数学自主训练：不等关系与不等式

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精自主广场我夯基我达标1.已知a＜0,-1＜b＜0，下列不等式成立的是()A。a＞ab＞ab2B。ab2＞ab＞aC。ab＞a＞ab2D.ab＞ab2＞a思路解析：由于—1＜b＜0，所以0＜b2＜1a＜ab2＜0,且ab＞0,易得ab＞ab2本题也可以根据a,b的范围取特殊值来比较,比如令a=—1，b=.答案：D2.“a＞0，b＞0”是“ab＞0"的…（)A。充分而不必要条件B.必要而不充分条件C。充分必要条件D.既不充分也不必要条件思路解析：由“a＞0,b＞0”可推出“ab＞0”，反之,不一定成立,选A.答案:A3.如果loga3＞logb3,且a+b=1，那么（)A。0＜a＜b＜1B.0＜b＜a＜1C.1＜a＜bD。1＜b＜a思路解析:∵a+b=1，a、b∈R，∴0＜a＜1,0＜b＜1.∵loga3＞logb3，∴.∴lga＜lgb。∴0＜a＜b＜1。答案：A4.若a=，b=，c=，则(）A.a＜b＜cB。c＜b＜aC。c＜a＜bD。b＜a＜c思路解析：易知a,b,c都是正值，==log89＞1，所以b＞a；=log2532＞1,所以a＞c.所以b＞a＞c。答案:C5。若f（x)=3x2-x+1，g（x)=2x2+x—1，则f(x）与g（x)的大小关系为_____________。思路解析:f（x）-g(x)=3x2-x+1-(2x2+x-1)=x2-2x+2=（x—1)2+1,显然大于0,所以f（x）＞g(x)。答案：f（x）＞g（x）6.日常生活中,在一杯糖水中，再加入糖，则这杯糖水变甜了,请根据这一事实提炼出一个不等式.解:设有糖水b克，其中含糖a克,再加入m克糖，则原来的糖水的浓度为×100%,加入m克糖后,糖水的浓度变为×100%。由事实可知糖水变甜，浓度增大,故×100%＜×100%，答：当0＜a＜b，m＞0时，有＜。7。若a＞b＞0,c＜d＜0,e＜0,求证：。思路分析:本题可以直接使用不等式的性质进行证明，首先根据c＜d＜0，得-c＞—d＞0,所以a—c＞b—d＞0，再由倒数的性质和e＜0即可得到结论,也可以直接作差进行比较。证明:.8。在等比数列{an｝和等差数列{bn｝中,a1=b1＞0，a3=b3＞0，且a1≠a3,试比较a2与b2的大小。思路分析：根据等比与等差的性质,求出a2、b2，再利用作差法比较。解:设｛an}的公比为q，｛bn}的公差为d，则a3=a1q2,b3=b1+2d=a1+2d.∵a3=b3,∴a1q2=a1+2d，即2d=a1（q2—1）.∵a1≠a3=a1q2,∴q2≠1.∴q≠±1。∵a2—b2=a1q-（a1+d)=a1q-a1a1（q2-1）=a1（q-1)2＜0，∴a2＜b2。我综合我发展9。如果a＜0，b＞0，那么，下列不等式中正确的是（）A.B.C.a2＜b2D.｜a|＞|b|思路解析:如果a＜0,b＞0，那么＜0，＞0,∴，选A。其余三个选项可以举反例排除.答案：A10.若a、b、c∈R,a＞b，则下列不等式成立的是（）A.B。a2＞b2C.D。a|c｜＞b|c｜思路解析:应用间接排除法。取a=1,b=-1，排除A.取a=0，b=-1，排除B；取c=0,排除D.故应该选C。显然＞0,对不等式a＞b的两边同时乘以,得成立.答案:C11。已知a＞b＞0，试比较与的大小。思路分析:本题用作差法及作商法都可比较大小.解法一：作差法：∴。解法二：作商法:∴。12.如果用记号min｛p，q｝表示p，q中的较小者，max{p,q}表示p，q中的较大者.设f（x)=min｛x2-2x+6,x2+6x+5}，g（x)=max｛x2—x+2，x｝,试比较f(x)和g（x)的大小.思路分析:首先根据两个定义写出f(x)和g（x)的函数表达式，由于其中含有未知量x,可能要对x的范围进行讨论,然后再作差比较大小.解：由于x2—2x+6-(x2+6x+5)=—8x+1,由此可知，当x＜时,x2—2x+6＞x2+6x+5。当x≥时，x2-2x+6≤x2+6x+5。所以而x2—x+2—x=x2—2x+2=（x-1)2+1＞0，所以x2-x+2＞x.所以g(x)=x2—x+2。（1)当x＜时,f(x）-g(x)=x2+6x+5—(x2—x+2)=7x+3，所以当x=时，f（x）=g（x）.当x＜时,f（x）-g(x)＜0，f(x）＜g(x）。当＜x＜时，f（x）-g（x)＞0,f（x）＞g（x).(2)当x≥时,f(x）—g（x)=x2-2x+6—(x2—x+2）=—x+4，所以当x=4时,f(x）=g(x）.当x＞4时，f(x)-g(x)＜0,f（x）＜g（x）。当≤x＜4时，f（x）—g(x)＞0，f(x）＞g(x)。13。已知a＞0，b＞0,且m,n∈N+，求证:am+n+bm+n≥ambn+anbm。思路分析:根据所求证的式子的特点，适合比差，也有利于分解因式，最后讨论因式的符号.证明:（am+n+bm+n）-（ambn+anbm）=am(an—bn）+bm(bn—an)=(an-bn）(am—bm).（1)当a＞b＞0时