2024-2025学年新教材高中数学第五章统计与概率5.3.2事件之间的关系与运算课时素养评价含解析新人教B版必修第二册

PAGE事务之间的关系与运算(15分钟30分)1.掷一枚骰子,“向上的点数是1或2”为事务A,“向上的点数是2或3”为事务B,则 ()A.A⊆BB.A=BC.A+B表示向上的点数是1或2或3D.AB表示向上的点数是1或2或3【解析】选C.设A={1,2},B={2,3},A∩B={2},A∪B={1,2,3},所以A+B表示向上的点数为1或2或3.2.对空中飞行的飞机连续射击两次,每次放射一枚炮弹,设A={两次都击中飞机},B={两次都没击中飞机},C={恰有一炮弹击中飞机},D={至少有一炮弹击中飞机},下列关系不正确的是 ()A.A⊆D B.B∩D=C.A∪C=D D.A∪B=B∪D【解析】选D.“恰有一炮弹击中飞机”指第一枚击中其次枚没中或第一枚没中其次枚击中,“至少有一炮弹击中”包含两种状况:一种是恰有一炮弹击中,一种是两炮弹都击中,所以A∪B≠B∪D.3.打靶三次,事务Ai表示“击中i次”,i=0,1,2,3,则事务A=A1+A2+A3表示()A.全部未击中 B.至少有一次击中C.全部击中 D.至多有一次击中【解析】选B.事务A0,A1,A2,A3彼此互斥,且QUOTE=A1+A2+A3=A,故A表示至少击中一次.4.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出1个球,摸出红球的概率是0.42,摸出白球的概率是0.28,那么摸出黑球的概率是________.

【解析】摸出红球、白球、黑球是互斥事务,所以摸出黑球的概率为1-0.42-0.28=0.3.答案:0.3【补偿训练】一个人打靶时连续射击两次,事务“至少有一次中靶”的对立事务是________.

【解析】连续射击两次有以下四种状况:第一次中其次次不中,第一次不中其次次中,两次都中和两次都不中.故“至少一次中靶”的对立事务为“两次都不中靶”.答案:两次都不中靶5.某公务员去开会,他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别0.3,0.2,0.1,0.4.(1)求他乘火车或乘飞机去的概率;(2)求他不乘轮船去的概率;(3)假如他乘某种交通工具去的概率为0.5,请问他有可能是乘何种交通工具去的?【解析】(1)记“他乘火车去”为事务A1,“他乘轮船去”为事务A2,“他乘汽车去”为事务A3,“他乘飞机去”为事务A4,这四个事务不行能同时发生,故它们彼此互斥,故P(A1+A4)=P(A1)+P(A4)=0.3+0.4=0.7.(2)设他不乘轮船去的概率为P,则P=1-P(A2)=1-0.2=0.8.(3)由于0.3+0.2=0.5,0.1+0.4=0.5,故他有可能乘火车或乘轮船去,也有可能乘汽车或乘飞机去.【补偿训练】某超市安排按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.依据往年销售阅历,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.假如最高气温不低于25,需求量为500瓶;假如最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;假如最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购安排,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的全部可能值,并估计Y大于零的概率.【解析】(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶,当且仅当最高气温低于25,由表格数据知,最高气温低于25的频率为QUOTE=0.6,所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时,若最高气温不低于25,则Y=6×450-4×450=900;若最高气温位于区间[20,25),则Y=6×300+2(450-300)-4×450=300;若最高气温低于20,则Y=6×200+2(450-200)-4×450=-100.所以Y的全部可能值为900,300,-100.Y大于零当且仅当最高气温不低于20,由表格数据知,最高气温不低于20的频率为QUOTE=0.8,因此Y大于零的概率的估计值为0.8.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共20分.多选题全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.袋中装有黑、白两种颜色的球各三个,现从中取出两个球.设事务P表示“取出的两球都是黑球”;事务Q表示“取出的两球都是白球”;事务R表示“取出的球中至少有一个黑球”.则下列结论正确的是 ()A.P与R是互斥事务B.P与Q是对立事务C.Q和R是对立事务D.Q和R是互斥事务,但不是对立事务【解析】选C.袋中装有黑、白两种颜色的球各三个,现从中取出两个球,取球的方法共有如下几类:①取出的两球都是黑球;②取出的两球都是白球;③取出的球一黑一白.事务R包括①③两类状况,所以事务P是事务R的子事务,故A不正确;事务Q与事务R互斥且对立,所以选项C正确,选项D不正确.事务P与事务Q互斥,但不是对立事务,所以选项B不正确.2.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事务是 ()A.至少有一个黑球与都是红球B.至少有一个黑球与都是黑球C.至少有一个黑球与至少有一个红球D.恰有1个黑球与恰有2个黑球【解析】选D.A中的两个事务是对立事务,不符合要求;B中的两个事务是包含关系,不是互斥事务,不符合要求;C中的两个事务都包含“一个黑球、一个红球”这一事务,不是互斥事务;D中的两个事务是互斥而不对立的两个事务.3.已知100件产品中有5件次品,从这100件产品中随意取出3件,设E表示事务“3件产品全不是次品”,F表示事务“3件产品全是次品”,G表示事务“3件产品中至少有1件次品”,则下列结论正确的是 ()A.F与G互斥B.E与G互斥但不对立C.E,F,G随意两个事务均互斥D.E与G对立【解析】选D.由题意得事务E与事务F不行能同时发生,是互斥事务;事务E与事务G不行能同时发生,是互斥事务;当事务F发生时,事务G肯定发生,所以事务F与事务G不是互斥事务.故A,C错.事务E与事务G中必有一个发生,所以事务E与事务G对立,所以B错误,D正确.4.(多选)若干个人站成一排,其中不是互斥事务的是 ()A.“甲站排头”与“乙站排头”B.“甲站排头”与“乙不站排尾”C.“甲站排头”与“乙站排尾”D.“甲不站排头”与“乙不站排尾”【解析】选BCD.排头只能有一人,因此“甲站排头”与“乙站排头”互斥,而B,C,D中,甲、乙站位不肯定在同一位置,可以同时发生,因此它们都不互斥.【补偿训练】(多选)下列说法中不正确的是 ()A.若事务A与事务B是互斥事务,则P(A)+P(B)=1B.若事务A与事务B满意条件:P(A∪B)=P(A)+P(B)=1,则事务A与事务B是对立事务C.一个人打靶时连续射击两次,则事务“至少有一次中靶”与事务“至多有一次中靶”是对立事务D.把红、橙、黄、绿4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4人,每人分得1张,则事务“甲分得红牌”与事务“乙分得红牌”是互斥事务【解析】选ABC.互斥事务其含义是事务A与事务B在任何一次试验中不会同时发生,即A∩B=∅;对立事务的含义是事务A与事务B在任何一次试验中有且仅有一个发生,A∩B为不行能事务,且A∪B为必定事务,即PQUOTE=0且PQUOTE=1,所以只有D正确.二、填空题(每小题5分,共10分)5.同时掷两枚骰子,既不出现5点也不出现6点的概率为QUOTE,则5点或6点至少出现一个的概率是________.

【解析】记既不出现5点也不出现6点的事务为A,则P(A)=QUOTE,5点或6点至少有一个出现的事务为B.因为A∩B=Ø,A∪B为必定事务,所以A与B是对立事务,则P(B)=1-P(A)=1-QUOTE=QUOTE.故5点或6点至少有一个出现的概率为QUOTE.答案:QUOTE【补偿训练】甲射击一次,中靶的概率是P1,乙射击一次,中靶的概率是P2,已知QUOTE,QUOTE是方程x2-5x+6=0的根,且P1满意方程x2-x+QUOTE=0.则甲射击一次,不中靶的概率为______;乙射击一次,不中靶的概率为________.

【解析】由P1满意方程x2-x+QUOTE=0知,QUOTE-P1+QUOTE=0,解得P1=QUOTE.因为QUOTE,QUOTE是方程x2-5x+6=0的根,所以QUOTE·QUOTE=6,所以P2=QUOTE,因此甲射击一次,不中靶的概率为1-QUOTE=QUOTE,乙射击一次,不中靶的概率为1-QUOTE=QUOTE.答案:QUOTEQUOTE6.在一次随机试验中,三个事务A1,A2,A3的概率分别是0.2,0.3,0.5,则下列说法正确的是________.

①A1∪A2与A3是互斥事务,也是对立事务;②A1∪A2∪A3是必定事务;③P(A2∪A3)=0.8;④P(A1∪A2)≤0.5.【解析】三个事务A1,A2,A3不肯定是互斥事务,故A1∪A2与A3不肯定是互斥事务,并且PQUOTE≤1,P(A2∪A3)≤0.8,P(A1∪A2)≤0.5,即④正确.答案:④三、解答题7.(10分)国家射击队的队员为在世界射击锦标赛上取得优异成果在加紧备战,经过近期训练,某队员射击一次命中7～10环的概率如表所示:命中环数10987概率0.320.280.180.12求该射击队员在一次射击中:(1)命中9环或10环的概率.(2)至少命中8环的概率.(3)命中不足8环的概率.【解析】记事务“射击一次,命中i环”为Ai(i∈N,i≤10),则事务Ai之间彼此互斥.(1)设“射击一次,命中9环或10环”为事务A,那么当A9,A10之一发生时,事务A发生,由互斥事务概率的加法公式得P(A)=P(A9)+P(A10)=0.28+0.32=0.6.(2)设“射击一次,至少命中8环”为事务B,那么当A8,A9,A10之一发生时,事务B发生,由互斥事务概率的加法公式得P(B)=P(A8)+P(A9)+P(A10)=0.18+0.28+0.32=0.78.(3)设“射击一次命中不足8环”为事务C,由于事务C与事务B互为对立事务,故P(C)=1-P(B)=1-0.78=0.22.【补偿训练】玻璃盒里装有红球、黑球、白球、绿球共12个,从中任取1球,设事务A为“取出1个红球”,事务B为“取出1个黑球”,事务C为“取出1个白球”,事务D为“取出1个绿球”.已知P(A)=QUOTE,P(B)=QUOTE,P(C)=QUOTE,P(D)=QUOTE.(1)求“取出1个球为红球或黑球”的概率;(2)求“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率.【解析】方法一:(1)因为事务A,B,C,D彼此为互斥事务,所以“取出1个球为红球或黑球”的概率为P(A+B)=P(A)+P(B)=QUOTE+QUOTE=QUOTE.(2)“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率为P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=QUOTE+QUOTE+QUOTE=QUOTE.方法二: