四川省眉山市仁寿第一中学北校区2023-2024学年高二下学期4月月考试题数学

25届高二下学期4月月考数学试卷本试卷分选择题和非选择题两部分.第Ⅰ卷（选择题）第1页，第Ⅱ卷（非选择题）第2页，共2页；满分150分，考试时间120分钟注意事项：1、答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号写在答题卡上；2、选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试卷上，非选择题部分用0.5mm的黑色签字笔在答题卡相应位置作答！第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单选题1.在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系.该运动员在t=1s时的瞬时速度（单位：m/s）为（）A.10.9 B.10.9 C.5 D.52.已知函数（）A.12 B. C.3 D.63.函数单调递增区间（）A. B. C. D.4.设曲线和曲线在它们的公共点处有相同的切线，则的值为（）A. B.C. D.5.函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.6.已知，则的图象是（）A. B.C. D.7.若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.8.已知，，，则a，b，c的大小关系是（）A. B.C. D.二､多选题（全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.若直线是函数图像的一条切线，则函数可以是（）A. B. C. D.10.已知函数的导函数的图象如图所示，下列说法正确的是（）A.函数在上单调递增 B.函数在上单调递减C.函数在处取得极大值 D.函数有最大值11.设函数的导函数为，则（）A. B.是的极值点C.存零点 D.在单调递减12.（多选）定义在区间上的函数，其图象是连续不断的，若，使得，则称为函数在区间上的“中值点”，则下列函数在区间上“中值点”多于一个的函数是（）A. B.C. D.第Ⅱ卷（选择题共90分）二、填空题（每题5分，共计20分）13.设函数的导数为，且，则____________.14.若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是_________．15.若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．16.已知是函数的导函数，且对任意的实数都有，则不等式的解集为___________.三、解答题（6个大题，共计70分）17.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的极值.18.已知是的一个极值点.（1）求函数的单调递增区间；（2）设函数，若函数在区间[1，2]内单调递减，求实数的取值范围.19.从旅游景点到有一条的水路，某轮船公司开设一个游轮观光项目.已知游轮每小时使用的燃料费用与速度的立方成正比例，其他费用为每小时3240元，游轮最大时速为，当游轮速度为时，燃料费用为每小时60元，单程票价定为150元/人.（1）若一艘游轮单程以速度航行，所载游客为180人，则轮船公司获利是多少？（2）如果轮船公司要获取最大利润，游轮的航速为多少？20.已知函数.（1）求函数f(x)单调递增区间；（2）若函数f(x)有三个零点，求实数的取值范围.21.已知函数.（1）当时，求函数在上的最大值和最小值；（2）若函数在区间内存在极小值，求实数取值范围.22.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，恒成立，求整数k的最大值.25届高二下学期4月月考数学试卷本试卷分选择题和非选择题两部分.第Ⅰ卷（选择题）第1页，第Ⅱ卷（非选择题）第2页，共2页；满分150分，考试时间120分钟注意事项：1、答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号写在答题卡上；2、选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试卷上，非选择题部分用0.5mm的黑色签字笔在答题卡相应位置作答！第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单选题1.在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系.该运动员在t=1s时的瞬时速度（单位：m/s）为（）A.10.9 B.10.9 C.5 D.5【答案】D【解析】【分析】先对函数求导，然后把代入即可求解．【详解】解：因为，所以，令，得瞬时速度为．故选：D.2.已知函数（）A.12 B. C.3 D.6【答案】B【解析】【分析】由导数的概念，基本初等函数的导函数计算即可.【详解】，，故选：B.3.函数的单调递增区间（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出导函数，令，解不等式即可得答案.【详解】解：因为函数，所以，令，解得，所以函数的单调递增区间为，故选：C.4.设曲线和曲线在它们的公共点处有相同的切线，则的值为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用导数几何意义可知，可求得；根据为两曲线公共点可构造方程求得，代入可得结果.【详解】，，，，，又为与公共点，，，解得：，.故选：D.5.函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数在上单调递增，由在上恒成立求解.【详解】解：因为函数，所以，因为函数在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，则，解得或，所以实数a的取值范围是，故选：D6.已知，则的图象是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】探讨函数的奇偶性，再利用导数探讨函数的单调性即可判断得解.【详解】函数的定义域为R，，则函数是奇函数，其图象关于原点对称，B错误；求导得，当且仅当时取等号，因此函数在R上单调递增，AC错误，D符合要求.故选：D7.若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析】由在有2个不同的零点，结合二次函数的性质可求．【详解】解：因为有两个不同的极值点，所以在有2个不同的零点，所以在有2个不同的零点，所以，解可得，．故选：．8.已知，，，则a，b，c的大小关系是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据给定条件构造函数，再探讨其单调性并借助单调性判断作答.【详解】令函数，求导得，令，则，故，单调递减，又，故，即，而，则，即，所以，故选：A二､多选题（全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.若直线是函数图像的一条切线，则函数可以是（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】求得已知直线的斜率，对选项中的函数分别求导，可令导数为，解方程即可判断结论【详解】解：直线的斜率为，由的导数为，即切线的斜率小于0，故A不正确；由的导数为，而，解得，故B正确；由的导数为，而有解，故C正确；由的导数为，而，解得，故D正确，故选：BCD【点睛】此题考查导数的几何意义，正确求导是解题的关键，考查运算能力，属于基础题10.已知函数的导函数的图象如图所示，下列说法正确的是（）A.函数在上单调递增 B.函数在上单调递减C.函数在处取得极大值 D.函数有最大值【答案】BC【解析】【分析】根据导数符号与原函数单调性之间的关系可得的单调性，进而逐项分析判断.【详解】由题意可知：当时，（不恒为0）；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增.可知：A错误；B正确；且函数在处取得极大值，故C正确；虽然确定的单调性，但没有的解析式，故无法确定的最值，故D错误；故选：BC.11.设函数的导函数为，则（）A. B.是的极值点C.存在零点 D.在单调递减【答案】AD【解析】【分析】判断导数的符号，可判断ABD选项的正误；判断函数值符号可判断C象限的正误.【详解】函数的定义域为，对任意的，，C错；因，且，所以，函数在上为减函数，故AD对，B错.故选：AD.12.（多选）定义在区间上的函数，其图象是连续不断的，若，使得，则称为函数在区间上的“中值点”，则下列函数在区间上“中值点”多于一个的函数是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】通过对题中新定义的理解，逐一验证选项是否符合定义要求即可【详解】对于A，由得恒成立，所以A符合.对于B，又，对于唯一，所以B不符合.对于C，，，又，对于，使得唯一，所以C不符合.对于D，，，又，对于使得不唯一所以D符合.故选：AD.第Ⅱ卷（选择题共90分）二、填空题（每题5分，共计20分）13.设函数的导数为，且，则____________.【答案】【解析】【分析】根据求导法则，建立方程，可得答案.【详解】由题意，可得，所以，即，解得：，所以.故答案为：.14.若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是_________．【答案】【解析】【分析】由导函数求得极大值，利用极大值点在区间上，且的极大值可得参数范围．【详解】，或时，，时，，所以在和上都递增，在上递减，，在区间上有最大值，则，解得．故答案为：．15.若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．【答案】【解析】【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围.【详解】∵，∴，设切点为,则,切线斜率,切线方程为：,∵切线过原点，∴,整理得：,∵切线有两条，∴,解得或,∴的取值范围是,故答案为：16.已知是函数的导函数，且对任意的实数都有，则不等式的解集为___________.【答案】【解析】【分析】由题意，得，构造函数，然后求出函数的解析式，再确定的解析式，进一步不等式即可．【详解】解：由题意，因为，所以，，令，则，，即，，不等式的解集等价于，解得．故答案为：．三、解答题（6个大题，共计70分）17.已知函数.（1）求曲线在点处切线方程；（2）求函数的极值.【答案】（1）（2）极小值为，无极大值【解析】【分析】（1）求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程；（2）利用导数分析函数的单调性，即可得出函数的极值.【小问1详解】解：的定义域为，，可得，.故所求切线方程为，即.小问2详解】解：的定义域为，，令解得，当变化时，、的变化情况如下表：x－0＋减增所以函数的极小值为，无极大值.18.已知是的一个极值点.（1）求函数的单调递增区间；（2）设函数，若函数在区间[1，2]内单调递减，求实数的取值范围.【答案】（1）（1，）（2）(－∞，－10]【解析】【分析】(1)求f′(x)，因为x＝1是f(x)的一个极值点，所以f′(1)＝0，代入计算求出b的值，然后求导求f(x)的单调区间.（2）函数g(x)在区间[1，2]上单调递减，则g′(x)在[1，2]上恒成立.求g(x)导函数g′(x)，g′(x)≤0在[1，2]恒成立等价于当x∈[1，2]时a≤－2x2－x恒成立，求二次函数t＝－2x2－x的最小值，从而求出实数a的范围.【小问1详解】f(x)＝2x＋＋lnx，定义域为(0，＋∞).∴f′(x)＝2－＋＝.因为x＝1是f(x)＝2x＋＋lnx的一个极值点，所以f′(1)＝0，即2－b＋1＝0.解得b＝3，经检验，适合题意，所以b＝3.所以f′(x)＝2－＋＝，令f′(x)>0，得x>1.所以函数f(x)的单调递增区间为（1，）.【小问2详解】函数g(x)在区间[1，2]上单调递减，则g′(x)在[1，2]上恒成立.又g′(x)＝2＋＋，g′(x)≤0在[1，2]恒成立等价于当x∈[1，2]时，a≤－2x2－x恒成立，又t＝－2x2－x＝－2＋，x∈[1，2]是减函数，∴当x＝2时，t＝－2x2－x取得最小值－10.所以a≤－10，即实数a的取值范围为(－∞，－10].19.从旅游景点到有一条的水路，某轮船公司开设一个游轮观光项目.已知游轮每小时使用的燃料费用与速度的立方成正比例，其他费用为每小时3240元，游轮最大时速为，当游轮速度为时，燃料费用为每小时60元，单程票价定为150元/人.（1）若一艘游轮单程以的速度航行，所载游客为180人，则轮船公司获利是多少？（2）如果轮船公司要获取最大利润，游轮的航速为多少？【答案】（1）元；（2）轮船公司要获得最大利润，游轮的航速应为．【解析】【分析】（1）设游轮以每小时的速度航行，游轮单程航行的总费用为元，求出函数解析式，再根据利润收入成本计算可得；（2）利用函数的单调性，即可求出函数的最小值．【详解】解：设游轮以每小时的速度航行，游轮单程航行的总费用为元，游轮的燃料费用每小时元，依题意，则，，（1）当时，（元，轮船公司获得的利润是元．（2）因为，所以，令得，，当时，，即在上单调递减；当时，，即在上单调递增；故当时，有极小值，也是最小值，，所以轮船公司要获得最大利润，游轮的航速应为．20.已知函数.（1）求函数f(x)的单调递增区间；（2）若函数f(x)有三个零点，求实数的取值范围.【答案】（1）(－∞，－1)和；（2）.【解析】【分析】（1）求出导数，解不等式，求出单增区间；（2）利用三次函数的特征，要使f(x)有三个零点，只需f(x)极大值×f(x)极小值<0，解不等式即可.【详解】解：(1)，则f′(x)＝3x2＋2x－1，由f′(x)>0，得x<－1或x>，所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和.（2）由（1）知，在取得极大值，在取得极小值函数f(x)有三个零点，解得实数的取值范围.【点睛】函数的单调性与导数的关系：已知函数在某个区间内可导，（1）如果>0，那么函数在这个区间内单调递增；如果<0，那么函数在这个区间内单调递减；（2）函数在这个区间内单调递增，则有；函数在这个区间内单调递减，则有；21.已知函数.（1）当时