2009研究生数值分析试题和答案-石家庄铁道大学(word文档良心出品)

1、2009研究生数值分析试题和答案-石家庄铁道大学石家庄铁道学院2009级硕士研究生考试试卷课程名称数值分析任课教师王亚红 2009年一2010年度第丄学期姓名 学号 评分时间 120分钟题号-一-二三四五合计分值3016201618100得分一填空(30分)000 1. A= 0 21x=(1,2,3)t，贝讣剧辺二_00-2 丿2. f (x) = 4x3 3x22,则 f 2,4,6,8 丄_12 3丄3. 用Gauss列主元消去法解方程组24 5 = *1 ,第一次选的列主元-3 5 6 _8 j为.4. 设 f(x) Ca,b, P(x)是多项式，则 f(x)-P(x)： , 5. 满

2、足P(0) = P (0)0,P(1) =1,P(2) =12的不高于3次的插值多项式为，其余项为16. 为使两点数值求积公式：.(x)dx、f(%厂f(X2)具有最高的代数精度， 贝卩其求积节点 捲 =, x2二.7. 用G-S迭代法解方程组丿x1 +&卷=4 ，其中a为实数，G-S迭代法收2 a% + x2 = -3敛的充要条件是a满足 8. 写出用牛迭代法求方程 x2 =117的正根、117的迭代公式/2 1 、9.将 A =1 2 1做 Cholesky分解，L=、1 2丿1 ft10.设 U =1庞,d=d2，Ux=d1优丄14丿的求解公式为12111（16分）方程组3 12x =6

3、1.1 2 2 一15_1请用直接三角分解（LU分解）解此方程组； 2写出解此方程组的Jacobi迭代法的分量形式（20分）已知数据X-1123Y-30481请作出差商表，求三次牛顿均差插值多项式；2.试用y =ax b拟和这组数据。四（16分）1 .设Xi为等距节点，写出满足L（xi） = f （Xi） （ 0,1,2）的插值多项式 L2（x）;并利用L2（x）,试推导f（x。）的插值型求导公式.2.能否用（x,Xi）, L2（x）的值作为f （x）的近似值？为什么？五（18分）1.取0为I。八2的三位有效数字1.41,计算序列讥油勺递推公 式为：I n =10人4 -1,门=1,2/，则I

4、10的误差多大？这个算法稳定吗？2.设方程组Ax二b，若实际求的近似解为x ,47T 口口X X|b - Ax1证明二cond(A)X|b若|AxAx已很小，能否说明x已很近似Ax = b的精确解x吗?石家庄铁道学院2009级硕士研究生考试试卷参考答案及评分标准课程名称数值分析任课教师王亚红一.(1-6题 2分/空;7-10题 3分/空)1.3， 32. 43.-34. max f (x) - P(x)11 / 65.2x (-x 2),f(4)()4!2x2(x -1)(x -2) 6.,X27.a18.Xk 1 =Xk-Xk “17,k =0,1,2,9.2Xk,3/2,2/3Xn =dn

5、xk= dk - k xk 1-二(16 分).1.解:1 -1=3/2 1/21/21/2-32.Jacobi迭代法计算公式:初始向量x(0)12解 Ly =b,得 y = 06解Ux二y,得x-x3k)/2k =0,1,2,16.1.（10分）差商表XY一阶差商二阶差商三阶差商-1-3103/22445/63840-5/247N3(x) = f(Xo) fXo,Xi(X -Xo)f Xo,Xi,X2(X_Xo)(X_Xi)f Xo,Xi,X2,X3(X -Xo)(X -Xj(X -X2)355-(X 1)-(X 1)(x-1) (x 1)(x-1)(2)26241o分32.(10分)根据最

6、小二乘原理l=v (axj -b)-yj2最小，一2分i T；：l c0；:b；:l 0；:a4Z Xi 丫b、七yi、运 Xi Z X2 a 丿运yi Xi即，解得 b=1.2857, a=2.8286拟合曲线 y =2.8286x 1.2857 10分L(x) =f(X。)(x -X1)(X -X2)(Xo -X1)(Xo -X2)四(16分)f(X1)(X Xo)(x-X2)(X1 -Xo)(X1 -X2)(x x0)(x X1 )+ f(X2)0计算 L (Xo) -3f Xo 4 f X1 ；f X29分2hf(Xo) : L(Xo)1= 3f x04 f x1 - f x212 分

7、2h6 分(X2 Xo)(X2 X1)2. X (Xo,Xi), f(x) ： L2(x), f(X)二 L2(x) (ni(x)(n +1)!f(n 1)()(7T nl(x),与x有关 x，(xo,xi)f(x)丄(x)无法估计.当x不是插值节点时 丄2(x)的值不能作为f (x)的近似值.16分1 2五.解 1. (8 分)|0 1.41 =0.004兰一汉 102 分2 1 211 丨1 =1010 1 (1010 1) = 10(1。一 I)0 兰 10 汶一X 104 分22 1 2丨2 丨2=10丨1 1 (1011 1) =10(丨1 丨1)兰10 江一02-in1q1p2 26 分计算到丨1。时，误差限为初始I。的误差限的1010倍，每递推一次误差扩大 10倍，所以这个计算过程是不稳定的。8分2. （10分）证明因Ax =b,所以有 b = Ax 一 A x类推有 110 110 =1019 1 (1019 1) =1019 丨9 兰 10 汉一汉 10=汉 101 .|A厂b(1)3 分x -x| 二 A(Ax - Ax)| a b- Ax|由(1),(2)得虫 cond(A)乞b-Axb(2)6 分8分若Ax - A：已