数学自主训练：数列

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精自主广场我夯基我达标1.如果无穷数列｛an｝的第n项与n之间的函数关系能用一个公式an=f(n）来表示，则该函数的定义域为(）A.ZB。NC。N+D.N+的有限子集{1,2，…，n}思路解析：任意数列的定义域是N+或N+的有限子集｛1，2,…,n｝。由于这个数列是无穷数列,从函数观点来看,定义域是N+.答案:C2。下列解析式中不是数列1，—1,1,-1,1，…的通项公式的是（)A。an=（—1)nB.an=(-1）n+1C。an=(-1）n-1D.an=思路解析：令n=1，对于an=（-1)n+1，a1=（-1）1+1=1,同样对于an=(-1)n-1，an=1,n为奇数,-1，n为偶数中均有a1=1，符合题意;而在an=(-1)n中,a1=(—1）1=-1，不符合数列首项。答案:A3。设数列,…,则是这个数列的()A.第6项B.第7项C。第8项D.第9项思路解析:数列通项公式为an=3n—1，令3n-1=25，解得n=7。答案:B4。已知数列｛an}的首项a1=1，且an=3an—1+1(n≥2），则a4为(）A。13B.15C。30思路解析:利用递推式可逐个求出a2,a3,a4.答案：D5.若数列｛an｝的通项公式是an=3—2n,则a2n=_____________，=_____________.思路解析:根据通项公式,可以求出这个数列中的任意一项。∵an=3-2n，∴a2n=3—22n=3—4n，。答案：3—4n6.已知数列{an}中，an=2n+1.数列｛bn｝中，b1=a1，当n≥2时，bn=,则b4=___________，b5=___________.思路解析：题目中的关系式也是递推关系式，不同的是两个不同的数列中的项的关系,可以逐个推导.∵an=2n+1,bn=（n≥2)，∴b1=a1=3,b2==a3=7，b3==a7=15，b4==a15=31，b5==a31=63.答案：31637.a1=1，an+1=an+2n（n∈N+),则这个数列的第5项为______________。思路解析:∵an+1=an+2n,∴an+1—an=2n。∴a5=a1+（a2-a1）+（a3-a2)+（a4—a3)+(a5—a4)=1+2×1+2×2+2×3+2×4=1+2×（1+2+3+4）=21。答案：218。记凸n-1边形的内角和为an—1(n≥3），凸n边形的内角和为an，试写出an与an-1的关系式，找到它们之间的递推关系式，并且写出这个数列的通项公式。思路分析:关键要找到凸n-1边形与凸n边形之间图形的不同,它们之间只是差了个三角形,这样我们可以得到递推关系式,然后根据所得到的递推关系式可以归纳总结出这个数列的通项公式。但是要注意n的范围,n≥3.解:由凸n-1边形变为凸n边形，增加了一个三角形，故an=an-1+π；当n=3时，a3=π，接着分别得到a4=a3+π=2π，a5=3π，a6=4π，…,可归纳出通项公式an=（n-2）π（n≥3）。我综合我发展9。（2006广东高考，14）在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间,某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥"形的展品,其中第1堆只有1层，就一个球；第2，3,4，…堆最底层(第一层)分别按下图所示方式固定摆放，从第二层开始,每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球,以f(n)表示第n堆的乒乓球总数，则f（3)=____________；f（n）=____________（答案用n表示）.图2—1—2思路解析:f（1）=1，观察图象可知,f（2）=4,f(3）=10，f（4）=20，下一堆的个数是上一堆的个数加上其第一层个数，而第一层的个数满足1,3,6，10,…，通项公式是，所以f(5)=f(4)+15=35.利用归纳推理便可得f(n)=。答案:1010.若｛an}的前8项的值互异,且an+8=an,对于n∈N+都成立，则下列数列中,可取遍｛an}前8项的值的数列为（）A.｛a2k+1}B。｛a3k+1}C。{a4k+1}D.｛a6k+1｝思路解析:∵k∈N+，当k=1,2，3…时，a2k+1、a4k+1、a6k+1均取奇数项,而无偶数项，∴｛a2k+1}、{a4k+1}、｛a6k+1｝不符。而当k取以上值时,{a3k+1｝可以取遍前8项.实际上，由an+8=an，可以知道这个数列是个循环数列,也可称为周期数列，每隔8项，数列的项就重复出现.具体情况如下：在{a3k+1}中，当k=1,2，3,4,5,6，7,8时,分别得到：a4,a7,a10，a13,a16，a19，a22，a25,a10=a2+8=a2，a13=a5+8=a5,a16=a8+8=a8,a19=a3+2×8=a3，a22=a6+2×8=a6,a25=a1+3×8=a1，这样，这个数列的项包括了数列｛an｝中的前8项不同的取值.答案：B11.在m(m≥2）个不同数的排列P1P2…Pn中，若1≤i＜j≤m时Pi＞Pj(即前面某数大于后面某数),则称Pi与Pj构成一个逆序。一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数.记排列(n+1）n（n—1)…321的逆序数为an,如排列21的逆序数a1=1,排列321的逆序数a2=3。求a4、a5，并写出an的表达式。思路分析:排列(n+1)n（n-1）…321的逆序数an的求法：比1大且在1前面的数有n个，比2大且在2前面的数有n-1个,…，比k大且在k前面的数有（n+1）-k个……所以an=n+（n—1)+…+2+1.解：由已知,得a4=10,a5=15，an=n+(n—1）+…+2+1=。12.设数列｛an｝的前n项和为Sn，且对任意正整数n，an+Sn=4096。（1）求数列{an}的通项公式;(2)设数列｛log2an}的前n项和为Tn,对数列｛Tn｝，从第几项起Tn＜—509？思路分析:利用an、Sn的关系,先求出数列的首项,利用an=Sn—Sn—1（n≥2）,得出an、an-1的关系式，根据关系式解决通项公式.（2）问主要是解不等式。解：（1）∵an+Sn=4096，∴a1+S1=4096.∴a1=2048。当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(4096—an）-（4096—an—1）=an—1-an.∴。∴an=2048()n-1=212—n.(2)∵log2an=log2212—n=12-n，∴Tn=（-n2+23n）.由Tn＜-509，解得n＞.而n是正整数,于是n≥46。∴从第46项起Tn＜-509.13.某县位于沙漠地带，人与自然长期进行着顽强的斗争，到2001年底全县的绿化率已达30%.从2002年开始，每年将出现这样的局面，即原有沙漠面积的16％将被绿化，与此同时，由于各种原因,原有绿化面积的4％又被沙化。2001年底绿化面积为a1=,经过n年绿化总面积为an+1。请你想一想，能不能找到an+1与an之间的递推关系式?思路分析:题目的叙述比较冗长，容易使我们望而生畏，但是多读几遍,就能将实际问题抽象为数学问题了。an+1表示经过n年绿化的总面积，根据“到2001年底全县的