必修二课后作业第一章　立体几何初步124第1课时

平面与平面的位置关系第1课时两平面平行学习目标1.了解平面与平面的位置关系，掌握面面平行的判定定理、性质定理.2.会进行“线线平行”、“线面平行”及“面面平行”相互之间的转化，来证明“线线平行”、“线面平行”及“面面平行”等问题.3.了解两个平面间的距离的概念．知识点一两个平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点平面α与平面β平行α∥β没有公共点平面α与平面β相交α∩β＝l有一条公共直线知识点二平面与平面平行的判定定理思考1三角板的一条边所在的直线与平面α平行，这个三角板所在的平面与平面α平行吗？答案不一定．思考2三角板的两条边所在的直线分别与平面α平行，这个三角板所在的平面与平面α平行吗？答案平行．梳理表示定理图形文字符号两个平面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊂α,b⊂α,a∩b＝A,a∥β,b∥β))⇒α∥β知识点三平面与平面平行的性质定理观察长方体ABCD—A1B1C1D1中的两个平面：平面ABCD及平面A1B1C1D1.思考1平面A1B1C1D1中的所有直线都平行于平面ABCD吗？答案是的．思考2若m⊂平面ABCD，n⊂平面A1B1C1D1，则m∥n吗？答案不一定，也可能异面．思考3过BC的平面交平面A1B1C1D1于B1C1，B1C1与BC是什么关系？答案平行．梳理表示定理图形文字符号两个平面平行的性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b类型一两平面平行的判定例1已知在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC.证明∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，∴MQ∥AD，NQ∥BP.∵BP⊂平面PBC，NQ⊄平面PBC，∴NQ∥平面PBC.又底面ABCD为平行四边形，∴BC∥AD，∴MQ∥BC.∵BC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC，∴MQ∥平面PBC.又MQ∩NQ＝Q，根据平面与平面平行的判定定理，得平面MNQ∥平面PBC.反思与感悟判定平面与平面平行的常用方法(1)利用定义，证明两个平面没有公共点，常用反证法．(2)利用判定定理．要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面．应遵循先找后作的原则，即先在一个平面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线．(3)利用平行平面的传递性，即α∥β，β∥γ，则α∥γ.(客观题用)跟踪训练1如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?解当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，连结PQ，易证四边形PQBA是平行四边形，∴QB∥PA.又∵AP⊂平面APO，QB⊄平面APO，∴QB∥平面APO.∵P、O分别为DD1、DB的中点，∴D1B∥PO.同理可得D1B∥平面PAO，又D1B∩QB＝B，∴平面D1BQ∥平面PAO.类型二面面平行的性质定理的应用命题角度1由面面平行的性质定理求线段长例2如图，平面α∥β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于S，且AS＝8，BS＝9，CD＝34，求SC的长．解设AB，CD确定平面γ，因为γ∩α＝AC，γ∩β＝BD，且α∥β，所以AC∥BD，所以△SAC∽△SBD，所以eq\f(SC,SC＋CD)＝eq\f(SA,SB)，即eq\f(SC,SC＋34)＝eq\f(8,9)，所以SC＝272.引申探究若将本例改为：点S在平面α，β之间(如图)，其他条件不变，求CS的长．解设AB，CD确定平面γ，γ∩α＝AC，γ∩β＝BD.因为α∥β，所以AC∥BD，所以△ACS∽△BDS，所以eq\f(AS,BS)＝eq\f(CS,DS).设CS＝x，则eq\f(8,9)＝eq\f(x,34－x)，所以x＝16，即CS＝16.反思与感悟应用平面与平面平行性质定理的基本步骤跟踪训练2如图所示，平面α∥平面β，△ABC，△A′B′C′分别在α，β内，线段AA′，BB′，CC′共点于O，O在平面α和平面β之间，若AB＝2，AC＝2，∠BAC＝60°，OA∶OA′＝3∶2，则△A′B′C′的面积为________．答案eq\f(4\r(3),9)解析AA′，BB′相交于点O，所以AA′，BB′确定的平面与平面α，平面β的交线分别为AB，A′B′，所以AB∥A′B′，且eq\f(OA,OA′)＝eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(3,2).同理可得eq\f(OA,OA′)＝eq\f(AC,A′C′)＝eq\f(3,2)，eq\f(OA,OA′)＝eq\f(BC,B′C′)＝eq\f(3,2).所以△ABC，△A′B′C′面积的比为9∶4，又△ABC的面积为eq\r(3)，所以△A′B′C′的面积为eq\f(4\r(3),9).命题角度2利用面面平行证明线线平行例3如图所示，四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D均在平行四边形A′B′C′D′外，且AA′，BB′，CC′，DD′互相平行，求证：四边形ABCD是平行四边形．证明∵四边形A′B′C′D′是平行四边形，∴A′D′∥B′C′.∵A′D′⊄平面BB′C′C，B′C′⊂平面BB′C′C，∴A′D′∥平面BB′C′C.同理AA′∥平面BB′C′C.∵A′D′⊂平面AA′D′D，AA′⊂平面AA′D′D，且A′D′∩AA′＝A′，∴平面AA′D′D∥平面BB′C′C.又∵AD，BC分别是平面ABCD与平面AA′D′D，平面BB′C′C的交线，∴AD∥BC.同理可证AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形．反思与感悟本类题的解题思路一般为先得出线面平行，再得面面平行，最后由面面平行的性质定理得线线平行．跟踪训练3如图，已知E，F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点，求证：四边形BED1F是平行四边形．证明如图，连结AC，BD，交点为O，连结A1C1，B1D1，交点为O1，连结BD1，EF，OO1，设OO1的中点为M，由正方体的性质可得四边形ACC1A1为矩形．又因为E，F分别为AA1，CC1的中点，所以EF过OO1的中点M，同理四边形BDD1B1为矩形，BD1过OO1的中点M，所以EF与BD1相交于点M，所以E，B，F，D1四点共面．又因为平面ADD1A1∥平面BCC1B1，平面EBFD1∩平面ADD1A1＝ED1，平面EBFD1∩平面BCC1B1＝BF，所以ED1∥BF.同理可证EB∥D1F.所以四边形BED1F是平行四边形．类型三平行关系的综合应用例4设AB，CD为夹在两个平行平面α，β之间的线段，且直线AB，CD为异面直线，M，P分别为AB，CD的中点．求证：MP∥平面β.证明如图，过点A作AE∥CD交平面β于点E，连结DE，BE.∵AE∥CD，∴AE，CD确定一个平面，设为γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝DE.又α∥β，∴AC∥DE(面面平行的性质定理)，取AE的中点N，连结NP，MN，∴M，P分别为AB，CD的中点，∴NP∥DE，MN∥BE.又NP⊄β，DE⊂β，MN⊄β，BE⊂β，∴NP∥β，MN∥β，∵NP∩MN＝N，∴平面MNP∥β.∵MP⊂平面MNP，MP⊄β，∴MP∥β.反思与感悟线线平行、线面平行、面面平行是一个有机整体，平行关系的判定定理、性质定理是转化平行关系的关键，其内在联系如图所示：跟踪训练4如图所示，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、P、Q分别是BC、C1D1、AD1、BD的中点．(1)求证：PQ∥平面DCC1D1；(2)求PQ的长；(3)求证：EF∥平面BB1D1D.(1)证明方法一如图，连结AC、CD1.∵P、Q分别是AD1、AC的中点，∴PQ∥CD1.又PQ⊄平面DCC1D1，CD1⊂平面DCC1D1，∴PQ∥平面DCC1D1.方法二取AD的中点G，连结PG、GQ，则有PG∥DD1，GQ∥DC，且PG∩GQ＝G，∴平面PGQ∥平面DCC1D1.又PQ⊂平面PGQ，∴PQ∥平面DCC1D1.(2)解由(1)易知PQ＝eq\f(1,2)D1C＝eq\f(\r(2),2)a.(3)证明方法一取B1D1的中点O1，连结FO1，BO1，则有FO1綊eq\f(1,2)B1C1.又BE綊eq\f(1,2)B1C1，∴BE綊FO1.∴四边形BEFO1为平行四边形，∴EF∥BO1.又EF⊄平面BB1D1D，BO1⊂平面BB1D1D，∴EF∥平面BB1D1D.方法二取B1C1的中点E1，连结EE1、FE1，则有FE1∥B1D1，EE1∥BB1，且FE1∩EE1＝E1，B1D1∩BB1＝B1，∴平面EE1F∥平面BB1D1D.又EF⊂平面EE1F，∴EF∥平面BB1D1D.1．下列条件中，可以用来判定平面α与平面β平行的是________．(填序号)①α内有无穷多条直线与β平行；②直线a∥α，a∥β；③直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β，b∥α；④α内的任何直线都与β平行．答案④2．已知α，β是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，若α∥β，且a⊂α，b⊂β，则直线a，b的位置关系是________．答案平行或异面解析利用正方体模型及两个平面的位置关系的定义，可得直线a，b的位置关系是平行或异面．3．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，下列四对截面中彼此平行的是________．(填序号)①截面A1BC1和截面ACD1；②截面BDC1和截面B1D1C；③截面B1D1D和截面BDA1；④截面ADC1和截面AD1C.答案①解析易证A1B∥CD1，BC1∥AD1，由面面平行的判定定理，可得截面A1BC1∥截面ACD1，所以①符合条件；因为截面BDC1和截面B1D1C相交，截面B1D1D和截面BDA1相交，截面ADC1和截面AD1C相交，所以②③④不符合条件．故填①.4．若一平面截平行六面体，与两组相对的面相交，则截面四边形的形状一定是______________．答案平行四边形解析由面面平行的性质定理可得．5.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，侧面对角线AB1、BC1上分别有两点E、F，且B1E＝C1F.求证：EF∥平面ABCD.证明过E作EG∥AB交BB1于点G，连结GF，则eq\f(B1E,B1A)＝eq\f(B1G,B1B)，∵B1E＝C1F，B1A＝C1B，∴eq\f(C1F,C1B)＝eq\f(B1G,B1B)，∴FG∥B1C1∥BC.又∵EG∩FG＝G，AB∩BC＝B，∴平面EFG∥平面ABCD.又∵EF⊂平面EFG，∴EF∥平面ABCD.1．证明面面平行的方法(1)面面平行的定义．(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(3)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．(4)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．2．常用的面面平行的其他几个性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．(5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．3．空间中各种平行关系相互转化的示意图课时作业一、填空题1．给出下列条件：①两个平面不相交；②两个平面没有公共点；③一个平面内所有直线都平行于另一个平面；④一个平面内有一条直线平行于另一个平面；⑤一个平面内有两条直线平行于另一个平面．其中能判断两个平面平行的是________．(填序号)答案①②③解析由两个平面的位置关系知①正确；由两个平面平行的定义知②③正确；两个平面相交，其中一个平面内可以有无数条直线与另一个平面平行，故④⑤错误，故填①②③.2．已知平面α∥平面β，直线a⊂平面α，则下列命题中正确的是________．(填序号)①a与β内的所有直线平行；②a与β内的无数条直线平行；③a与β内的任何直线都不平行；④a与β没有公共点．答案②④3．已知夹在两平行平面α，β之间的线段AB的长为6，AB与α所成的角为60°，则α与β之间的距离为________．答案3eq\r(3)解析过B作BC⊥α于C(图略)，则∠BAC＝60°，在Rt△ABC中，BC＝AB·sin60°＝3eq\r(3).4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为棱A1D1上的动点，O为底面ABCD的中心，E、F分别是A1B1、C1D1的中点，下列平面中与OM扫过的平面平行的是________．(填序号)①平面ABB1A1; ②平面BCC1B1；③平面BCFE; ④平面DCC1D1.答案③解析AB、DC的中点分别为E1和F1，OM扫过的平面即为平面A1E1F1D1(如图)．故平面A1E1F1D1∥平面BCFE.5．若不共线的三点到平面α的距离相等，则这三点确定的平面β与α之间的关系是____________．答案平行或相交解析若三点在平面α的同侧，则α∥β；若三点在平面α的异侧，则α与β相交．6．已知α∥β且α与β间的距离为d，直线a与α相交于点A，与β相交于点B，若AB＝eq\f(2\r(3),3)d，则直线a与α所成的角等于________．答案60°解析设直线a与α所成的角为θ.由题意得AB＝eq\f(d,sinθ)＝eq\f(2\r(3)d,3).∴sinθ＝eq\f(\r(3),2).又0°≤θ≤90°，∴θ＝60°.7.如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于点M，交BC于点N，则eq\f(MN,AC)＝____.答案eq\f(1,2)解析∵平面MNE∥平面ACB1，由面面平行的性质定理，可得EN∥B1C，EM∥B1A.又∵E为BB1的中点，∴M，N分别为BA，BC的中点，∴MN＝eq\f(1,2)AC，即eq\f(MN,AC)＝eq\f(1,2).8．已知在三棱柱ABC—A1B1C1中，D，E，F分别是棱AA1，BB1，CC1的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是________．答案平行解析∵D，E，F分别是棱AA1，BB1，CC1的中点，∴在平行四边形AA1B1B与平行四边形BB1C1C中，DE∥AB，EF∥BC，∴DE∥平面ABC，EF∥平面ABC.又DE∩EF＝E，∴平面DEF∥平面ABC.9.如图，已知α∥β，GB，GD分别交α，β于A，B，C，D，且GA＝9，AB＝12，则eq\f(AC,BD)＝________.答案eq\f(3,7)解析因为α∩平面GAC＝AC，β∩平面GBD＝BD，且α∥β，所以AC∥BD，又因为GA＝9，AB＝12，所以eq\f(AC,BD)＝eq\f(GA,GB)＝eq\f(9,9＋12)＝eq\f(3,7).10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足______时，有MN∥平面B1BDD1.答案M∈线段FH解析∵HN∥BD，HF∥DD1，HN∩HF＝H，BD∩DD1＝D，∴平面NHF∥平面B1BDD1，故线段FH上任意一点M与N连结，有MN∥平面B1BDD1.11．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点P是平面AA1D1D的中心，点Q是平面A1B1C1D1的对角线B1D1上一点，且PQ∥平面AA1B1B，则线段PQ的长为________．答案eq\f(\r(2),2)解析当且仅当点Q为B1D1的中点时，PQ∥平面AA1B1B，取A1D1中点O，连结OQ，OP，则OQ∥A1B1，OP∥A1A.故易证平面OPQ∥平面ABB1A1，则PQ∥平面ABB1A1.在Rt△POQ中，OQ＝OP＝eq\f(1,2)，∴PQ＝eq\f(\r(2),2).二、解答题12．如图所示，B为△ACD所在平面外一点，M、N、G分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心．(1)求证：平面MNG∥平面ACD；(2)求S△MNG∶S△ADC.(1)证明如图，连结BM、BN、BG并延长交AC、AD、CD分别于点P、F、H.∵M、N、G分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心，∴eq\f(BM,MP)＝eq\f(BN,NF)＝eq\f(BG,GH)＝2.连结PF、FH、PH，有MN∥PF.又PF⊂平面ACD，MN⊄平面ACD，∴MN∥平面ACD.同理MG∥平面ACD，又MG∩MN＝M，∴平面MNG∥平面ACD.(2)解由(1)可知eq\f(MG,PH)＝eq\f(BG,BH)＝eq\f(2,3)，∴MG＝eq\f(2,3)PH.又PH＝eq\f(1,2)AD，∴MG＝eq\f(1,3)AD.同理NG＝eq\f(1,3)AC，MN＝eq\f(1,3)CD.∴△MNG∽△DCA，其相似比为1∶3，∴S△MNG∶S△ADC＝1∶9.13.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面