安全系统工程课件：事故树分析（二）-事故树的数学描述

事故树的数学描述本课重难点及教学目标一、编制事故树的规则二、编制事故树的方法三、事故树的数学描述课程小结课程复习思考题下次课预习要点本课重难点及教学目标本课的重点及难点事故树的编制规则及编制方法。教学目标掌握事故树的编制规则、编制方法及事故树的结构函数。一、编制事故树的规则事故树的编制过程是一个严密的逻辑推理过程，应遵循以下规则:（1）确定顶上事件应优先考虑风险大的事故事件。能否正确选择顶上事件，直接关系到分析结果，是事故树分析的关键。在系统危险分析的结果中，不希望发生的事件远不止一个，每一个不希望发生的事件都可以作为顶上事件。但是，应综合考虑事件的发生频率和后果严重程度，把风险高的事件优先作为分析的对象，即顶上事件。一、编制事故树的规则

（2）确定边界条件的规则。在确定了顶上事件之后，为了不致使事故树过于繁琐、庞大，应明确规定被分析系统与其他系统的界面，以及一些必要的合理的假设条件。一、编制事故树的规则

（3）循序渐进的规则。事故树分析是一种演绎的方法，在确定了顶上事件以后，要逐级展开。首先，分析顶上事件发生的直接原因，在这一级的逻辑门的全部输入事件已无遗漏地列出之后，再继续对这些输入事件的发生原因进行分析，直至列出引起顶上事件发生的全部基本事件为止。一、编制事故树的规则

（4）避免门与门直接相连的规则。在编制事故树时，任何一个逻辑门的输出都必须有一个结果事件，不允许不经过结果事件而将门与门直接相连。二、编制事故树的方法编制事故树的常用方法：演绎法，首先确定系统的顶上事件，再找出（中间事件）直接导致顶上事件发生的各种可能因素或因素的组合。

方法即：从顶上事件开始，按照演绎法，运用逻辑推理，一级一级找出所有直接原因事件，直到最基本的原因事件为止。按照逻辑关系，用逻辑门连接输出关系（即上下层事件），画出事故树。三、事故树的数学描述为了对事故树进行详细的分析，必须了解它的结构特性，在编制出事故树模型后，还要利用布尔代数列出它的数学表达式。布尔代数是完成事故树分析的数学基础，它是集合论数学的组成部分，是一种逻辑运算方法，也称为逻辑代数。布尔代数特别适用于描述只能取两种对立状态的事物变化过程，这正适合于事故树分析的特点。三、事故树的数学描述

结构函数就是描述系统状态的函数，它完全取决于元、部件的状态，通常假定任何时间，元、部件和系统只能取正常或故障两种状态，并且任何时刻系统的状态由元、部件状态唯一决定。现假定一个事故树系统由n个基本事件组成，可定义事件状态函数x=（x1，x2，…，xn），其中xi为第i个基本事件的状态变量。三、事故树的数学描述三、事故树的数学描述1、与门的结构函数如3-6图是与门结构，只有基本事件发生时，顶上事件才发生。根据布尔代数运算法则，逻辑式为

式中：min（x1，x2…）——从xi中取最小值，只要有一个最小的“0”（正常），则整个系统为“0”（正常）。II为连乘符号，也具有布尔代数的∩。三、事故树的数学描述2、或门的结构函数图3-7，只要有一个或一个以上的基本事件发生时，顶上事件发生。根据布尔代数运算法则，逻辑加关系，其逻辑式：三、事故树的数学描述式中，max（x1，x2…）——从xi中取最大值，只要有一个max为“1”，则整个系统为“1”。三、事故树的数学描述3、m/n表决门的结构函数图3-8是事故树的基本结构单元中的表决门，表示一种表决逻辑关系，仅当n个输入事件中有m个以上事件发生时，则门输出事件发生。m/n表决门常用于电路设计，在控制、安全系统的设计中广泛采用。图3-9是2/3表决系统可靠性框图。三、事故树的数学描述4、复杂系统的结构函数由与门和或门组成的事故树，根据逻辑与/或的关系，写出如图3-10结构函数。

用代数算式表示为：x1(x3+x4x5)+x2(x4+x3x5)三、事故树的数学描述三、事故树的数学描述5、布尔代数的基本知识在结构函数中，事件的逻辑加(逻辑或)运算和逻辑乘(逻辑与)运算，服从集合(布尔)代数的运算规则。为了便于运算，下面将有关集合、概率含义和运算规则分别列于表2-20和表2-21中。三、事故树的数学描述A集合代数的运算规则在集合表达式中所采用的事件并（“”）和交（“”），表示事件之间的运算关系，它们相当于布尔代数算子“∨”（或）和“∧”（与），也相当于代数算式的“+”和“×”。三、事故树的数学描述B布尔代数的基本性质

布尔代数又称为开关代数或逻辑代数。和普通代数相比有很多不同之处。在普通代数中，变量x、Y、……可以取任意的实数，运算符号很多，如＋、－、×、÷……等。而在布尔代数中，变量x、Y、……等只能取1和0，而且它不是数值大小的概念，而是两个对立的概念，如“是”与“非”，“开”与“关”，“存在”与“不存在”等。三、事故树的数学描述如A＝1表示某事物存在，(读为A非)则表示某事物不存在。逻辑代数中的运算符号只有“＋”与“•”两种，分别称为逻辑或及逻辑与。在基本运算方面，把布尔代数与普通代数作一个比较如下表2-22所示。三、事故树的数学描述C布尔代数运算举例【例2-14】T＝AB(A＋C)

＝ABA＋ABC

＝AB【例2-15】T＝(AC＋B)(AB＋BD＋D)

＝ACAB＋ACBD＋ACD＋BAB＋BBD＋

BD

＝ABC＋ABCD＋ACD＋AB＋BD＋BD

＝ABC＋ACD＋AB＋BD

＝AB＋ACD＋BD三、事故树的数学描述6、概率论的基本知识在事故树分析中，需要用到一些概率论的基本知识。例如，概率和与概率积的计算。为了给出概率和与概率积的计算公式，首先必须给出如下定义：三、事故树的数学描述（1）相互独立事件。一个事件发生与否不受其他事件发生与否的影响。假定A、B、C、…、N个事件，其中每一个事件发生与否都不受其他事件发生与否的影响，则称A、B、C、…、N为独立事件。三、事故树的数学描述（2）相互排斥事件。不能同时发生的事件。一个事件发生，其他事件必然不发生。它们之间互相排斥，互不相容。假定有A、B、C、…、N个事件，A发生时，B、C、…、N必然不发生；B发生时，A、C、…、N事件必须不发生，则A、B、C、…、N事件称为互斥事件。三、事故树的数学描述（3）相容事件。一个事件发生与否受其他事件的约束，即在其他事件发生的条件下才发生的事件。设A、B两事件，B事件只有在A事件发生的情况下才发生，反之亦然，则A、B事件称为相容事件。三、事故树的数学描述在事故树分析中，遇到的基本事件大多数是独立事件。所以下面简单介绍n个独立事件的概率和与概率积的计算公式。n个独立事件的概率和，其计算公式是：P(A+B+C+…+N)=1-[1-P(A)][1-P(B)][1-P(C)]…[1-P(N)](2-14)式中P——独立事件的概率。n个独立事件的概率积，其计算公式是：P(ABC…N)=P(A)P(B)P(C)…P(N)(2-15)三、事故树的数学描述7、事故树的布尔代数表达式

将事故树中连接各事件的逻辑门用相应的布尔代数运算表示，就得到了事故树的布尔代数表达式。通常，可以自上而下地将事故树逐渐展开后，便得到了布尔代数表达式。

【例2-16】某事故树结构如图2-25所示，求其布尔代数表达式及展开过程如下：

三、事故树的数学描述

此式可以继续化简至若干个基本事件相乘后再相加的形式。布尔代数表达式是事故树的数学描述，对于给出的事故树可以写出其相应的布尔代数表达式；相反，给出布尔代数表达式也可以绘出对应的事故树。三、事故树