数学自主练习：算法的含义

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精自主广场我夯基我达标1．下面的结论中正确的是()①算法的每一步操作必须是明确的,不能有歧义或模糊②一个算法可以无止境地运算下去③完成一件事情的算法有且只有一种④设计算法要本着简单方便的原则A．①②④B．②③④C．①④D．①②③④思路解析：本题主要是考查算法的性质.算法有以下几个性质：（1)有穷性：一个算法必须总是（对任何合法的输入值）在执行有穷步之后结束，且每一步都可在有穷时间内完成.（2)确定性：也就是说,算法的步骤中不能含有模糊不清、容易让人误解的叙述。（3)可行性：算法的可行性包括两个方面:一是算法中的每一个步骤必须是能实现的；二是算法执行的结果能达到预期的目的.通常，针对实际问题设计的算法，人们总是希望能得到满意的结果。（4)输入.算法一定要根据输入的初始数据或给定的初值才能正确执行它的每一步骤.(5)输出:算法一定能得到问题的解，有一个或多个的输出,达到求解问题的目的。这些输出是同输入有着某些特定关系的量.没有输出结果的算法是没有意义的。此外，还要求算法应具有通用性：即算法应适用于某一类问题中的所有个体，而不是只能用来解决一个具体问题.由于解决一个问题的方法不惟一，则解决某一问题的算法也不一定惟一。所以②③是错误的.此外解此题也可采用排除法.答案：C2．早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5min）、刷水壶（2min）、烧水（8min）、泡面（3min）、吃饭（10min）、听广播(8min）几个步骤。下列选项中最好的一种算法是（）A.S1洗脸刷牙、S2刷水壶、S3烧水、S4泡面、S5吃饭、S6听广播B.S1刷水壶、S2烧水同时洗脸刷牙、S3泡面、S4吃饭、S5听广播C。S1刷水壶、S2烧水同时洗脸刷牙、S3泡面、S4吃饭同时听广播D.S1吃饭同时听广播、S2泡面、S3烧水同时洗脸刷牙、S4刷水壶思路解析：本题考查对一个算法好与坏的判断，在实际生活中做一件事比较好的算法是利用该算法步骤做事省时、省事。要确定早上从起床到出门的几个步骤的一个好的算法是完成这几个步骤用时最少.答案：C3．下面是“烧水泡茶”的两个算法。算法一：第一步烧水;第二步水烧开后,洗刷茶具；第三步沏茶.算法二：第一步烧水;第二步烧水过程中，洗刷茶具;第三步水烧开后沏茶.这两个算法的区别在哪里？哪个算法更高效？为什么?思路解析：在第一个算法中三步所用的时间为烧水、洗茶具和沏茶所用的时间的和,而第二个算法中所用的时间为烧水和沏茶所用的时间的和，故第二个算法更高效.答案：第二个算法更高效，因为节约时间。4．写出求2+4+6+…+200的一个算法.可以运用公式2+4+6+…+2n＝n（n+1)直接计算.第一步①;第二步②；第三步输出运算结果。思路解析：本题考查算法步骤。解此题应首先求出算式中n的取值，然后将n的取值代入公式n(n+1）进行计算，即可得此题的一个算法.答案：①取n＝100②计算n(n+1)5．已知一个学生的语文成绩为89，数学成绩为96,外语成绩为99,求他的总分和平均成绩的一个算法.第一步取A＝89，B＝96，C＝99；第二步①；第三步②；第四步输出D、E。思路解析：本题考查解决实际的问题的算法过程。需先求总分D＝A+B+C，再利用E=求出平均分。答案：①计算总分D＝A+B+C②计算平均成绩E=6．“鸡兔同笼”是我国隋朝时期的数学著作《孙子算经》中的一个有趣的题目：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足,问雉兔各几何？”用方程组的思想不难解决这一问题，请你设计一个这类问题的通用算法.思路解析：本题考查利用消元法解二元一次方程组的算法.设鸡只数为H,兔的只数为F，由题意可得方程组只写出解此方程组的一个算法就可得此题的一个算法。答案：设鸡只数为H，兔的只数为F，求鸡兔各有多少只.算法如下：第一步由方程①可得H=35-F；第二步将H=35-F代入方程②,得70+2F=94;第三步解70+2F=94，得F=12,将F的值代入方程①求得H=23；第四步输出H、F。7．给出求解方程组的一个算法。思路解析:由于解二元一次方程的基本思想是消元法，消元的方法常见的有代入消元法和回代（加减)消元法，对于此题我们可用回代消元来设计解此方程的一个算法。答案:算法如下:第一步方程①不动，将方程②中的x的系数除以方程①中x的系数,得到乘数m==2；第二步方程②减去m乘以方程①，消去方程②中的x项，得到第三步将上面的方程组自下而上回代求解，得到y=1,x=2，所以原方程组的解为x=2,y=1.这种消元回代的算法适用于一般线性方程组的求解。我综合我发展8．写出交换两个大小相同的杯子中的液体（A水、B酒）的两个算法.思路解析：本题实质上是交换两个变量的值。我们可以将A中的液体倒入一个空的容器C中,然后将B中的液体再倒入A中,最后将C中的液体再倒入B中即可.答案:算法1步骤如下：（1)再找一个大小与A相同的空杯子C；(2)将A中的水倒入C中;（3）将B中的酒倒入A中;(4)将C中的水倒入B中，结束.算法2步骤如下：（1）再找两个空杯子C和D；（2）将A中的水倒入C中,将B中的酒倒入D中；(3）将C中的水倒入B中，将D中的酒倒入A中，结束.9．写出1×2×3×4×5×6的一个算法。思路解析:按照逐一相乘的程序进行。答案：算法如下:第一步计算1×2，得到2；第二步将第一步中的运算结果2与3相乘，得到6；第三步将第二步中的运算结果6与4相乘，得到24；第四步将第三步中的运算结果24与5相乘，得到120；第五步将第四步中的运算结果120与6相乘，得到720;第六步输出结果。10．已知一个三角形的三边边长分别为2、3、4，设计一个算法,求出它的面积.思路解析：可利用公式S=求解。答案：算法如下:第一步取a=2,b=3,c=4;第二步计算p=；第三步计算三角形的面积S=；第四步输出S的值.11．已知圆的方程为（x-1）2+(y—1）2=9和点P(5，4），写出求过点P与圆相切的直线AB方程的一个算法.思路解析:求直线的方程常用待定系数法，一般可设点斜式、斜截式，也可以设两点式或截距式.只要直线的斜率存在，就可选用点斜式或斜截式方程.对于点斜式方程中的定点，只要是该直线上的点，哪一个都行.直线方程一般化为一般式。当直线与圆相切时直线到圆心的距离等于半径，当直线方程与圆方程联立后,所得的二元二次方程有两组相同的解，即消元后所得的一元二次方程的判别式的值为0.解题一般利用第一种方法，即利用圆心到直线的距离来求解。答案：算法如下：第一步：点斜式写出直线AB的方程y-4=k(x-5)；第二步：将直线的方程化为一般方程：kx—y—5k+4=0；第三步:计算点（1，1）到直线AB的距离d=；第四步：解方程3=,得k=0或k=；第五步:将k的值代入方程kx-y—5k+4=0.第六步：将第二步的运算结果化简，得到直线的方程.我创新我超越12．现在有三个油瓶子A、B、C分别能装8kg、5kg、3kg的油，除此之外，没有任何其他容器。其中A瓶装满油，其他两个瓶子都是空的.请你想一想，能不能设计不同的用这三个瓶子倒油的算法，使这三个瓶子中的油被平分到两个瓶子中呢?思路解析：这是利用已有条件解决实际问题。解决本题需要勇敢的尝试不同的方法，但对题目适当的分析是很有必要的，这将使解题事半功倍。想象一下这个过程的最后一步是什么样的，