2020-2021学年上海市奉贤区四校高一下学期期中联考数学试题（解析版）

试卷第=page22页，共=sectionpages44页2020-2021学年上海市奉贤区四校高一下学期期中联考数学试题一、单选题1．下列函数与函数相同的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是相同函数．【详解】解：对于A，函数，，与函数，的对应关系不同，不是相同函数；对于B，函数，，与函数，的定义域相同，对应关系也相同，是相同函数；对于C，函数，，与函数，的定义域不同，不是相同函数；对于D，函数，，与函数，的对应关系不同，不是相同函数．故选：B．2．在非等边斜三角形中，为的外接圆半径，为的面积，下列式子中正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】对于A，利用诱导公式化简已知可得2cos2cos1＝0，解方程可解得cos的值，可求范围∈（0，），即可判断；对于B，利用SabsinC＝2R2sinAsinBsinC判定；对于C，利用tanA＝﹣tan（B+C），计算即可；对于D，利用正弦定理，同角三角函数基本关系式可求A＝B＝C，结合已知即可判断得解．【详解】解：对于A，因为sinsin（）＝cos，若cosA＝sin，则可得2cos2cos1＝0，解得cos1，或，因为A∈（0，π），可得∈（0，），可得cos∈（0，1），故错误；对于B，SabsinC•2RsinA•2RsinB•sinC＝2R2sinAsinBsinC，故错误；对于C，因为△ABC为非直角三角形，所以tanA＝﹣tan（B+C），则tanA+tanB+tanC＝tanAtanBtanC，故正确；对于D，若，则，即tanA＝tanB＝tanC，即A＝B＝C，即△ABC是等边三角形，由于△ABC为非等边斜三角形，故错误．故选：C．3．下列式子中正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式化简各选项，可判断各选项的正误.【详解】对于A选项，，A选项错误；对于B选项，，B选项错误；对于C选项，，C选项错误；对于D选项，，D选项正确.故选：D.4．函数，设它的最小正周期为，值域为，则（）A．，，且为奇函数B．，为偶函数C．，且为奇函数D．，，且为偶函数【答案】B【分析】利用倍角公式把已知函数解析式变形，再由周期公式求周期，由的范围求得函数值域，再由奇偶性的定义判断函数的奇偶性．【详解】解：，的最小正周期．，，则函数的值域为，，．又的定义域为，且，则为偶函数．故选：B．二、填空题5．角可以换算成______弧度．【答案】【分析】利用角度与弧度之间的换算关系可得结果.【详解】.故答案为：.6．已知角的终边经过点，则的正弦值是______．【答案】【分析】直接根据三角函数的定义即可求得.【详解】因为角的终边经过点，所以，所以.故答案为：.7．指数函数的图像经过点，则该指数函数的表达式为______．【答案】【分析】根据指数函数图象过点，代入解得的值．【详解】解：指数函数且的图象经过点，所以，解得，所以该指数函数的表达式为．故答案为：．8．函数的定义域是______.【答案】【分析】由对数的真数大于零，即可求解.【详解】函数有意义须，，所以函数的定义域为.故答案为:.【点睛】本题考查函数的定义域，属于基础题.9．已知，，则的解为______．【答案】【分析】直接利用三角函数值，求解角即可．【详解】解：，，，可得，故答案为：．10．已知，，则______．【答案】.【分析】直接根据两角和的正切公式即可求得.【详解】因为，，所以.故答案为：.11．函数（其中常数）的最小正周期是，则______．【答案】【分析】利用正弦型函数的周期公式可求得的值.【详解】由题意可得，故.故答案为：.12．已知函数，，是奇函数，且当时，，则时，______．【答案】.【分析】当时，，求出的表达式，再结合函数的奇偶性即可求出时函数的解析式.【详解】当时，，所以，因为是奇函数，所以.故答案为：.13．在中，已知，，，则的面积是______【答案】【分析】先利用余弦定理求得的值，再由同角三角函数的平方关系得的值，然后根据，得解．【详解】解：由余弦定理知，，，，∴的面积．故答案为：．14．已，，则实数的取值范围是______．【答案】【分析】用表示，再根据，可解得的取值范围．【详解】解：，当时，不成立；当时．又，，，解得：．故答案为：．15．函数的最大值是______．【答案】4【分析】首先把三角函数关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出函数的最大值．【详解】解：函数，当，即时，．故答案为：4．16．已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的坐标为______．【答案】（，）【分析】结合三角函数的定义可先求出经过点的角的三角函数值，然后结合两角和的正弦及余弦公式及三角函数定义可求．【详解】解；设点A′的坐标（x，y），则OA＝OA′，设A为α终边上的一点，则sinα，cos，则cos（），sin（）（sinα+cosα），即x，y，故点A′的坐标为（，）．故答案为：（，）．三、解答题17．某林场为了及时发现火情，设立了两个观测点和．某日两个观测点的林场人员都观测到处出现火情，在处观测到火情发生在北偏西方向，而在处观测到火情在北偏西方向，已知在的正东方向千米处，问火场分别距离以及多远．（精确到千米）．【答案】（千米），（千米）.【分析】求出三个内角的度数，在中，利用正弦定理可求得、的长.【详解】在中，，，，，由正弦定理，可得（千米），（千米）.18．设函数，，．（1）若，求；（2）是否存在正实数，使得是偶函数．【答案】（1）a＝2，（2）a＝4．【分析】（1）根据题意，求出f（1）、f（﹣1）的值，进而可得关于x的方程，计算可得答案；（2）根据题意，假设存在正实数a＞0，使得是偶函数，结合偶函数的定义可得，变形分析可得答案．【详解】解：（1）根据题意，函数，则f（1），f（﹣1）2，若f（1）+f（﹣1），则2，变形可得（a﹣2）2＝0，即a＝2；（2）假设存在正实数a＞0，使得是偶函数，即f（﹣x）＝f（x），即，变形可得（ax﹣4x）（1+ax）＝0，必有a＝4，故存在正实数a＝4，使得是偶函数．19．已知，，，．（1）计算；（2）计算．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用同角三角函数关系式先求的值，再结合二倍角公式求和的值，从而求的值；（2）结合二倍角公式及两角差的余弦公式即可直接求解.【详解】（1）因为，，所以，所以，因为，所以，所以.（2）因为，，所以，因为，所以，又因为，所以，所以，，所以.20．已知函数，一周期内，当时，有最大值为2，当时，有最小值为．（1）求函数表达式；（2）并画出函数在一个周期内的简图．（用“五点法”）；（3）当时，求函数的最值【答案】（1）．（2）画简图见解析．（3）当时有最小值为，当时有最大值为2．【分析】（1）根据题意得，周期为，求出，，从而得到函数的解析式；（2）结合（1）的解析式，用“五点法”画出函数在一个周期内的简图；（3）求出，时的取值范围，即可求得函数的最小值和最大值．【详解】解：（1）在1个周期内，当时有最大值为2，当时有最小值为，所以，且函数的周期，所以．把，代入，得，；解得，，结合，取，得；所以函数表达式为．（2）由题意列表如下：00200描点、连线，画出函数在1个周期，上的简图如下：（3），时，，，所以，，所以，即时，为最小值；，即时，为最大值．所以，当时，有最小值为，当时，有最大值为2．21．设函数，，函，，，．（1）当函数是奇函数，求；（2）证明是严格增函数；（3）当是奇函数时，解关于的不等式．．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）．【分析】（1）利用奇函数的定