高三数学（理）一轮复习教师用书第三章三角函数解三角形

第三章三角函数、解三角形第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(按旋转方向不同分为正角、负角、零角.,按终边位置不同分为象限角和轴线角.))(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式：角α的弧度数公式|α|＝eq\f(l,r)(l表示弧长)角度与弧度的换算①1°＝eq\f(π,180)rad；②1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°弧长公式l＝|α|r扇形面积公式S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r23.任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sinα＝eq\a\vs4\al(y)，cosα＝eq\a\vs4\al(x)，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)小于90°的角是锐角．()(2)三角形的内角必是第一、第二象限角．()(3)不相等的角终边一定不相同．()(4)若点P(tanα，cosα)在第三象限，则角α的终边在第二象限．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．已知角α的终边过点P(－1,2)，则sinα＝()A.eq\f(\r(5),5) B.eq\f(2\r(5),5)C．－eq\f(\r(5),5) D．－eq\f(2\r(5),5)解析：选B因为|OP|＝eq\r(－12＋22)＝eq\r(5)(O为坐标原点)，所以sinα＝eq\f(2,\r(5))＝eq\f(2\r(5),5).3．若角θ同时满足sinθ<0且tanθ<0，则角θ的终边一定位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：选D由sinθ<0，可知θ的终边可能位于第三象限或第四象限，也可能与y轴的非正半轴重合．由tanθ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，故θ的终边只能位于第四象限．4．已知角α的终边过点P(8m,3)，且cosα＝－eq\f(4,5)，则m的值为()A．－eq\f(1,2) B.eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2) D.eq\f(\r(3),2)解析：选A由题意得eq\f(8m,\r(8m2＋32))＝－eq\f(4,5)，且m<0.解得m＝－eq\f(1,2).5．已知扇形的圆心角为60°，其弧长为2π，则此扇形的面积为________．解析：设此扇形的半径为r，由题意得eq\f(π,3)r＝2π，所以r＝6，所以此扇形的面积为eq\f(1,2)×2π×6＝6π.答案：6π6．在0到2π范围内，与角－eq\f(4π,3)终边相同的角是________．解析：与角－eq\f(4π,3)终边相同的角是2kπ＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4π,3)))，k∈Z，令k＝1，可得与角－eq\f(4π,3)终边相同的角是eq\f(2π,3).答案：eq\f(2π,3)eq\a\vs4\al(考点一象限角及终边相同的角)eq\a\vs4\al(基础送分型考点——自主练透)[考什么·怎么考]高考对象限角及终边相同的角直接考查较少，多渗透到三角函数求值及性质中，属于基础题.1．给出下列四个命题：①－eq\f(3π,4)是第二象限角；②eq\f(4π,3)是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选C－eq\f(3π,4)是第三象限角，故①错误；eq\f(4π,3)＝π＋eq\f(π,3)，从而eq\f(4π,3)是第三象限角，故②正确；－400°＝－360°－40°，从而－400°是第四象限角，故③正确；－315°＝－360°＋45°，从而－315°是第一象限角，故④正确，故选C.2．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．解析：所有与45°终边相同的角可表示为：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，则令－720°≤45°＋k×360°<0°(k∈Z)，得－765°≤k×360°<－45°(k∈Z)，解得－eq\f(765,360)≤k<－eq\f(45,360)(k∈Z)，从而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.答案：－675°或－315°3．终边在直线y＝eq\r(3)x上的角的集合为__________________．解析：在坐标系中画出直线y＝eq\r(3)x，可以发现它与x轴正半轴的夹角是eq\f(π,3)，终边在直线y＝eq\r(3)x上的角的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(α＝kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z)))).答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(α＝kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z))))4．若角α是第二象限角，则eq\f(α,2)是第________象限角．解析：∵α是第二象限角，∴eq\f(π,2)＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，∴eq\f(π,4)＋kπ<eq\f(α,2)<eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，eq\f(α,2)是第一象限角；当k为奇数时，eq\f(α,2)是第三象限角．答案：一或三[怎样快解·准解]1．象限角的两种判断方法(1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角．(2)转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．2．求eq\f(θ,n)或nθ(n∈N*)所在象限的方法(1)将θ的范围用不等式(含有k，且k∈Z)表示．(2)两边同除以n或乘以n.(3)对k进行讨论，得到eq\f(θ,n)或nθ(n∈N*)所在的象限．[注意](1)相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍．(2)终边在一条直线上的角之间相差180°的整数倍；终边在互相垂直的两条直线上的角之间相差90°的整数倍．eq\a\vs4\al(考点二扇形的弧长及面积公式的应用)eq\a\vs4\al(基础送分型考点——自主练透)[考什么·怎么考]高考对扇形的弧长、面积公式很少直接考查，主要是理解弧度制下的公式的应用，属于基础题.1．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是()A．1 B．4C．1或4 D．2或4解析：选C设扇形的半径为r，弧长为l，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2r＋l＝6，,\f(1,2)rl＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝1，,l＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝2，,l＝2.))从而α＝eq\f(l,r)＝eq\f(4,1)＝4或α＝eq\f(l,r)＝eq\f(2,2)＝1.2．已知扇形弧长为20cm，圆心角为100°，则该扇形的面积为________cm2.解析：由弧长公式l＝|α|r，得r＝eq\f(20,\f(100π,180))＝eq\f(36,π)，∴S扇形＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×20×eq\f(36,π)＝eq\f(360,π).答案：eq\f(360,π)3．如果一个扇形的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的eq\f(3,2)倍，则该弧所对的圆心角是原来的________倍．解析：设圆的半径为r，弧长为l，则其弧度数为eq\f(l,r).将半径变为原来的一半，弧长变为原来的eq\f(3,2)倍，则弧度数变为eq\f(\f(3,2)l,\f(1,2)r)＝3·eq\f(l,r)，即弧度数变为原来的3倍．答案：3[怎样快解·准解]弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长及扇形面积公式，在使用公式时，要注意角的单位必须是弧度．(2)分析题目已知哪些量、要求哪些量，然后灵活地运用弧长公式、扇形面积公式直接求解，或合理地利用圆心角所在三角形列方程(组)求解．eq\a\vs4\al(考点三三角函数的定义及应用)eq\a\vs4\al(题点多变型考点——追根溯源)任意角的三角函数正弦、余弦、正切的定义属于理解内容.在高考中多以选择题、填空题的形式出现.,常见的命题角度有：1利用三角函数定义求值；2三角函数值符号的判定；3三角函数线的应用.[题点全练]角度(一)利用三角函数定义求值1．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝()A．－eq\f(4,5) B．－eq\f(3,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)解析：选B设P(t,2t)(t≠0)为角θ终边上任意一点，则cosθ＝eq\f(t,\r(5)|t|).当t>0时，cosθ＝eq\f(\r(5),5)；当t<0时，cosθ＝－eq\f(\r(5),5).因此cos2θ＝2cos2θ－1＝eq\f(2,5)－1＝－eq\f(3,5).2．已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cosα＝－eq\f(5,13)，则eq\f(1,sinα)＋eq\f(1,tanα)＝________.解析：∵角α的终边经过点P(－x，－6)，且cosα＝－eq\f(5,13)，∴cosα＝eq\f(－x,\r(x2＋36))＝－eq\f(5,13)，解得x＝eq\f(5,2)或x＝－eq\f(5,2)(舍去)，∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，－6))，∴sinα＝－eq\f(12,13)，∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(12,5)，则eq\f(1,sinα)＋eq\f(1,tanα)＝－eq\f(13,12)＋eq\f(5,12)＝－eq\f(2,3).答案：－eq\f(2,3)[题型技法]利用三角函数定义求三角函数值的方法(1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解．(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义求解．角度(二)三角函数值符号的判定3．(2014·全国卷Ⅰ)若tanα>0，则()A．sinα>0 B．cosα>0C．sin2α>0 D．cos2α>0解析：选C由tanα>0，可得α的终边在第一象限或第三象限，此时sinα与cosα同号，故sin2α＝2sinacosα>0，故选C.4．若sinαtanα<0，且eq\f(cosα,tanα)<0，则角α是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角解析：选C由sinαtanα<0可知sinα，tanα异号，则α为第二象限角或第三象限角．由eq\f(cosα,tanα)<0可知cosα，tanα异号，则α为第三象限角或第四象限角．综上可知，α为第三象限角．[题型技法]三角函数值符号及角的位置判断已知一角的三角函数值(sinα，cosα，tanα)中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置，注意终边在坐标轴上的特殊情况．角度(三)三角函数线的应用5．函数y＝lg(3－4sin2x)的定义域为________．解析：∵3－4sin2x>0，∴sin2x<eq\f(3,4)，∴－eq\f(\r(3),2)<sinx<eq\f(\r(3),2).利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，∴x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)[题型技法]利用三角函数线求解三角不等式的方法对于较为简单的三角不等式，在单位圆中，利用三角函数线先作出使其相等的角(称为临界状态，注意实线与虚线)，再通过大小找到其所满足的角的区域，由此写出不等式的解集．[题“根”探求]1．思维趋向要明确(1)看到角α终边上的点或终边所在的直线想到三角函数定义的应用．(2)看到角α所在的象限想到三角函数值符号的判断．(3)看到三角式比较大小、解三角不等式(方程)想到三角函数线的应用．2．二级结论要谨记(1)三角函数值符号的结论：一全正、二正弦，三正切、四余弦．(2)当α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，①sinα<α<tanα；②sinα＋cosα>1.[冲关演练]1.如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为eq\f(4,5)，则cosα的值为()A.eq\f(4,5) B．－eq\f(4,5)C.eq\f(3,5) D．－eq\f(3,5)解析：选D因为点A的纵坐标yA＝eq\f(4,5)，且点A在第二象限，又因为圆O为单位圆，所以A点的横坐标xA＝－eq\f(3,5)，由三角函数的定义可得cosα＝－eq\f(3,5).2．已知点P(cosα，tanα)在第三象限，则角α的终边在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：选B由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosα<0，,tanα<0))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosα<0，,sinα>0，))所以角α的终边在第二象限．3．函数y＝eq\r(sinx－\f(\r(2),2))的定义域为________．解析：因为sinx≥eq\f(\r(2),2)，作直线y＝eq\f(\r(2),2)交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(图中阴影部分)即为角x的终边的范围，故满足条件的角x的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2kπ＋eq\f(π,4)≤x≤2kπ＋eq\f(3π,4)，k∈Z)))).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,4)，2kπ＋\f(3π,4)))，k∈Z(一)普通高中适用作业A级——基础小题练熟练快1．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为()A．2 B．4C．6 D．8解析：选C设扇形的半径为r，弧长为l，则由扇形面积公式可得2＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2＝eq\f(1,2)×4×r2，解得r＝1，l＝αr＝4，所以所求扇形的周长为2r＋l＝6.2．已知点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为()A.eq\f(5π,6) B.eq\f(2π,3)C.eq\f(11π,6) D.eq\f(5π,3)解析：选C因为点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))在第四象限，根据三角函数的定义可知tanθ＝eq\f(－\f(1,2),\f(\r(3),2))＝－eq\f(\r(3),3)，又θ∈[0,2π)，可得θ＝eq\f(11π,6).3．若角α与β的终边关于x轴对称，则有()A．α＋β＝90°B．α＋β＝90°＋k·360°，k∈ZC．α＋β＝2k·180°，k∈ZD．α＋β＝180°＋k·360°，k∈Z解析：选C因为α与β的终边关于x轴对称，所以β＝2k·180°－α，k∈Z.所以α＋β＝2k·180°，k∈Z.4．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα＞0，则实数aA．(－2,3] B．(－2,3)C．[－2,3) D．[－2,3]解析：选A由cosα≤0，sinα＞0可知，角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－9≤0，,a＋2＞0，))解得－2＜a≤3.5．下列选项中正确的是()A．sin300°＞0 B．cos(－305°)＜0C．taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(22π,3)))＞0 D．sin10＜0解析：选D300°＝360°－60°，则300°是第四象限角；－305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角；因为－eq\f(22π,3)＝－8π＋eq\f(2π,3)，所以－eq\f(22π,3)是第二象限角；因为3π＜10＜eq\f(7π,2)，所以10是第三象限角．故sin300°＜0，cos(－305°)＞0，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(22π,3)))＜0，sin10＜0，故D正确．6．集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,4)≤α≤kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))中的角所表示的范围(阴影部分)是()解析：选C当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋eq\f(π,4)≤α≤2nπ＋eq\f(π,2)，此时α表示的范围与eq\f(π,4)≤α≤eq\f(π,2)表示的范围一样；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋eq\f(π,4)≤α≤2nπ＋π＋eq\f(π,2)，此时α表示的范围与π＋eq\f(π,4)≤α≤π＋eq\f(π,2)表示的范围一样，结合图象知选C.7．若α＝1560°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝________.解析：因为α＝1560°＝4×360°＋120°，所以与α终边相同的角为360°×k＋120°，k∈Z，令k＝－1或k＝0可得θ＝－240°或θ＝120°.答案：120°或－240°8．在直角坐标系xOy中，O是原点，A(eq\r(3)，1)，将点A绕O逆时针旋转90°到B点，则B点坐标为__________．解析：依题意知OA＝OB＝2，∠AOx＝30°，∠BOx＝120°，设点B坐标为(x，y)，所以x＝2cos120°＝－1，y＝2sin120°＝eq\r(3)，即B(－1，eq\r(3))．答案：(－1，eq\r(3))9．若两个圆心角相同的扇形的面积之比为1∶4，则这两个扇形的周长之比为________．解析：设两个扇形的圆心角的弧度数为α，半径分别为r，R(其中r＜R)，则eq\f(\f(1,2)αr2,\f(1,2)αR2)＝eq\f(1,4)，所以r∶R＝1∶2，两个扇形的周长之比为eq\f(2r＋αr,2R＋αR)＝1∶2.答案：1∶210．已知角α的终边上一点P(－eq\r(3)，m)(m≠0)，且sinα＝eq\f(\r(2)m,4)，则m＝________.解析：由题设知点P的横坐标x＝－eq\r(3)，纵坐标y＝m，∴r2＝|OP|2＝(－eq\r(3))2＋m2(O为原点)，即r＝eq\r(3＋m2).∴sinα＝eq\f(m,r)＝eq\f(\r(2)m,4)＝eq\f(m,2\r(2))，∴r＝eq\r(3＋m2)＝2eq\r(2)，即3＋m2＝8，解得m＝±eq\r(5).答案：±eq\r(5)B级——中档题目练通抓牢1．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0<α<π)的弧度数为()A.eq\f(π,3) B.eq\f(π,2)C.eq\r(3) D.eq\r(2)解析：选C设圆的半径为R，由题意可知，圆内接正三角形的边长为eq\r(3)R，所以圆弧长为eq\r(3)R.所以该圆弧所对圆心角的弧度数为eq\f(\r(3)R,R)＝eq\r(3).2．已知角α＝2kπ－eq\f(π,5)(k∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y＝eq\f(sinθ,|sinθ|)＋eq\f(cosθ,|cosθ|)＋eq\f(tanθ,|tanθ|)的值为()A．1 B．－1C．3 D．－3解析：选B由α＝2kπ－eq\f(π,5)(k∈Z)及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sinθ＜0，cosθ＞0，tanθ＜0.所以y＝－1＋1－1＝－1.3．设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cosα＝eq\f(1,5)x，则tanα＝()A.eq\f(4,3) B.eq\f(3,4)C．－eq\f(3,4) D．－eq\f(4,3)解析：选D∵α是第二象限角，∴x<0.又由题意知eq\f(x,\r(x2＋42))＝eq\f(1,5)x，解得x＝－3.∴tanα＝eq\f(4,x)＝－eq\f(4,3).4．一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的eq\f(2,3)，面积等于圆面积的eq\f(5,27)，则扇形的弧长与圆周长之比为________．解析：设圆的半径为r，则扇形的半径为eq\f(2r,3)，记扇形的圆心角为α，则eq\f(\f(1,2)α\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2r,3)))2,πr2)＝eq\f(5,27)，∴α＝eq\f(5π,6).∴扇形的弧长与圆周长之比为eq\f(l,c)＝eq\f(\f(5π,6)·\f(2r,3),2πr)＝eq\f(5,18).答案：eq\f(5,18)5．(2018·石家庄模拟)在(0,2π)内，使sinx>cosx成立的x的取值范围为____________．解析：如图所示，找出在(0,2π)内，使sinx＝cosx的x值，sineq\f(π,4)＝coseq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)，sineq\f(5π,4)＝coseq\f(5π,4)＝－eq\f(\r(2),2).根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(5π,4))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(5π,4)))6．已知eq\f(1,|sinα|)＝－eq\f(1,sinα)，且lg(cosα)有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，m))，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sinα的值．解：(1)由eq\f(1,|sinα|)＝－eq\f(1,sinα)，得sinα<0，由lg(cosα)有意义，可知cosα>0，所以α是第四象限角．(2)因为|OM|＝1，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2＋m2＝1，解得m＝±eq\f(4,5).又α为第四象限角，故m<0，从而m＝－eq\f(4,5)，sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(m,|OM|)＝eq\f(－\f(4,5),1)＝－eq\f(4,5).7．若角θ的终边过点P(－4a,3a)(a(1)求sinθ＋cosθ的值；(2)试判断cos(sinθ)·sin(cosθ)的符号．解：(1)因为角θ的终边过点P(－4a,3a)(a所以x＝－4a，y＝3a，r＝5|当a＞0时，r＝5a，sinθ＋cosθ＝eq\f(3,5)－eq\f(4,5)＝－eq\f(1,5).当a＜0时，r＝－5a，sinθ＋cosθ＝－eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)＝eq\f(1,5).(2)当a＞0时，sinθ＝eq\f(3,5)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，cosθ＝－eq\f(4,5)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，则cos(sinθ)·sin(cosθ)＝coseq\f(3,5)·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))＜0；当a＜0时，sinθ＝－eq\f(3,5)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，cosθ＝eq\f(4,5)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则cos(sinθ)·sin(cosθ)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))·sineq\f(4,5)＞0.综上，当a＞0时，cos(sinθ)·sin(cosθ)的符号为负；当a＜0时，cos(sinθ)·sin(cosθ)的符号为正．C级——重难题目自主选做已知扇形AOB的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.解：设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α，(1)由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2r＋l＝8，,\f(1,2)lr＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝3，,l＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝1，,l＝6，))∴α＝eq\f(l,r)＝eq\f(2,3)或α＝eq\f(l,r)＝6.(2)法一：∵2r＋l＝8，∴S扇＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,4)l·2r≤eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l＋2r,2)))2＝eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,2)))2＝4，当且仅当2r＝l，即r＝2，l＝4，α＝eq\f(l,r)＝2时，扇形面积取得最大值4.∴圆心角α＝2，弦长AB＝2sin1×2＝4sin1.法二：∵2r＋l＝8，∴S扇＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)r(8－2r)＝r(4－r)＝－(r－2)2＋4≤4，当且仅当r＝2，l＝4，即α＝eq\f(l,r)＝2时，扇形面积取得最大值4.∴弦长AB＝2sin1×2＝4sin1.(二)重点高中适用作业A级——保分题目巧做快做1.下列与eq\f(9π,4)的终边相同的角的表达式中正确的是()A．2kπ＋45°(k∈Z)B．k·360°＋eq\f(9,4)π(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋eq\f(5π,4)(k∈Z)解析：选C由定义知终边相同的角中不能同时出现角度和弧度，应为eq\f(π,4)＋2kπ或k·360°＋45°(k∈Z)，结合选项知C正确．2．已知点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为()A.eq\f(5π,6) B.eq\f(2π,3)C.eq\f(11π,6) D.eq\f(5π,3)解析：选C因为点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))在第四象限，所以根据三角函数的定义可知tanθ＝eq\f(－\f(1,2),\f(\r(3),2))＝－eq\f(\r(3),3)，又θ∈[0,2π)，可得θ＝eq\f(11π,6).3．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0<α<π)的弧度数为()A.eq\f(π,3) B.eq\f(π,2)C.eq\r(3) D.eq\r(2)解析：选C设圆的半径为R，由题意可知，圆内接正三角形的边长为eq\r(3)R，所以圆弧长为eq\r(3)R，所以该圆弧所对圆心角的弧度数为eq\f(\r(3)R,R)＝eq\r(3).4．下列选项中正确的是()A．sin300°＞0 B．cos(－305°)＜0C．taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(22π,3)))＞0 D．sin10＜0解析：选D300°＝360°－60°，则300°是第四象限角；－305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角；因为－eq\f(22π,3)＝－8π＋eq\f(2π,3)，所以－eq\f(22π,3)是第二象限角；因为3π＜10＜eq\f(7π,2)，所以10是第三象限角．故sin300°＜0，cos(－305°)＞0，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(22π,3)))＜0，sin10＜0，故D正确．5．已知角α＝2kπ－eq\f(π,5)(k∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y＝eq\f(sinθ,|sinθ|)＋eq\f(cosθ,|cosθ|)＋eq\f(tanθ,|tanθ|)的值为()A．1 B．－1C．3 D．－3解析：选B由α＝2kπ－eq\f(π,5)(k∈Z)及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sinθ＜0，cosθ＞0，tanθ＜0.所以y＝－1＋1－1＝－1.6．若α＝1560°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝________.解析：因为α＝1560°＝4×360°＋120°，所以与α终边相同的角为360°×k＋120°，k∈Z，令k＝－1或k＝0可得θ＝－240°或θ＝120°.答案：120°或－240°7．若两个圆心角相同的扇形的面积之比为1∶4，则这两个扇形的周长之比为________．解析：设两个扇形的圆心角的弧度数为α，半径分别为r，R(其中r＜R)，则eq\f(\f(1,2)αr2,\f(1,2)αR2)＝eq\f(1,4)，所以r∶R＝1∶2，两个扇形的周长之比为eq\f(2r＋αr,2R＋αR)＝1∶2.答案：1∶28.点P从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动eq\f(8π,3)弧长到达点Q，则点Q的坐标为________．解析：设点A(－1,0)，点P从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动eq\f(8π,3)弧长到达点Q，则∠AOQ＝eq\f(8π,3)－2π＝eq\f(2π,3)(O为坐标原点)，所以∠xOQ＝eq\f(π,3)，coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2)，sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2)，所以点Q的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))9.如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．(1)若点B的横坐标为－eq\f(4,5)，求tanα的值；(2)若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合．解：(1)设点B的纵坐标为m，则由题意m2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))2＝1，且m>0，所以m＝eq\f(3,5)，故Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，\f(3,5)))，根据三角函数的定义得tanα＝eq\f(\f(3,5),－\f(4,5))＝－eq\f(3,4).(2)若△AOB为等边三角形，则∠AOB＝eq\f(π,3)，故与角α终边相同的角β的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(β＝\f(π,3)＋2kπ，k∈Z)))).10．已知扇形AOB的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.解：设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α，(1)由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2r＋l＝8，,\f(1,2)lr＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝3，,l＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝1，,l＝6，))∴α＝eq\f(l,r)＝eq\f(2,3)或α＝eq\f(l,r)＝6.(2)法一：∵2r＋l＝8，∴S扇＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,4)l·2r≤eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l＋2r,2)))2＝eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,2)))2＝4，当且仅当2r＝l，即r＝2，l＝4，α＝eq\f(l,r)＝2时，扇形面积取得最大值4.∴圆心角α＝2，弦长AB＝2sin1×2＝4sin1.法二：∵2r＋l＝8，∴S扇＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)r(8－2r)＝r(4－r)＝－(r－2)2＋4≤4，当且仅当r＝2，l＝4，即α＝eq\f(l,r)＝2时，扇形面积取得最大值4.∴弦长AB＝2sin1×2＝4sin1.B级——拔高题目稳做准做1.已知点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(3π,4)，cos\f(3π,4)))落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为()A.eq\f(π,4) B.eq\f(3π,4)C.eq\f(5π,4) D.eq\f(7π,4)解析：选D由sineq\f(3π,4)＞0，coseq\f(3π,4)＜0知角θ是第四象限角，因为tanθ＝eq\f(cos\f(3π,4),sin\f(3π,4))＝－1，θ∈[0,2π)，所以θ＝eq\f(7π,4).故选D.2.已知sinα＞sinβ，那么下列命题成立的是()A．若α，β是第一象限的角，则cosα＞cosβB．若α，β是第二象限的角，则tanα＞tanβC．若α，β是第三象限的角，则cosα＞cosβD．若α，β是第四象限的角，则tanα＞tanβ解析：选D由三角函数线可知选D.3.若角α是第三象限角，则eq\f(α,2)是第________象限角．解析：因为2kπ＋π＜α＜2kπ＋eq\f(3π,2)(k∈Z)，所以kπ＋eq\f(π,2)＜eq\f(α,2)＜kπ＋eq\f(3π,4)(k∈Z)．当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋eq\f(π,2)＜eq\f(α,2)＜2nπ＋eq\f(3π,4)，eq\f(α,2)是第二象限角，当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋eq\f(3π,2)＜eq\f(α,2)＜2nπ＋eq\f(7π,4)，eq\f(α,2)是第四象限角，综上知，当α是第三象限角时，eq\f(α,2)是第二或四象限角．答案：二或四4.(2018·石家庄模拟)在(0,2π)内，使sinx>cosx成立的x的取值范围为_____________．解析：如图所示，找出在(0,2π)内，使sinx＝cosx的x值，sineq\f(π,4)＝coseq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)，sineq\f(5π,4)＝coseq\f(5π,4)＝－eq\f(\r(2),2).根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(5π,4))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(5π,4)))5.已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sinα＋eq\f(3,cosα)的值．解：设α终边上任一点为P(k，－3k)，则r＝eq\r(k2＋－3k2)＝eq\r(10)|k|.当k＞0时，r＝eq\r(10)k，∴sinα＝eq\f(－3k,\r(10)k)＝－eq\f(3,\r(10))，eq\f(1,cosα)＝eq\f(\r(10)k,k)＝eq\r(10)，∴10sinα＋eq\f(3,cosα)＝－3eq\r(10)＋3eq\r(10)＝0；当k＜0时，r＝－eq\r(10)k，∴sinα＝eq\f(－3k,－\r(10)k)＝eq\f(3,\r(10))，eq\f(1,cosα)＝eq\f(－\r(10)k,k)＝－eq\r(10)，∴10sinα＋eq\f(3,cosα)＝3eq\r(10)－3eq\r(10)＝0.综上，10sinα＋eq\f(3,cosα)＝0.6．若角θ的终边过点P(－4a,3a)(a(1)求sinθ＋cosθ的值；(2)试判断cos(sinθ)·sin(cosθ)的符号．解：(1)因为角θ的终边过点P(－4a,3a)(a所以x＝－4a，y＝3a，r＝5|当a＞0时，r＝5a，sinθ＋cosθ＝eq\f(3,5)－eq\f(4,5)＝－eq\f(1,5).当a＜0时，r＝－5a，sinθ＋cosθ＝－eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)＝eq\f(1,5).(2)当a＞0时，sinθ＝eq\f(3,5)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，cosθ＝－eq\f(4,5)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，则cos(sinθ)·sin(cosθ)＝coseq\f(3,5)·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))＜0；当a＜0时，sinθ＝－eq\f(3,5)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，cosθ＝eq\f(4,5)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则cos(sinθ)·sin(cosθ)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))·sineq\f(4,5)＞0.综上，当a＞0时，cos(sinθ)·sin(cosθ)的符号为负；当a＜0时，cos(sinθ)·sin(cosθ)的符号为正．第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝eq\a\vs4\al(1)；(2)商数关系：tanα＝eq\f(sinα,cosα).2．诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcos_α余弦cosα－cosαcosα－cos_αsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tan_α口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限记忆规律奇变偶不变，符号看象限3．特殊角的三角函数值角α0°30°45°60°90°120°150°180°角α的弧度数0eq\f(π,6)eq\f(π,4)eq\f(π,3)eq\f(π,2)eq\f(2π,3)eq\f(5π,6)πsinαeq\a\vs4\al(0)eq\a\vs4\al(\f(1,2))eq\f(\r(2),2)eq\a\vs4\al(\f(\r(3),2))1eq\a\vs4\al(\f(\r(3),2))eq\a\vs4\al(\f(1,2))0cosαeq\a\vs4\al(1)eq\a\vs4\al(\f(\r(3),2))eq\f(\r(2),2)eq\a\vs4\al(\f(1,2))0－eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)－1tanαeq\a\vs4\al(0)eq\a\vs4\al(\f(\r(3),3))1eq\a\vs4\al(\r(3))－eq\r(3)－eq\f(\r(3),3)01．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.()(2)若α∈R，则tanα＝eq\f(sinα,cosα)恒成立．()(3)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角．()答案：(1)×(2)×(3)×2．已知sinα＝eq\f(\r(5),5)，eq\f(π,2)≤α≤π，则tanα＝()A．－2 B．2C.eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)解析：选D因为eq\f(π,2)≤α≤π，所以cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)))2)＝－eq\f(2\r(5),5)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(1,2).3．(2017·全国卷Ⅲ)已知sinα－cosα＝eq\f(4,3)，则sin2α＝()A．－eq\f(7,9) B．－eq\f(2,9)C.eq\f(2,9) D.eq\f(7,9)解析：选A将sinα－cosα＝eq\f(4,3)的两边进行平方，得sin2α－2sinαcosα＋cos2α＝eq\f(16,9)，即sin2α＝－eq\f(7,9).4．sin210°cos120°的值为()A.eq\f(1,4) B．－eq\f(\r(3),4)C．－eq\f(3,2) D.eq\f(\r(3),4)解析：选Asin210°cos120°＝－sin30°(－cos60°)＝－eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝eq\f(1,4).5．若sinθcosθ＝eq\f(1,2)，则tanθ＋eq\f(cosθ,sinθ)＝________.解析：tanθ＋eq\f(cosθ,sinθ)＝eq\f(sinθ,cosθ)＋eq\f(cosθ,sinθ)＝eq\f(1,cosθsinθ)＝2.答案：26．sin2490°＝________；coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(52π,3)))＝________.解析：sin2490°＝sin(7×360°－30°)＝－sin30°＝－eq\f(1,2).coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(52π,3)))＝coseq\f(52π,3)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(16π＋π＋\f(π,3)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,3)))＝－coseq\f(π,3)＝－eq\f(1,2).答案：－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)eq\a\vs4\al(考点一三角函数的诱导公式)eq\a\vs4\al(基础送分型考点——自主练透)[考什么·怎么考]诱导公式在三角函数的求值和化简中具有非常重要的应用，较少单独考查，多与三角恒等变换结合在一起考查，常以选择题、填空题的形式出现，难度较小，属于中低档题.1．(2018·天一大联考)在平面直角坐标系xOy中，角α的终边经过点P(3,4)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(2017π,2)))＝()A．－eq\f(4,5) B．－eq\f(3,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)解析：选B∵角α的终边经过点P(3,4)，∴sinα＝eq\f(4,5)，cosα＝eq\f(3,5)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(2017π,2)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2)))＝－cosα＝－eq\f(3,5).2．化简sin(－1071°)sin99°＋sin(－171°)sin(－261°)的结果为()A．1 B．－1C．0 D．2解析：选C原式＝(－sin1071°)sin99°＋sin171°·sin261°＝－sin(3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)·sin(270°－9°)＝sin9°cos9°－sin9°cos9°＝0.3．已知A＝eq\f(sinkπ＋α,sinα)＋eq\f(coskπ＋α,cosα)(k∈Z)，则A的值构成的集合是()A．{1，－1,2，－2}B．{－1,1}C．{2，－2} D．{1，－1,0,2，－2}解析：选C当k为偶数时，A＝eq\f(sinα,sinα)＋eq\f(cosα,cosα)＝2；当k为奇数时，A＝eq\f(－sinα,sinα)－eq\f(cosα,cosα)＝－2.故A＝{2，－2}．4．已知f(α)＝eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α)),cos－π－αtanπ－α)，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(25π,3)))的值为________．解析：因为f(α)＝eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α)),cos－π－αtanπ－α)＝eq\f(－sinα－cosα,－cosα\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(sinα,cosα))))＝cosα，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(25π,3)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(25π,3)))＝coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)5．已知taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq\f(\r(3),3)，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))＝________.解析：taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,6)＋α))＝taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))))＝－taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝－eq\f(\r(3),3).答案：－eq\f(\r(3),3)[怎样快解·准解]1．熟记常见的互余和互补的2组角互余的角eq\f(π,3)－α与eq\f(π,6)＋α；eq\f(π,3)＋α与eq\f(π,6)－α；eq\f(π,4)＋α与eq\f(π,4)－α等互补的角eq\f(π,3)＋θ与eq\f(2π,3)－θ；eq\f(π,4)＋θ与eq\f(3π,4)－θ等2．学会巧妙过渡，熟知将角合理转化的流程也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了．”3．明确三角函数式化简的原则和方向(1)切化弦，统一名．(2)用诱导公式，统一角．(3)用因式分解将式子变形，化为最简．也就是：“统一角，统一名，同角名少为终了．”eq\a\vs4\al(考点二同角三角函数的基本关系及应用)eq\a\vs4\al(重点保分型考点——师生共研)同角三角函数的基本关系式是求解三角函数问题的基础，多与其他三角函数知识融合在一起进行考查，以公式及其变形解决计算问题为主，属于中低档题.[典题领悟]1．若tanα＝2，则eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＋cos2α＝()A.eq\f(16,5) B．－eq\f(16,5)C.eq\f(8,5) D．－eq\f(8,5)解析：选Aeq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＋cos2α＝eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＋eq\f(cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tanα＋1,tanα－1)＋eq\f(1,tan2α＋1)＝eq\f(16,5).2．已知sinαcosα＝eq\f(3,8)，且eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2)，则cosα－sinα的值为()A.eq\f(1,2) B．±eq\f(1,2)C．－eq\f(1,4) D．－eq\f(1,2)解析：选D因为sinαcosα＝eq\f(3,8)，所以(cosα－sinα)2＝cos2α－2sinαcosα＋sin2α＝1－2sinαcosα＝1－2×eq\f(3,8)＝eq\f(1,4)，因为eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2)，所以cosα<sinα，即cosα－sinα<0，所以cosα－sinα＝－eq\f(1,2).3．已知α为第二象限角，则cosα·eq\r(1＋tan2α)＋sinα·eq\r(1＋\f(1,tan2α))＝________.解析：原式＝cosαeq\r(\f(sin2α＋cos2α,cos2α))＋sinαeq\r(\f(sin2α＋cos2α,sin2α))＝cosα·eq\f(1,|cosα|)＋sinα·eq\f(1,|sinα|)，因为α是第二象限角，所以sinα＞0,cosα＜0，所以cosα·eq\f(1,|cosα|)＋sinα·eq\f(1,|sinα|)＝－1＋1＝0，即原式等于0.答案：04．(2018·泉州质检)已知θ为第四象限角，sinθ＋3cosθ＝1，则tanθ＝________.解析：由(sinθ＋3cosθ)2＝1＝sin2θ＋cos2θ，得6sinθcosθ＝－8cos2θ，又因为θ为第四象限角，所以cosθ≠0，所以6sinθ＝－8cosθ，所以tanθ＝－eq\f(4,3).答案：－eq\f(4,3)[解题师说]1．掌握3个应用技巧技巧解读适合题型切弦互化主要利用公式tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)化成正弦、余弦，或者利用公式eq\f(sinθ,cosθ)＝tanθ化成正切表达式中含有sinθ，cosθ与tanθ.(如典题领悟第1、3题)“1”的变换1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝taneq\f(π,4)＝(sinθ±cosθ)2∓2sinθcosθ表达式中需要利用“1”转化．(如典题领悟第4题)和积转换利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化表达式中含有sinθ±cosθ或sinθcosθ.(如典题领悟第2题)2．谨记3个解题关键(1)利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形用．(2)同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的．(3)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．[冲关演练]1．(2018·安徽江南十校联考)已知tanα＝－eq\f(3,4)，则sinα·(sinα－cosα)＝()A.eq\f(21,25) B.eq\f(25,21)C.eq\f(4,5) D.eq\f(5,4)解析：选Asinα(sinα－cosα)＝sin2α－sinαcosα＝eq\f(sin2α－sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tan2α－tanα,tan2α＋1)，将tanα＝－eq\f(3,4)代入，得原式＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4))),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))2＋1)＝eq\f(21,25)，故选A.2．若α是三角形的内角，且tanα＝－eq\f(1,3)，则sinα＋cosα的值为________．解析：由tanα＝－eq\f(1,3)，得sinα＝－eq\f(1,3)cosα，将其代入sin2α＋cos2α＝1，得eq\f(10,9)cos2α＝1，∴cos2α＝eq\f(9,10)，易知cosα<0，∴cosα＝－eq\f(3\r(10),10)，sinα＝eq\f(\r(10),10)，故sinα＋cosα＝－eq\f(\r(10),5).答案：－eq\f(\r(10),5)3．已知α是三角形的内角，且sinα＋cosα＝eq\f(1,5)，则tanα＝________.解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＋cosα＝\f(1,5)，,sin2α＋cos2α＝1))消去cosα，整理得25sin2α－5sinα－12＝0，解得sinα＝eq\f(4,5)或sinα＝－eq\f(3,5).因为α是三角形的内角，所以sinα＝eq\f(4,5)，又由sinα＋cosα＝eq\f(1,5)，得cosα＝－eq\f(3,5)，所以tanα＝－eq\f(4,3).答案：－eq\f(4,3)(一)普通高中适用作业A级——基础小题练熟练快1．已知α是第四象限角，tanα＝－eq\f(5,12)，则sinα＝()A.eq\f(1,5) B．－eq\f(1,5)C.eq\f(5,13) D．－eq\f(5,13)解析：选D因为tanα＝－eq\f(5,12)，所以eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(5,12)，所以cosα＝－eq\f(12,5)sinα，代入sin2α＋cos2α＝1，解得sinα＝±eq\f(5,13)，又α是第四象限角，所以sinα＝－eq\f(5,13).2．已知sin(π＋θ)＝－eq\r(3)cos(2π－θ)，|θ|＜eq\f(π,2)，则θ等于()A．－eq\f(π,6) B．－eq\f(π,3)C.eq\f(π,6) D.eq\f(π,3)解析：选D因为sin(π＋θ)＝－eq\r(3)cos(2π－θ)，所以－sinθ＝－eq\r(3)cosθ，所以tanθ＝eq\r(3).因为|θ|＜eq\f(π,2)，所以θ＝eq\f(π,3).3．若eq\f(sinπ－θ＋cosθ－2π,sinθ＋cosπ＋θ)＝eq\f(1,2)，则tanθ＝()A．1 B．－1C．3 D．－3解析：选D因为eq\f(sinπ－θ＋cosθ－2π,sinθ＋cosπ＋θ)＝eq\f(sinθ＋cosθ,sinθ－cosθ)＝eq\f(1,2)，所以2(sinθ＋cosθ)＝sinθ－cosθ，所以sinθ＝－3cosθ，所以tanθ＝－3.4．计算：sineq\f(11π,6)＋coseq\f(10π,3)＝()A．－1 B．1C．0 D.eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)解析：选A原式＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π－\f(π,6)))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3π＋\f(π,3)))＝－sineq\f(π,6)＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,3)))＝－eq\f(1,2)－coseq\f(π,3)＝－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)＝－1.5．若tanα＝eq\f(1,2)，则sin4α－cos4α的值为()A．－eq\f(1,5) B.eq\f(1,5)C.eq\f(3,5) D．－eq\f(3,5)解析：选D∵tanα＝eq\f(1,2)，∴sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)·(sin2α－cos2α)＝eq\f(tan2α－1,tan2α＋1)＝－eq\f(3,5).6．(2018·湖南郴州模拟)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝eq\f(12,13)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝()A.eq\f(5,12) B.eq\f(12,13)C．－eq\f(5,13) D．－eq\f(12,13)解析：选B因为sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝eq\f(12,13)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝eq\f(12,13)，故选B.7．已知α是第一象限角，且sin(π－α)＝eq\f(3,5)，则tanα＝________.解析：因为sin(π－α)＝eq\f(3,5)，所以sinα＝eq\f(3,5)，因为α是第一象限角，所以cosα＝eq\f(4,5)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(3,4).答案：eq\f(3,4)8．化简eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋α)))·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为________．解析：原式＝eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(π,2)＋α)))·(－sinα)·cosα＝eq\f(sinα,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)))·(－sinα)·cosα＝eq\f(sinα,cosα)·(－sinα)·cosα＝－sin2α.答案：－sin2α9．化简：eq\f(sinα＋πcosπ－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)－α)),tan－αcos3－α－2π)＝________.解析：原式＝eq\f(－sinα－cosαsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)),－tanαcos3α)＝eq\f(sinαcosαcosα,－\f(sinα,cosα)cos3α)＝eq\f(sinαcos2α,－sinαcos2α)＝－1.答案：－110．已知θ是三角形的一个内角，且sinθ，cosθ是关于x的方程4x2＋px－2＝0的两根，则θ等于________．解析：由题意知sinθ·cosθ＝－eq\f(1,2)，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sin2θ＋cos2θ＝1，,sinθ·cosθ＝－\f(1,2)，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinθ＝\f(\r(2),2)，,cosθ＝－\f(\r(2),2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinθ＝－\f(\r(2),2)，,cosθ＝\f(\r(2),2)，))又θ为三角形的一个内角，∴sinθ＞0，则cosθ＝－eq\f(\r(2),2)，∴θ＝eq\f(3π,4).答案：eq\f(3π,4)B级——中档题目练通抓牢1．(2016·全国卷Ⅲ)若tanα＝eq\f(3,4)，则cos2α＋2sin2α＝()A.eq\f(64,25) B.eq\f(48,25)C．1 D.eq\f(16,25)解析：选A因为tanα＝eq\f(3,4)，所以cos2α＋2sin2α＝eq\f(cos2α＋4sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(1＋4tanα,tan2α＋1)＝eq\f(1＋4×\f(3,4),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))2＋1)＝eq\f(64,25).2．已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(3)＝3，则f(2018)的值为()A．－1 B．1C．3 D．－3解析：选D因为f(3)＝asin(3π＋α)＋bcos(3π＋β)＝－asinα－bcosβ＝3，所以asinα＋bcosβ＝－3，所以f(2018)＝asin(20