1992考研数二真题及解析

1、1992年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题、填空题(本题共5小题，每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)x = f (t) 兀，dv(1) 设g3t 其中f可导，且(0)式0,则dy =ly=f(e -1)，dXy(2) 函数y=x+2cosx在0,工上的最大值为 .2(3)x0 e -cosx 由曲线y = xex与直线y=ex所围成的图形的面积 S=二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)2当x 0时，x -sin x是x的(A)低阶无穷小(C)等价无穷小2x，2设 f(X

2、)=3X +x，x =0(B)(D)高阶无穷小同阶但非等价的无穷小r1-x2， XE0j-(A)f (-x)=(B)f (-x)=I-(X2 x)，x 0I1x2，x01 x2(C)f (-x)二 2(D)f(x)二lx2-x，x 0I当X； 1时，函数x2 -1 ex4的极限()x -1(A)等于2(B)等于0(C)为：:(D)不存在但不为设 f (x)连续，F(x) = ( f (t2)dt，则 F x)等于(A)f(x4)(B)X2 f(x4)(C) 2xf(x4)2xf (x2)(D)()-x,x :： 0x2, x_0x2x)，x ： 0-x2， x_0 若f （x）的导函数是sin

3、 x,则f （x）有一个原函数为(A) 1 sin x(C) 1 cosx(B)1 - sin x(D)1 -cosx三、（本题共5小题,每小题5分，满分25分.）(1)求 lim(x i :设函数y = y（x）由方程y -xey =1所确定,求d2ydx2的值.X=0x3求/dx.求 o . 1sin xdx. 求微分方程（y - x3）dx - 2xdy二0的通解.四、（本题满分9分） 2(x - 2)dx.51 x ,x ： 0 亠3设f(x)二,求1e , x301五、（本题满分9分）求微分方程y-3y 2y = xex的通解.六、（本题满分9分）2 1计算曲线y二ln（1 - x

4、）上相应于0乞x乞的一段弧的长度七、（本题满分9分）求曲线y = ；x的一条切线l ,使该曲线与切线l及直线x = 0,x = 2所围成的平面图形 面积最小.八、（本题满分9分）已知f （x） ： 0, f （0） =0,试证：对任意的二正数 x1和x2,恒有f (x X2) ： f (xjf(X2)成立.1992年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分.)(1)【答案】3【解析】由复合函数求导法则可得dy _ dy/dt dx dx/dt3ef (e3t-1),于是 dyf (t)dx 7【相关知识点】复合函数求导法则:如果u =g(x)在点

5、x可导，而y = f (x)在点u =g(x)可导，则复合函数y二f lg(x)在点x可导，且其导数为dydx【答案】.3 -6=f (u) g (x)或dy dy dudx du dx【解析】令y1_2sin x=0,得0/ 内驻点 2因为只有一个驻点，所以此驻点必为极大值点X = _ .6,与端点值进行比较,求出最大值.可见最大值为y( ) = 36【答案】0n一兀ny(0) = 2, y() =、. 3, y()6 62兀【解析】由等价无穷小,有 X； 0 时，1 - .1lim 字1 x limj e -cosx1 2L Q-x )=1 2、_2(-x )x 刃 ex _cosxr2,

6、故上式为“ 0”型的极限未定式，又分子分母在点00处导数都存在，由洛必达法则，有原式二lim xxt e +sin x-0.1【答案】- In 22【解析】令b -: b dx原式押哄1冇.2tbX +1X 和m： 1x(x22b 1x一 dx=lim (一一 )dx(分项法)1)b 门-1 x x 1b1ln x1 -fdx21 x2 1(凑微分法)b .11 22ln(x +1)b二 lim ln/ +丄巾21叮b2 12lim Inb_y：:-1|nlnl1|n1|n2b2 1222【答案】e -12【解析】联立曲线和直线的方程，解得两曲线的交点为(0,0),(1, e),则所围图形面积

7、为1S(ex - xex) dx,再利用分部积分法求解，得e 2 x 1 x. e .S x -xe 亠 i e dx 1 .2o 02注：分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题，如果选择不当可能引起更繁杂的计算，最后甚至算不出结果来在做题的时候应该好好总结，积累经验【相关知识点】分部积分公式：假定u =u(x)与v =v(x)均具有连续的导函数，则uv dx = uv - u vdx， 或者 udv = uv - vdu.二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分.)(1)【答案】(B)【解析】lim x 一严为“ 0 ”型的极限未定式，又分子分母在点0处导数都存在，连续T X0

8、运用两次洛必达法则 ，有lim =lim -_cosx = lim= 0，故选(B).x-0X2T 2x T 2【相关知识点】无穷小的比较：设在同一个极限过程中，(x), - (x)为无穷小且存在极限lim 凶=l ,B(x)(1)若l =0,称(x), :(x)在该极限过程中为同阶无穷小； 若l =1,称(x), -(x)在该极限过程中为等价无穷小，记为(x)U - (x)； 若l =0,称在该极限过程中(x)是(x)的高阶无穷小，记为(x)=o : (x).若lim:(x)(x)不存在(不为:),称(x), : (x)不可比较- x空0X0x2 - x, x ： 0, x2,x 0.【答案

9、】(D)【解析】直接按复合函数的定义计算f(-X) J (；x)，1(x) +(x),所以应选(D).2 1X -1帚 lim exx亠 x _12彳1X 1 x 1 limexx a x -11lim( x 1)eXJ=C3O0 =:,故当【答案】X 1时函数没有极限，也不是：.故应选(D).(C)【解析】x2F(x) = 0 f(t2)dt二 f(x2)2 (x2) =2xf(x4),故选(C).【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式:欣t)-若 F(t)=f (x)dx, ： (t), (t)均一阶可导，则F (t)二- (t) f(t)丨-：(t) f L：:(t)l.(5)【答案】

10、(B)【解析】由f (x)的导函数是sin X,即f (X)二si n x,得f (x)二 f (x)dx 二 sin xdx - -cosx C ,其中 C 为任意常数所以f (x)的原函数F(x)二 f (x)dx 二(-cosx C)dx 二-sin x Gx C2,其中 G,C2为任意常数令 C1 -0, C2 =1 得 F(x) =1 -si nx.故选(B).三、(本题共5小题，每小题5 分,满分25分.)3(1)【答案】e三1【解析】此题考查重要极限：lim(1 1)x=e.将函数式变形，有)2lim(1X6：uxx_4-36x2(3)【答案】(D)【解析】对于函数在给定点 X0

11、的极限是否存在，需要判定左极限x 和右极限Xr X。是否存在且相等,若相等,则函数在点X0的极限是存在的1二 lim( x 1尹=0,X -1-2-3-3 xdlim= lim e6 x 2 =ex _6 x 2x y :2【答案】2e【解析】函数y二y(x)是一个隐函数，即它是由一个方程确定，写不出具体的解析式方法1:在方程两边对x求导,将y看做x的函数,得y - ey _ xey y = 0,即 yey1-xey把x =0,y =1代入可得y (0)二e.两边再次求导，得” eyy(1-xey) +ey(ey +xeyy) y =(1-xey)2d2y 把 0，y =1，y (0)二 e

12、代入得 y (0) = d ?dx= 2e2.Xz0方法2：方程两边对x求导,得yeyxeyy = 0 ；再次求导可得 y_eyy-(eyy + xeyy2 +xeyy) = 0,d2y 把x =0,y =1代入上面两式，解得y(0) =e，y (0) = d ?dx= 2e2 .x=0【相关知识点】1.复合函数求导法则：如果u = g(x)在点x可导，而y二f (x)在点u二g(x)可导，则复合函数y二f lg(x)在点x可导，且其导数为dx=f(u)g(x)或dydxdy du=Tdu dx2.两函数乘积的求导公式:f(x) g(x) 1 二 f (x) g(x) f(x) g (x).3

13、.分式求导公式:vV23【答案】(1 x2)2【解析】方法1:3x .1dx =_ 1 x22Vx2d(rxPL1U2 d(1 x2)x1 x2 C 其中C为任意常数积分的凑分法结合分项法，有日(曲一注尹(2)其中C为任意常数2=(sec t-1)d (sect)131ssectsect C 弓1 x)2-1 x2 C ,其中C为任意常数方法3:令t=x2,贝 y x = VT, dx =,x3dx,1 x2dt此后方法同方法.1 t1,积分的凑分法结合分项法【答案】4(迈-1)0.1 t -1 dt(V x2) - 、1 x2 C，其中C为任意常数3【解析】注意 Jf(x)2 =|f(x)=

14、 f (x),不要轻易丢掉绝对值符号；绝对值函数的积分实际上是分段函数的积分a由二倍角公式sin 二2sin 2aCOS ,则有2所以1 -sin：二sin2cos2aa2si n22a cos2a ot二 sincosI 2x 、1-sin xdxsin0壯2x-cos2丿dxm x x sin 一 一 cos一 dx3 2 21221121 x2d(1 x2)d(1 x2)1 3 (1 X2)2 - -1 X2C3方法 2：令 x = tan t,则 dx = sec tdt ,3x32dx = tan tsectdt = tan td(sect) .1 x2dx t sin1cos2dx

15、JI=2 sinI 2xcos-202 x x + 2 ! cos sin 22尢i2= 4(、2 -1).(5)【答案】y二Cx- 1 x3,其中C为任意常数51i【解析】所给方程为一阶线性非齐次方程,其标准形式为y y =-丄x2.2x212dx”x dx C由一阶线性微分方程的通解公式，得Idx y = e 2x=C 7 -1x3 其中C为任意常数.【相关知识点】一阶线性非齐次方程、 P(x)y =Q(x)的通解为-P(x)dx rP(x)dxy =eQ(x)e dx C ,其中C为任意常数四、(本题满分9分)【解析】分段函数的积分应根据积分可加性分段分别求积分另外，被积函数的中间变量非

16、积分变量，若先作变量代换，往往会简化计算令 x -2 二t,则 dx =dt.当 x =1 时，t - -1 ；当 x =3时，t =1,于是31021 t1 f (x2)dx 二f (t)dt分段 I 1 t dt 亠 i e dt-e_t1五、(本题满分9分)【解析】所给方程为常系数的二阶线性非齐次方程，对应的齐次方程的特征方程r2 -3r，2=0有两个根为*=1,2=2,而非齐次项xe,= 1二*为单特征根，因而非齐次方程有如下形式的特解 Y =x(ax，b)eX,1代入方程可得a ,b = -1,所求解为2y 二 Gex C2e2-(x 2)ex,其中 C1,C2 为任意常数.2*【相

17、关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设y (x)是二阶线性非齐次方程/ P(x)y： Q(x)y =f (x)的一个特解.Y(x)是与之对应的齐次方程y P(x)y Q(x)y = 0的通解，则y二丫(x)，y (x)是非齐次方程的通解2.二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解Y(x),可用特征方程法求解：即 9 P(x)y* Q(x)y = 0中的P(x)、Q(x)均是常数，方程变为、 py qy =0 .其特征方程写为r pr0 ,在复数域内解出两个特征根a, r2 ；分三种情况：(1) 两个不相等的实数根 no,则通解为y二Ge C2er2x;(

18、2) 两个相等的实数根a =r2,则通解为y二G C2x erXl;(3) 对共轭复根 ruaiP,则通解为 y ueCGcosPx + C? sinBx).其中 C1,C2 为常数.3.对于求解二阶线性非齐次方程y P(x)y Q(x)y = f (x)的一个特解y* (x),可用待定系数法，有结论如下： x*k x如果f (x) = Pm(x)e-,则二阶常系数线性非齐次方程具有形如y(X)= X Qm(x)e-的特解，其中Qm(x)是与Pm(x)相同次数的多项式，而k按不是特征方程的根、是特征方 程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.如果f (x) =eP(x)cosBx + Pn

19、(x)sin cox,则二阶常系数非齐次线性微分方程y p(x)y、q(x)y = f (x)的特解可设为y* =xkeRrm)(x)cosMx +R9 (x)sinmx,其中Rm)(x)与氏2)(x)是m次多项式，m = max，nf,而k按 i (或先-i -)不是特征 方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1.六、(本题满分9分)【解析】由于y =1 n(1-x2),2X+1X1dx找y+-O -dd2X-dx=In一 x oXX1 -X2V OX+二京-1.2【相关知识点】 平面曲线弧长计算:已知平面曲线 AB的显式表示为y二f(x) a乞xb ,则弧微分为 ds =f2(x)dx

20、,弧长s=.Jf 2(x)dx,其中f(x)在la,b有连续的导数七、(本题满分9分)【解析】过曲线上已知点(怡，丫0)的切线方程为y - y 二 k(x-Xo),其中当 y(x)存在时,k = y (xo).如图所示,设曲线上一点(t,处的切线方程为1、严,化简即得面积-42,其一阶导数s严2严=2t/t令S(t)=O解得唯一驻点t=1,而且S在此由负变正，即S(t)在(-：，1单调递减，在1,匸:)单调递增，在此过程中S(t)在t =1时取极小值也是最小值，所以将t =1代入先前所x 1设的切线方程中，得所求切线方程为y =丄.2 2八、(本题满分9分)【解析】证法一：用拉格朗日中值定理证明.不妨设x2 x, 0,要证的不等式是f(XX2)- f(X2)： f (xj - f (0).在0必上用中值定理，有f (xj - f (0) = f)捲，0：:为,在x2,x1X2上用中值定理，又有f (x,-X2)- f(X2)= f ()X1,X2：: x1x2 ,由 f (x) :： 0,所以 f (x)单调减，而:捲：x2 ：,有)()，所以f(x X2)-f(X2)： f(xj-f(0)= f(xO,即 f(% X2) ： f(X1) f(X2).证法二：用函数不等式来证明要证f (x1 X)：: f (xj f (x