第2课时解三角形的综合问题

第2课时解三角形的综合问题关键能力互动探究命题点1平面多边形中的解三角形问题eq\x(例1)(2023·四川成都模拟)如图，在△ABC中，AB＝AC＝eq\f(\r(3),3)BC，点D在AB的延长线上，且AD＝eq\f(5,2)BD．(1)求eq\f(sin∠ACD,sin∠BCD)；(2)若△ABC的面积为eq\r(3)，求CD．命题点睛►平面多边形中解三角形问题的求解思路(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．eq\x(针对训练)(2024·山东烟台质检)如图，在△ABC中，D为边BC上一点，DC＝3，AD＝5，AC＝7，∠DAC＝∠ABC．(1)求∠ADC的大小；(2)求△ABC的面积．命题点2解三角形中的最值(范围)问题eq\x(例2)(2023·山东潍坊三模)定义平面凸四边形为平面上每个内角度数都小于180°的四边形．已知在平面凸四边形ABCD中，∠ABC＝105°，∠ADB＝60°，AB＝eq\r(3)，∠ADB的平分线为DE，且eq\o(AE,\s\up17(→))＝2eq\o(EB,\s\up17(→)).(1)求△ABD的面积；(2)求CD的取值范围．命题点睛►解三角形中最值(范围)问题的解题策略利用正弦、余弦定理以及面积公式化简整理，构造关于某一个角或某一条边的函数或不等式，利用函数的单调性或基本不等式等求最值(范围).eq\x(针对训练)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2B＋cos2C－cos2A＝1－2sinBsinC．(1)求A；(2)若a＝4，求△ABC面积的最大值．命题点3解三角形中的证明问题eq\x(例3)(2024·河北唐山质检)已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，eq\f(a－b,c)＝eq\f(sinC－sinB,sinA＋sinB).(1)求A；(2)若3c＝3b＋eq\r(3)a，证明：c＝2b.命题点睛►对于解三角形中的证明问题，要仔细观察所给的条件和结论之间的关系，发现二者的差异，利用正弦定理、余弦定理及三角恒等变换把条件转换为结论，即为证明过程．eq\x(针对训练)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝3，eq\r(3)sinAcosC＋(eq\r(3)sinC＋b)·cosA＝0.(1)求角A；(2)若AD为△ABC的角平分线，证明：eq\f(1,AC)＋eq\f(1,AB)＝eq\f(1,AD).课时作业[基础巩固练]1．(2023·四川宜宾模拟)如图，平面四边形ABCD内接于一个圆，且AB＝5，BD＝3eq\r(5)，A为钝角，sinA＝eq\f(3,5).(1)求cos∠ADB；(2)若BC＝5，求△BCD的面积．2．(2024·湖北武汉质检)如图，在△ABC中，AB＝9，点D在边BC上，AD＝7.(1)若cosB＝eq\f(2,3)，求BD的值；(2)若cos∠BAC＝－eq\f(2,3)，且点D是边BC的中点，求AC的值．3．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，B为钝角．若△ABC的面积为S，且4bS＝a(b2＋c2－a2).(1)证明：B＝eq\f(π,2)＋A；(2)求sinA＋sinC的最大值．4．在△ABC中，A<B<C，且tanA，tanB，tanC均为整数．(1)求A的大小；(2)设AC的中点为D，求证：BC＝BD．[能力提升练]5．(2023·湖南益阳联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知asinA＋csinC＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)asinC＋b))sin B．(1)求B；(2)若AC边上的中线BD的长为2，求△ABC面积的最大值．6．(2023·云南丽江联考