猜对一道的概率为1－eq\f(9,16)＝eq\f(7,16).2．甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事务A：“甲击中目标”，事务B：“乙击中目标”，则事务A与事务B()A．相互独立但不互斥 B．互斥但不相互独立C．相互独立且互斥 D．既不相互独立也不互斥【解析】选A.对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事务A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事务A与B可能同时发生，所以事务A与B不是互斥事务．3．(2024·烟台高二检测)第三届中国国际进口博览会期间，甲、乙、丙三家中国企业都有意向购买同一种型号的机床设备，他们购买该机床设备的概率分别为eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，且三家企业的购买结果相互之间没有影响，则三家企业中恰有1家购买该机床设备的概率是()A．eq\f(23,24) B．eq\f(5,24) C．eq\f(11,24) D．eq\f(1,24)【解析】选C.设“甲企业购买该机床设备”为事务A，“乙企业购买该机床设备”为事务B，“丙企业购买该机床设备”为事务C，则P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,3)，P(C)＝eq\f(1,4)，则P(eq\x\to(A))＝1－P(A)＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，P(eq\x\to(B))＝1－P(B)＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)，P(eq\x\to(C))＝1－P(C)＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4)，设“三家企业中恰有1家购买该机床设备”为事务D，则P(D)＝P(Aeq\x\to(B)eq\x\to(C))＋P(eq\x\to(A)Beq\x\to(C))＋P(eq\x\to(A)eq\x\to(B)C)＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(3,4)＋eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(1,4)＝eq\f(11,24).4．(2024·天津高二检测)某中学组织高三学生进行一项实力测试，测试内容包括A，B，C三个类型问题，这三个类型所含题目的个数分别占总数的eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,6).现有3名同学独立地从中任选一个题目作答，则他们选择的题目所属类型互不相同的概率为()A．eq\f(1,36) B．eq\f(1,12) C．eq\f(1,6) D．eq\f(1,3)【解析】选C.3名同学选择的题目所属类型互不相同，则A，B，C三个类型的问题都要入选，则3名同学的选法共有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))种状况，每个类型入选的可能为eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,6)，所以全部入选的概率为eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,36)，则3名同学所选不同类型的概率为Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))·eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,6).二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5．下列各对事务中，不是相互独立事务的有()A．运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”B．甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”C．甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”D．甲、乙两运动员各射击一次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标但乙未射中目标”【解析】选ACD.在A中，甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”两个事务不行能同时发生，二者是互斥事务，不独立；在B中，甲、乙各射击一次，“甲射中10环”发生与否对“乙射中9环”的概率没有影响，二者是相互独立事务；在C中，甲，乙各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”不行能同时发生，二者是互斥事务，不独立；在D中，设“至少有1人射中目标”为事务A，“甲射中目标但乙未射中目标”为事务B，则AB＝B，因此当P(A)≠1时，P(AB)≠P(A)·P(B)，故A，B不独立．6．从甲袋中摸出一个红球的概率是eq\f(1,3)，从乙袋中摸出一个红球的概率是eq\f(1,2)，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是()A．2个球都是红球的概率为eq\f(1,6)B．2个球不都是红球的概率为eq\f(1,3)C．至少有1个红球的概率为eq\f(2,3)D．2个球中恰有1个红球的概率为eq\f(1,2)【解析】选ACD.设“从甲袋中摸出一个红球”为事务A1，“从乙袋中摸出一个红球”为事务A2，则P(A1)＝eq\f(1,3)，P(A2)＝eq\f(1,2)，且A1，A2独立；在A中，2个球都是红球为A1A2，其概率为eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6)，A正确；在B中，“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事务，其概率为eq\f(5,6)，B错误；在C中，2个球中至少有1个红球的概率为1－P()P()＝1－eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(2,3)，C正确；2个球中恰有1个红球的概率为eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，D正确．三、填空题(每小题5分，共10分)7．A，B，C三人将参与某项测试，三人能否达标互不影响，已知他们能达标的概率分别是eq\f(4,5)，eq\f(3,5)，eq\f(1,2)，则三人都能达标的概率是________，三人中至少有一人能达标的概率是________．【解析】A，B，C三人将参与某项测试，三人都能达标的概率是eq\f(4,5)×eq\f(3,5)×eq\f(1,2)＝eq\f(6,25)，都没有达标的概率是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,5)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq\f(1,25)，因此A，B，C三人中至少有一人能达标的概率是1－eq\f(1,25)＝eq\f(24,25).答案：eq\f(6,25)eq\f(24,25)8．(2024·长沙高二检测)一个不透亮的箱中原来装有形态、大小相同的1个绿球和3个红球．甲、乙两人从箱中轮番摸球，每次摸取一个球，规则如下：若摸到绿球，则将此球放回箱中可接着再摸；若摸到红球，则将此球放回箱中改由对方摸球，甲先摸球，则在前四次摸球中，甲恰好摸到两次绿球的概率是________．【解析】设“甲摸到绿球”的事务为A，则P(A)＝eq\f(1,4)，“甲摸到红球”的事务为eq\x\to(A)，则P(eq\x\to(A))＝eq\f(3,4)，设“乙摸到绿球”的事务为B，则P(B)＝eq\f(1,4)，“乙摸到红球”的事务为eq\x\to(B)，则P(eq\x\to(B))＝eq\f(3,4)，在前四次摸球中，甲恰好摸到两次绿球的状况是AAeq\x\to(A)(B＋eq\x\to(B))，Aeq\x\to(A)eq\x\to(B)A，eq\x\to(A)eq\x\to(B)AA，所以P＝eq\f(1,4)×eq\f(1,4)×eq\f(3,4)×1＋eq\f(1,4)×eq\f(3,4)×eq\f(3,4)×eq\f(1,4)＋eq\f(3,4)×eq\f(3,4)×eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＝eq\f(15,128).答案：eq\f(15,128)四、解答题(每小题10分，共20分)9．某中学为了丰富学生的业余生活，开展了一系列文体活动，其中一项是同学们最感爱好的3对3篮球对抗赛，现有甲乙两队进行竞赛，甲队每场获胜的概率为eq\f(2,5).且各场竞赛互不影响．(1)若采纳三局两胜制进行竞赛，求甲队获胜的概率；(2)若采纳五局三胜制进行竞赛，求乙队在第四场竞赛后即获得成功的概率．【解析】设Ai(i＝1，2，3，4，5)表示甲队在第i场竞赛获胜(1)所求概率为P(A1A2)＋P(A1A3)＋P(A2A3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(2)×2＝eq\f(44,125)(2)所求概率为P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝eq\f(2,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(3)×3＝eq\f(162,625).10．为了实现中国梦的构想，在社会主义新农村建设中，某市确定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目，据预料，三个项目成功的概率分别为eq\f(4,5)，eq\f(5,6)，eq\f(2,3)，且三个项目是否成功相互独立．(1)求恰有两个项目成功的概率；(2)求至少有一个项目成功的概率．【解析】(1)只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为eq\f(4,5)×eq\f(5,6)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(2,9)，只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为eq\f(4,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(5,6)))×eq\f(2,3)＝eq\f(4,45)，只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,5)))×eq\f(5,6)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,9)，所以恰有两个项目成功的概率为eq\f(2,9)＋eq\f(4,45)＋eq\f(1,9)＝eq\f(19,45).(2)三个项目全部失败的概率为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,5)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(5,6)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(1,90)，所以至少有一个项目成功的概率为1－eq\f(1,90)＝eq\f(89,90).眉山市位于四川西南，有“千载诗书城，人文第一州”的美誉，这里是大文豪苏轼、苏洵、苏辙的家乡，也是人们旅游的好地方．在今年的国庆黄金周，为了丰富游客的文化生活，每天在东坡故里三苏祠实行“三苏文化”学问竞赛．已知甲、乙两队参赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为eq\f(2,3)，乙队