【浙教版】九年级数学下册期末高效复习专题5：解直角三角形-附参考答案解析

PAGE1专题5解直角三角形题型一锐角三角函数的概念例1在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin∠A＝eq\f(5,13)，则cos∠A的值为(A)A.eq\f(12,13)B.eq\f(8,13)C.eq\f(2,3)D.eq\f(5,12)【解析】如答图，设BC＝5k，AB＝13k，例1答图由勾股定理，得AC＝eq\r(AB2－BC2)＝eq\r(（13k）2－（5k）2)＝12k，∴cos∠A＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(12k,13k)＝eq\f(12,13).变式跟进1．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，则下列结论正确的是(D)A．sinA＝eq\f(\r(3),2) B．tanA＝eq\f(1,2)C．cosB＝eq\f(\r(3),2) D．tanB＝eq\r(3)2．[2017·益阳]如图1，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB＝α，则拉线BC的长度为(A，D，B在同一条直线上)(B)图1A.eq\f(h,sinα)B.eq\f(h,cosα)C.eq\f(h,tanα) D．h·cosα【解析】根据同角的余角相等，得∠CAD＝∠BCD，由cos∠BCD＝eq\f(CD,BC)，知BC＝eq\f(CD,cos∠BCD)＝eq\f(h,cosα).因此选B.题型二特殊角的三角函数值例2计算下列各题：(1)tan45°－sin60°·cos30°；(2)eq\r(6)sin230°＋sin45°·tan30°.解：(1)原式＝1－eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),2)＝1－eq\f(3,4)＝eq\f(1,4)；(2)原式＝eq\r(6)×eq\f(1,4)＋eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(3),3)＝eq\f(5,12)eq\r(6).变式跟进3．2cos30°－tan45°－eq\r(（1－tan60°）2)＝__0__．4．计算：cos45°·tan45°＋eq\r(3)·tan30°－2cos60°·sin45°.解：原式＝eq\f(\r(2),2)×1＋eq\r(3)×eq\f(\r(3),3)－2×eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),2)＋1－eq\f(\r(2),2)＝1.题型三解直角三角形例3如图2，在△ABC中，∠B＝60°，AB＝2，BC＝1＋eq\r(3)，则∠C的度数为__45°__．图2例3答图【解析】如答图，作AH⊥BC，在Rt△ABH中，∵cosB＝eq\f(BH,AB)，∴BH＝2cos60°＝1，∴AH＝eq\r(AB2－BH2)＝eq\r(3)，∵BC＝1＋eq\r(3)，∴CH＝BC－BH＝1＋eq\r(3)－1＝eq\r(3)，在Rt△ACH中，∵tanC＝eq\f(AH,CH)＝eq\f(\r(3),\r(3))＝1，∴∠C＝45°.【点悟】在一个三角形中，如果已知角度或者角的三角函数值求线段的长度，通常可考虑解直角三角形知识求解．如果没有直角三角形，可通过作辅助线构造直角三角形．变式跟进5．[2017·天河区校级一模]如图3，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AC＝6，D是AC上一点，过D作DE⊥BC于点E，若tan∠DBA＝eq\f(1,5)，则CE的长为__eq\f(12\r(2),5)__．图3【解析】在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AC＝6，∴AB＝AC＝6，∠C＝∠ABC＝45°，∵tan∠DBA＝eq\f(1,5)，∴AD＝eq\f(6,5)，∴CD＝eq\f(24,5)，∵DE⊥BC，∴CE＝eq\f(\r(2),2)CD＝eq\f(12\r(2),5).题型四利用直角三角形测量物体的高度例4[2017·张家界]位于张家界核心景区的贺龙铜像是我国近百年来最大的铜像，铜像由像体AD和底座CD两部分组成，如图4，在Rt△ABC中，∠ABC＝70.5°，在Rt△DBC中，∠DBC＝45°，且CD＝2.3m，求像体AD的高度．(最后结果精确到0.1m，参考数据：sin70.5°≈0.943，cos70.5°≈0.334，tan70.5°≈2.824)图4解：在Rt△BCD中，∠DBC＝45°，∴BC＝CD＝2.3，在Rt△ABC中，tan∠ABC＝eq\f(AC,BC)，tan70.5°＝eq\f(AD＋CD,BC)＝eq\f(AD＋2.3,2.3)，∴AD≈4.2(m)．答：像体AD的高度约为4.2m.变式跟进6．[2017·东营]一数学兴趣小组来到某公园，准备测量一座塔的高度．如图5，在A处测得塔顶的仰角为α，在B处测得塔顶的仰角为β，又测量出A，B两点的距离为sm，则塔高为eq\f(tanαtanβ,tanβ－tanα)·sm.图5【解析】在Rt△CBD中，BD＝eq\f(CD,tanβ)，∴AD＝eq\f(CD,tanβ)＋s，在Rt△CAD中，CD＝ADtanα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(CD,tanβ)＋s))·tanα，化简得CD＝eq\f(tanαtanβ,tanβ－tanα)·s.7．[2017·鄂州]如图6，小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底M处出发，向前走3m到达A处，测得树顶端E的仰角为30°，他又继续走下台阶到达C处，测得树的顶端E的仰角是60°，再继续向前走到大树底D处，测得食堂楼顶N的仰角为45°.已知A点离地面的高度AB＝2m，∠BCA＝30°，且B，C，D三点在同一直线上．(1)求树DE的高度；(2)求食堂MN的高度．图6第7题答图解：(1)由题意，得AF∥BC，∴∠FAC＝∠BCA＝30°，∴∠EAC＝∠EAF＋∠CAF＝30°＋30°＝60°.∵∠ACE＝180°－∠BCA－∠DCE＝180°－30°－60°＝90°，∴∠AEC＝180°－∠EAC－∠ACE＝180°－60°－90°＝30°.在△ABC中，∵∠BCA＝30°，AB＝2，∴AC＝2AB＝4.在△ACE中，∵∠AEC＝30°，AC＝4，∴EC＝eq\r(3)AC＝4eq\r(3).在△CDE中，∵sin∠ECD＝eq\f(ED,EC)，∠ECD＝60°，EC＝4eq\r(3)，∴sin60°＝eq\f(ED,4\r(3))，∴ED＝4eq\r(3)sin60°＝4eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝6(m)．答：树DE的高度为6m；(2)如答图，延长NM交BC于点G，则GB＝MA＝3.在△ABC中，∵AB＝2，AC＝4，∴BC＝eq\r(AC2－AB2)＝eq\r(42－22)＝2eq\r(3).在△CDE中，∵CE＝4eq\r(3)，DE＝6，∴CD＝eq\r(CE2－DE2)＝eq\r(（4\r(3)）2－62)＝2eq\r(3).∴GD＝GB＋BC＋CD＝3＋2eq\r(3)＋2eq\r(3)＝3＋4eq\r(3).在△GDN中，∵∠NDG＝45°，∴NG＝GD＝3＋4eq\r(3).∴MN＝NG－MG＝NG－AB＝3＋4eq\r(3)－2＝(1＋4eq\r(3))m.答：食堂MN的高度为(1＋4eq\r(3))m.题型五利用直角三角形解决航海问题例5[2017·天水]如图7，一艘轮船位于灯塔P南偏西60°方向的A处，它向东航行20海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处，若轮船继续沿正东方向航行，求轮船航行途中与灯塔P的最短距离．(结果保留根号)图7例5答图解：如答图，过P作PM⊥AB的延长线于点M，设PM＝x，则BM＝x，AB＝20.tan∠PAM＝eq\f(PM,AM)＝eq\f(x,x＋20)＝eq\f(\r(3),3)，解得x＝10eq\r(3)＋10，根据题意可知，最短距离为PM＝(10eq\r(3)＋10)海里．变式跟进8．[2017·大庆]如图8，已知一条东西走向的河流，在河流对岸有一点A，小明在岸边点B处测得点A在点B的北偏东30°方向上，小明沿河岸向东走80m后到达点C，测得点A在点C的北偏西60°方向上，则点A到河岸BC的距离为__20eq\r(3)__m.图8第8题答图【解析】如答图，过点A作AD⊥BC于点D.根据题意，得∠ABC＝90°－30°＝60°，∠ACD＝30°，在Rt△ABD中，tan∠ABD＝eq\f(AD,BD)，∴BD＝eq\f(AD,tan60°).同理，在Rt△ACD中，CD＝eq\f(AD,tan30°)，∵BD＋CD＝BC＝80，∴eq\f(AD,tan60°)＋eq\f(AD,tan30°)＝80，解得AD＝20eq\r(3)，即点A到河岸BC的距离为20eq\r(3)m.9．[2017·天津]如图9，一艘海轮位于灯塔P的北偏东64°方向，距离灯塔120海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处．求BP和BA的长．(结果取整数，参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05，eq\r(2)≈1.414)图9第9题答图解：如答图，过点P作PM⊥AB于M，由题意可知，∠A＝64°，∠B＝45°，PA＝120.Rt△APM中，PM＝PA·sinA＝PA·sin64°≈108，AM＝PA·cosA＝PA·cos64°≈52.8.在Rt△BPM中，∵∠B＝45°，∴BM＝PM≈108，PB＝eq\r(2)PM≈153，∴BA＝BM＋AM≈108＋52.8≈161.答：BP长约为153海里，BA长约为161海里．题型六利用直角三角形解决坡度问题例6[2016·杭州期中]如图10，水库大坝截面的迎水坡坡比(DE与AE的长度之比)为1∶0.6，背水坡坡比为1∶2，大坝高DE＝30m，坝顶宽CD＝10m，求大坝的截面的周长和面积．图10解：∵迎水坡坡比(DE与AE的长度之比)为1∶0.6，DE＝30m，∴AE＝18m，在Rt△ADE中，AD＝eq\r(DE2＋AE2)＝6eq\r(34)m，∵背水坡坡比为1∶2，∴BF＝60m，在Rt△BCF中，BC＝eq\r(CF2＋BF2)＝30eq\r(5)m，∴周长＝DC＋AD＋AE＋EF＋BF＋BC＝6eq\r(34)＋10＋30eq\r(5)＋88＝(6eq\r(34)＋30eq\r(5)＋98)m，面积＝(10＋18＋10＋60)×30÷2＝1470(m2)．故大坝的截面的周长是(6eq\r(34)＋30eq\r(5)＋98)m，面积是1470m2.【点悟】坡度坡角问题关键是设法化归为解直角三角形问题，必要时应添加辅助线，构造出直角三角形．在两个直角三角形有公共直角边时，先求出公共边的长是解答此类题的基本思路．变式跟进10．[2017·重庆]如图11，已知点C与某建筑物底端B相距306m(点C与点B在同一水平面上)，某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡CD行走195m至坡顶D处．斜坡CD的坡度(或坡比)i＝1∶2.4，在D处测得该建筑物顶端A的俯角为20°，则建筑物AB的高度约为(精确到0.1m，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364)(A)A．29.1m B．31.9mC．45.9m D．95.9m图11第10题答图【解析】如答图，过点D作DE⊥BC，垂足为E，解Rt△CDE得DE＝75m，CE＝180m，根据BC＝306m可求得BE＝126m，过A作AF⊥DE，∴AF＝BE＝126m，∵∠DAF＝20°，而tan20°≈0.364，即eq\f(DF,AF)＝eq\f(DF,126)，∴DF≈45.864m，∴AB＝DE－DF≈29.1m．过关训练1．[2017·洪泽]Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝eq\f(3,5)，AC＝6cm，那么BC等于(A)A．8cmB.eq\f(24,5)cmC.eq\f(18,5)cmD.eq\f(6,5)cm【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(3,5)，AC＝6cm，∴AB＝10cm，BC＝eq\r(AB2－AC2)＝8(cm)．2．[2016·益阳]小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图1，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C为水平线)，测角仪的高度为1m，则旗杆PA的高度为(A)图1A.eq\f(1,1－sinα)B.eq\f(1,1＋sinα)C.eq\f(1,1－cosα)D.eq\f(1,1＋cosα)【解析】设PA＝PB＝PB′＝x，在Rt△PCB′中，sinα＝eq\f(PC,PB′)，∴eq\f(x－1,x)＝sinα，∴x＝eq\f(1,1－sinα).3．计算：(1)sin260°－tan30°·cos30°＋tan45°；(2)eq\f(2sin30°,2sin60°－tan45°)－eq\f(3,2)cos60°.解：(1)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2)－eq\f(\r(3),3)×eq\f(\r(3),2)＋1＝eq\f(3,4)－eq\f(1,2)＋1＝eq\f(5,4)；(2)原式＝eq\f(2×\f(1,2),2×\f(\r(3),2)－1)－eq\f(3,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,\r(3)－1)－eq\f(3,4)＝eq\f(\r(3)＋1,2)－eq\f(3,4)＝eq\f(\r(3),2)－eq\f(1,4).4．[2017·安徽]如图2，游客在点A处坐缆车出发，沿A－B－D的路线可至山顶D处，假设AB和BD都是直线段，且AB＝BD＝600m，α＝75°，β＝45°，求DE的长．(参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，eq\r(2)≈1.41)图2解：在Rt△ABC中，∵cosα＝eq\f(BC,AB)，∴BC＝AB·cosα≈156(m)．在Rt△BDF中，∵sinβ＝eq\f(DF,BD)，∴DF＝BD·sinβ＝600×eq\f(\r(2),2)＝300eq\r(2)≈423(m)．又∵EF＝BC，∴DE＝DF＋EF≈579(m)．5．[2016·临沂]一般地，当α，β为任意角时，sin(α＋β)与sin(α—β)的值可以用下面的公式求得：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.例如sin90°＝sin(60°＋30°)＝sin60°cos30°＋cos60°·sin30°＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝1.类似地，可以求得sin15°的值是__eq\f(\r(6)－\r(2),4)__．6．[2017·贵港]如图3，点P在等边三角形ABC的内部，且PC＝6，PA＝8，PB＝10，将线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P′C，连结AP′，则sin∠PAP′的值为__eq\f(3,5)__．图3第6题答图【解析】如答图，连结PP′，∵线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P′C，∴CP＝CP′＝6，∠PCP′＝60°，∴△CPP′为等边三角形，∴PP′＝PC＝6，∵△ABC为等边三角形，∴CB＝CA，∠ACB＝60°，∴∠PCB＝∠P′CA，在△PCB和△P′CA中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(PC＝P′C，,∠PCB＝∠P′CA，,CB＝CA，))∴△PCB≌△P′CA，∴PB＝P′A＝10，∵62＋82＝102，∴PP′2＋AP2＝P′A2，∴△APP′为直角三角形，∠APP′＝90°，∴sin∠PAP′＝eq\f(PP′,P′A)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).7．[2017·泰兴校级二模]如图4，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，A在B的正东方向，AB＝4km.有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向．(1)求点P到海岸线l的距离(结果保留根号)；(2)小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后到点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°的方向．求点C与点B之间的距离．(结果精确到0.1km，eq\r(2)≈1.41，eq\r(3)≈1.73)图4第7题答图解：(1)如答图，过点P作PD⊥AB于点D.设PD＝xkm.在Rt△PBD中，∠BDP＝90°，∠PBD＝90°－45°＝45°，∴BD＝PD＝xkm.在Rt△PAD中，∠ADP＝90°，∠PAD＝90°－60°＝30°，∴AD＝eq\r(3)PD＝eq\r(3)xkm.∵BD＋AD＝AB，∴x＋eq\r(3)x＝4，x＝2eq\r(3)－2，∴