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文档简介
2025届宣城市重点中学数学高一上期末学业水平测试试题考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1.如图,正方体中,直线与所成角大小为A. B.C. D.2.为了预防信息泄露,保证信息的安全传输,在传输过程中都需要对文件加密,有一种加密密钥密码系统,其加密、解密原理为:发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文.现在加密密钥为,如“4”通过加密后得到密文“2”,若接受方接到密文“”,则解密后得到的明文是()A. B.C.2 D.3.已知角的终边经过点,则()A. B.C. D.4.已知函数,若则a的值为(
)A. B.C.或 D.或5.若,,,则a,b,c的大小关系是A. B.C. D.6.如图,在等腰梯形中,,分别是底边的中点,把四边形沿直线折起使得平面平面.若动点平面,设与平面所成的角分别为(均不为0).若,则动点的轨迹围成的图形的面积为A. B.C. D.7.下列函数在上是增函数的是A. B.C. D.8.设集合,则=A. B.C. D.9.函数的最小值和最小正周期为()A.1和2π B.0和2πC.1和π D.0和π10.已知,,,夹角为,如图所示,若,,且D为BC中点,则的长度为A. B.C.7 D.8二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11.已知命题:,都有是真命题,则实数取值范围是______12.函数的值域是____.13.已知的定义域为,那么a的取值范围为_________14.设是定义在上且周期为2的函数,在区间上,其中.若,则的值是____________.15.已知,则__________.16.已知定义在上的偶函数,当时,若直线与函数的图象恰有八个交点,其横坐标分别为,,,,,,,,则的取值范围是___________.三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.2021年12月9日15时40分,神舟十三号“天宫课堂”第一课开讲!受“天宫课堂”的激励与鼓舞,某同学对航天知识产生了浓厚的兴趣.通过查阅资料,他发现在不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响时,火箭是目前唯一能使物体达到宇宙速度,克服或摆脱地球引力,进入宇宙空间的运载工具.早在1903年齐奥尔科夫斯基就推导出单级火箭的最大理想速度公式:,被称为齐奥尔科夫斯基公式,其中为发动机的喷射速度,和分别是火箭的初始质量和发动机熄火(推进剂用完)时的质量.被称为火箭的质量比(1)某单级火箭的初始质量为160吨,发动机的喷射速度为2千米/秒,发动机熄火时的质量为40吨,求该单级火箭的最大理想速度(保留2位有效数字);(2)根据现在的科学水平,通常单级火箭的质量比不超过10.如果某单级火箭的发动机的喷射速度为2千米/秒,请判断该单级火箭的最大理想速度能否超过第一宇宙速度千米/秒,并说明理由.(参考数据:,无理数)18.已知集合,集合,集合.(1)求;(2)若,求实数a的取值范围.19.如图,四棱锥的底面为矩形,,.(1)证明:平面平面.(2)若,,,求点到平面的距离.20.某生物研究者于元旦在湖中放入一些风眼莲(其覆盖面积为),这些风眼莲在湖中的蔓延速度越来越快,二月底测得凤眼莲的覆盖面积为,三月底测得凤眼莲的覆盖面积为,凤眼莲的覆盖面积(单位:)与月份(单位:月)的关系有两个函数模型与)可供选择(1)试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式;(2)求凤眼莲覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积倍以上的最小月份.(参考数据:,)21.已知函数,.(1)求函数的定义域;(2)求不等式的解集.
参考答案一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】连接通过线线平行将直线与所成角转化为与所成角,然后构造等边三角形求出结果【详解】连接如图就是与所成角或其补角,在正方体中,,故直线与所成角为.故选C.【点睛】本题考查了异面直线所成角的大小的求法,属于基础题,解题时要注意空间思维能力的培养.2、A【解析】根据题意中给出的解密密钥为,利用其加密、解密原理,求出的值,解方程即可求解.【详解】由题可知加密密钥为,由已知可得,当时,,所以,解得,故,显然令,即,解得,即故选:A.3、C【解析】根据任意角的三角函数的定义,求出,再利用二倍角公式计算可得.【详解】解:因为角的终边经过点,所以,所以故选:C4、D【解析】按照分段函数的分类标准,在各个区间上,构造求解,并根据区间对所求的解,进行恰当的取舍即可.令,则或,解之得.【点睛】本题主要考查分段函数,属于基础题型.5、C【解析】由题意,根据实数指数函数性质,可得,根据对数的运算性质,可得,即可得到答案.【详解】由题意,根据实数指数函数的性质,可得,根据对数的运算性质,可得;故选C【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的运算性质的应用,其中解答中合理运用指数函数和对数函数的运算性质,合理得到的取值范围是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题.6、D【解析】由题意,PE=BEcotθ1,PF=CFcotθ2,∵BE=CF,θ1=θ2,∴PE=PF以EF所在直线为x轴,EF的垂直平分线为y轴建立坐标系,设E(﹣,0),F(,0),P(x,y),则(x+)2+y2=[(x﹣)2+y2],∴3x2+3y2+5ax+a2=0,即(x+a)2+y2=a2,轨迹为圆,面积为故答案选:D点睛:这个题考查的是立体几何中点的轨迹问题,在求动点轨迹问题中常用的方法有:建立坐标系,将立体问题平面化,用方程的形式体现轨迹;或者根据几何意义得到轨迹,但是注意得到轨迹后,一些特殊点是否需要去掉7、A【解析】根据题意,依次分析选项中函数的单调性,综合即可得答案【详解】解:根据题意,依次分析选项:对于A,,在区间上单调递增,符合题意;对于B,,为指数函数,在区间上单调递减,不符合题意;对于C,,为对数函数,在区间上单调递减,不符合题意;对于D,反比例函数,在区间上单调递减,不符合题意;故选A【点睛】本题考查函数单调性的判断,属于基础题8、C【解析】由补集的概念,得,故选C【考点】集合的补集运算【名师点睛】研究集合的关系,处理集合的交、并、补的运算问题,常用韦恩图、数轴等几何工具辅助解题.一般地,对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算,可借助韦恩图,而对连续的集合间的运算及关系,可借助数轴的直观性,进行合理转化9、D【解析】由正弦函数的性质即可求得的最小值和最小正周期【详解】解:∵,∴当=﹣1时,f(x)取得最小值,即f(x)min;又其最小正周期Tπ,∴f(x)的最小值和最小正周期分别是:,π故选D【点睛】本题考查正弦函数的周期性与最值,熟练掌握正弦函数的图象与性质是解题关键,属于中档题10、A【解析】AD为的中线,从而有,代入,根据长度进行数量积的运算便可得出的长度【详解】根据条件:;故选A【点睛】本题考查模长公式,向量加法、减法及数乘运算,向量数量积的运算及计算公式,根据公式计算是关键,是基础题.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11、【解析】由于,都有,所以,从而可求出实数的取值范围【详解】解:因为命题:,都有是真命题,所以,即,解得,所以实数的取值范围为,故答案为:12、##【解析】由余弦函数的有界性求解即可【详解】因为,所以,所以,故函数的值域为,故答案为:13、【解析】根据题意可知,的解集为,由即可求出【详解】依题可知,的解集为,所以,解得故答案为:14、##-0.4【解析】根据函数的周期性及可得的值,进而利用周期性即可求解的值.【详解】解:因为是定义在上且周期为2的函数,在区间上,所以,,又,即,解得,所以,故答案为:.15、3【解析】由同角三角函数商数关系及已知等式可得,应用诱导公式有,即可求值.【详解】由题设,,可得,∴.故答案为:316、【解析】先作出函数的大致图象,由函数性质及图象可知八个根是两两关于轴对称的,因此分析可得,,进而将转化为形式,再数形结合,求得结果.【详解】作出函数的图象如图:直线与函数的图象恰有八个交点,其横坐标分别为,,,,,,,,不妨设从左到右分别是,,,,,,,,则,由函数解析式以及图象可知:,即,同理:;由图象为偶函数,图象关于轴对称可知:,所以又因为是方程的两根,所以,而,所以,故,即,故答案为:三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)千米/秒;(2)该单级火箭最大理想速度不可以超过第一宇宙速度千米/秒,理由见解析.【解析】(1)由题可知,,,代入即求;(2)利用条件可求,即得.【小问1详解】,,,该单级火箭的最大理想速度为千米/秒.【小问2详解】,,,,,.该单级火箭最大理想速度不可以超过第一宇宙速度千米/秒.18、(1)(2)【解析】(1)先化简集合A,B,再利用交集运算求解;(2)根据,化简集合,再根据求解.【小问1详解】解:∵,∴,∴集合.∵,∴,∴集合.∴.【小问2详解】∵,∴.∵,∴,解得.∴实数a的取值范围是.19、(1)证明见解析;(2).【解析】(1)连接,交于点,连接,证明平面,即可证明出平面平面.(2)用等体积法,即,即可求出答案.【小问1详解】连接,交于点,连接,如图所示,底面为矩形,为,的中点,又,,,,又,平面,平面,平面平面【小问2详解】,,,,在中,,,在中,,在中,,,,,,设点到平面的距离为,由等体积法可知,又平面,为点到平面的距离,,,即点到平面的距离为20、(1)函数模型较为合适,且该函数模型的解析式为;(2)月份.【解析】(1)根据两个函数模型增长的快慢可知函数模型较为合适,将点、代入函数解析式,求出、的值,即可得出函数模型的解析式;(2)分析得出,解此不等式即可得出结论.【详解】(1)由题设可知,两个函数、)在上均为增函数,随着的增大,函数的值增加得越来越快,而函数的值增加得越来越慢,由于风眼莲在湖中的蔓延速度越来越快,故而函数模型满足要求.由题意可得,解得,,故该函数模型的解析式为;(2)当时,,故元旦放入凤眼莲的面积为,由,即,故,由于,故.因此,凤眼莲覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积倍以上的最小月份是月份.【点睛】思路点睛:解函数应用题的一般程序:第一步:审题——弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系;第二步:建模——将文字语言转化成数学语言,用数学知识建立相应的数学模型;第三步:求模——求解数学模型,得到数学结论;第四步:还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义;第五步:反思回顾——对于数学模型得到的数学结果,必须验证这个数学解
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