北师大版七年级下册数学第五章《生活中的轴对称》综合练习题

《生活中的轴对称》综合练习题

一.选择题（共10小题）

1.（2021春•毕节市期末）如图，在△ABC中，NAC8=90°,8E平分NA8C,于

D,DE=3cm,那么CE等于（）

A.B.2cmC.3cmD.4cm

2.（2020秋•甘井子区期末）等腰三角形的一个内角为120°,则底角的度数为（）

A.30°B.40°C.60°D.120°

3.（2021春•东坡区校级期末）图中阴影部分是由4个完全相同的的正方形拼接而成，要在

①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成

的新图形是轴对称图形，则这个正方形应添加在（）

A.区域①处B.区域②处C.区域③处D.区域④处

4.（2021春•郑州期末）一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉

亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选在（）

A.三角形三条边的垂直平分线的交点

B.三角形三条角平分线的交点

C.三角形三条高所在直线的交点

D.三角形三条中线的交点

5.（2020秋•路北区期末）如图，在锐角三角形4BC中，4B=4,/XABC的面积为10,BD

平分NABC,若M、N分别是B。、8c上的动点，则CM+MN的最小值为（）

A

6.（2020秋•九龙坡区校级期末）如图，在△ABC中，DE为线段4B的垂直平分线.希X

ABC的周长为18,线段AE的长度为4,则△BCO的周长为（）

A.10B.11C.12D.14

7.如图，在△ABC中，A/平分/84C,8/平分NA8C,点O是AC、8C的垂直平分线的

交点，连接AO、80,若NA/3=a,则NAO8的大小为（）

B

D.1800-Aa

A.aB.4a-360°C.-la+90°

22

8.（2021•西湖区二模）如图，在△ABC中，点。在边BC上,且满足AB=AO=OC,过点

。作。E_LA£>,交AC于点£.设NB40=a,ZCAD=p,ZCDE=y»则（）

A.2a+邪=180°B.3a+2p=180°C.0+2丫=90°D.20+Y=9O°

9.（2020秋•临沐县期末）如图，己知等腰△人5。的底角NC=15",顶点3到边AC的距

离是3cm,则AC的长为（）

B

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

10.（2021春•江都区校级期末）等腰三角形的面积为24平方厘米，腰长8厘米.在底边上

有一个动点P,则P到两腰的距离之和为（）

A.4cmB.6cmC.8c/nD.10cm

二.填空题（共10小题）

11.（2021春•郑州期末）定义：等腰三角形的底边与其一腰的长度的比值人称为这个等腰

三角形的“优美比”，若等腰ZXABC的周长为13cm,AB=5c7〃，则它的“优美比”k

12.（2021春•黄浦区期末）如图，在△ABC中，NA=42",点。是边A上的一点，将4

沿直线CO翻折斜到CD,B'C交AB于点、E,如果8,D//AC,那么N8OC

=度.

13.（2020秋•南沼区期末）如图，把•张长方形纸条4BCO沿所折叠，若=68°,

14.（2020秋•费县期末）如图，在等腰△ABC中，ZBAC=\20°,DE是AC的垂直平分

线，线段。E=2cm,则8。的长为cm.

15.（2020秋•滦州市期末）如图，在△ABC中，AB=BC,BE平分/ABC,AD为BC边上.

的高，且4O=BZ）.则N3=

16.（2021春•株洲期末）如图，AB//CD,8尸和CP分别平分NA8C即NOC8,A。过点P,

且与A8垂直.若AO=8,则点P到3c的距离是.

17.（2020秋•渝中区期末）如图，已知NABC、NE4C的角平分线BP、AP相交于点P,

PM.LBE,PN工BF,垂足分别为M、N.现有四个结论：

①CP平分NAC尸；②N8PC=2N8AC；③NAPC=90°-AzAfiC：®S^APM+S^CPN

22

>SMPC.

18.（2020秋•涪城区期末）如图，点CO在线段48的同侧，CA=6,45=14,BD=\2,M

为A8中点，NCMO=120°.则CO的最大值为.

19.（2020秋•李沧区期末）如图.△AOB与△C08关于边OB所在的直线成轴对称，AO

的延长线交3c于点D若/8。。=46°,ZC=22°,则NAOC=°.

B

20.（2020秋•深阳市期末）如图所示，A、8两个村子在河C。的同侧，A、B两村到河的

距离分别为AC=M〃?，BD=3km,CD=3km.现在河边。。上建一水厂分别向A、B两

村输送自来水，铺设水管的费用为20000元/千米，请你在河CD边上选择水厂位置O,

使铺设水管的费用最省，那么所铺设水管的总费用为元.

B

A

三,解答题（共10小题）

21.（2020秋•九龙坡区校级期末：已知：在△ABC中，AB=AC,BO_LAC交AC于。，AO

平分NBAC交BO于O,过。点作OE〃8c交AC于£

（1）求证：BO=OC；

（2）若NBAC=56°,求NOOE的度数.

22.（2020秋•玄武区期末）如图，在△ABC中，AB=AC,AD是△ABC的角平分线，FE

是AC的垂直平分线，交4。于点凡连接5E求证：AF=BF.

A

23.(2020秋•兴化市期末)如图，AABC中，A8的垂直平分线分别交A3、BC于点、M、D,

4c的垂直平分线分别交AC、BC于点N、E,/XADE的周长是7.

(1)求8。的长度；

(2)若NB+NC=60°,则ND4E度数是多少？请说明理由.

24.(2020秋•怀宁县期末)如图，在△ABC中，NB4C=62°,NB=78：AC的垂直平

分线交8C于点O.

(1)求N8A。的度数；

(2)若48=8,BC=11,求的周长.

25.(2020秋•丛台区校级期末)小明采用如图所示的方法作NAO8的平分线OC将带刻

度的直角尺。EMN按如图所示摆放，使EM边与OB边重合，顶点。落在。4边上并标

记出点。的位置，量出。。的长，再重新如图放置直角尺，在DN边上截取。P=OD,

过点P画射线OC,则OC平分NAO8.请判断小明的做法是否可行？并说明理由.

26.（2020秋•肥西县期末）如图，ZXABC是等边三角形，。、E分别是8C、AC边上的点,

连接AD、BE,KAD.BE相交于点尸，ZAEB=ZCDA.

(1)求N8PO的度数.

(2)过点8作3Q_LAO于Q,若PQ=3,PE=1,求5E的长.

27.（2020秋•云南期末）如图，在△48。中，AD为N84C的平分线，DE1ABfE,DF

J_4c于尸，△ARC面积是152"?,AR=?0cm,AC=l8rm,求DE的长.

28.（2020秋•三明期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1,格点三角

形（顶点是网格线交点的三角形）A8C的顶点4C的坐标分别为（-4,2）,（-1,0）.

（1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；

（2）请作出△48C关于），轴对称的△4‘B'C'；

（3）写出点"的坐标.

29.（2020秋•新宾县期末）在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个

单位长度的正方形，△A8C的顶点在格点上.

（1）画出△ABC关于y轴对称的△48C'；

（2）写出A、B、C的对应点4、B：C'的坐标;

（3）在y轴上画出点Q,使的周长最小.

30.（2020秋•九龙坡区校级期末）如图，在△48C中，AB=AC,NA3c的角平分线交AC

于点D,过点4作4七〃BC交8。的延长线于点£

(1)若/B4C=50°,求NE的度数.

（2）若尸是OE上的一点，且AO=AF,求证：BF=DE.

B

参考答案

一.选择题（共10小题）

1.（2021春•毕节市期末）如图，在△ABC中，NAC8=90°,BE平分NA8C,EZ）_L48于

D,DE=3cm,那么CE等于（）

A.yf2pmB.2cmC.3cmD.4cm

【考点】角平分线的性质.

【专题】三角形；推理能力.

【分析】直接利用角平分线的性质求解.

【解答】解：:BE平分NABC,ED±AB,ECVBC,

••EC=ED=3cm.

故选：C.

【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

2.（2020秋•甘井子区期末）等腰三角形的一个内角为120。，则底角的度数为（）

A.30°B.40°C.60°D.120°

【考点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观.

【分析】因为三角形的内角和为180°,所以1200只能为顶角，从而可求出底角.

【解答】解：•••120°为三角形的顶角，

・•・底角为（180°-120°）+2=30°.

故选：4.

【点评】本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形的两个底角相等，从而可求出解.

3.（2021春•东坡区校级期末）图中阴影部分是由4个完全相同的的正方形拼接而成，要在

①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成

的新图形是轴对称图形，则这个正方形应添加在（）

A.区域①处B.区域②处C.区域③处D.区域④处

【考点】轴对称图形.

【专题】平移、旋转与对称；几何直观.

【分析】根据轴对称图形的概念求解.

【解答】解：要在①，②，③.④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使

它与阴影部分组成的新图形是轴对称图形，则这个正方形应添加在区域②处.

故选：B.

【点评】此题主要考查了轴对称变换，正确把握轴对称图形的性质是解题关键.

4.（2021春•郑州期末）一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉

亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选在（）

A.三角形三条边的垂直平分线的交点

B.三角形三条角平分线的交点

C.三角形三条高所在直线的交点

D.三角形三条中线的交点

【考点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质.

【专题】能力层次.

【分析】根据角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

【解答】解：•・•根据角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，

・•・三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等，

故选：B.

【点评】本题考查角平分线的性质，要充分理解并加以运用性质中的线段关系.

5.（2020秋•路北区期末）如图，在锐角三角形4BC中，AB=4t△ABC的面积为10,BD

平分NA8C,若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为（)

A

A.4B.5C.4.5D.6

【考点】三角形的面积；轴对称-最短路线问题.

【专题】探究型；三角形；几何直观；应用意识.

【分析】过C作于点£交8。于点,过点作M'N'工BC于N,

则CE即为CM+MN的最小值，再根据三角形的面积公式求出CE的长，即为CM+MN的

最小值.

【解答】解：过C作于点E,交8。于点M',过点“作“M1BC于N',

如图：

•••80平分/ABC,M'E_LA8于点E,M'N'_LBC于N',

・•・"N'=M’E,

：.CE=CM'+M'E=CM'+M'N'是CM+MN最小值，此时"与M'重合，N与N'

重合，

•・•三角形ABC的面积为10,48=4,

.\AX4*C£：=10,

2

；・CE=5.

即CM+MN的最小值为5.

故选：B.

【点评】本题考查三角形中的最短路径，解题的关键是理解CE的长度即为CM+MN最

小值.

6.（2020秋•九龙坡区校级期末）如图，在△48C中，。石为线段的垂直平分线.箱4

ABC的周长为18,线段AE的长度为4,则ABC。的周长为（）

A.10B.IIC.12D.14

【考点】线段垂直平分线的性质.

【专题】三角形；推理能力.

【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AB=2AE=8,DA=DB,根据三角形的周长公

式计算，得到答案.

【解答】解：•・•△ABC的周长为18,

：.AC+BC+AB=\S,

为线段AB的垂直平分线，AE=4,

：.AB=2AE=S,DA=DB,

・・・AC+8C=10,

:.丛BCD的周长=8O+CD+8C=AO+CO+8C=AC+BC=10,

故选：A.

【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的

两个端点的距离相等是解题的关键.

7.如图，在△ABC中，A/平分/B4C,即平分乙43C,点O是AC、BC的垂直平分线的

交点，连接AO、BO,若4AlB=a,则NAO6的大小为（）

A.aB.4a-360°C.工+90。D.1800-Aa

22

【考点】线段垂直平分线的性质.

【专题】三角形；推理能力.

【分析】连接CO并延长至。，根据三角形内角和定理得到N/A8+N/BA=180°-a,根

据角平分线的定义得到NC4B+NCB4=360°-2a,求出NAC8,根据线段垂直平分线

的性质得至U04=0。，OB=OC,

根据等腰三角形的性质得到N0C4=N0AC,N0CB=/0BC,根据三角形的外角性质

计算，得到答案.

【解答】解：连接C0并延长至。，

,:N4/B=a,

・・・N/AB+N/8A=180°-a,

•••A/平分N84C,B/平分NA3C,

22

：.ZCAB+ZCBA=2(NIAB+/1BA)=360°-2a,

AZ4C/?=180°-(/CAR+/CRA}=2a-180°.

丁点。是AC、3c的垂直平分线的交点，

：.OA=OC,OB=OC,

・・・N0CA=N04C,N0CB=40BC,

・；ZAOD是△AOC的一个外角，

・•・NAOO=NOC4+NOAC=2/OC4,

同理，4B0D=2/0CB,

JNAOB=NAOD+/8OO=2/OCA+2NOCB=4a-360°,

故选：B.

【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理,

掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.

8.（2021•西湖区二模）如图，在AABC中，点。在边BC上，且满足4B=4D=OC,过点

。作OE_LA£>,交AC于点£设N8AD=a,NC4O=。，ZCDE=y,则()

A.2a+3p=180°B.3a+2p=180°C.0+2丫=90。D.2p+y=90°

【考点】等腰三角形的性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力.

【分析】根据AB=AD=DC,NB=/ADB,ZC=ZCAD=p,再根据三角形外角的性

质得出NA£O=0+Y，然后根据直角三角形的两锐角互余即可得结论.

【解答】解：*：AB=AD=DC,NBAO=a,

:・/B=NADB,ZC=ZCAD=p,

VDE±4D,

AZ4DE=90°,

：.ZCAD+ZAED=90°,

■:/CDE=Y，NAED=/C+/CDE,

・•・N4EO=Y+B，

A2P+Y=90°,

故选：D.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性

质是解题的关键.

9.（2U2。秋•临沐县期木）如图，已知等腰△A8C的底角NC'=15°,顶点8到边AC’的距

离是3cm,则AC的长为（）

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

【考点】等腰三角形的性质.

【专题】等腰三角形与直角三箔形；几何直观.

【分析】•・•根据等腰三角形的性质可求/84。=30°,根据含30°的直角三角形的性质

可求A8,进一步求得AC.

【解答】解：•.•等腰△ABC的底角NC=15°,

AZABC=\5°,

.\ZBAD=150+15°=30°,

在RtZ\A£）8中，ZD=90°,BD=3cm,

：.AB=2BD=6cmf

，AC=AB=6C7".

故选：D.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，含30°的直角三角形的性质，关键是求得NB4D

=30°.

10.（2021春•江都区校级期末）等腰三角形的面积为24平方厘米，腰长8厘米.在底边上

有一个动点P,则P到两腰的距离之和为（）

A.4cmB.6cmC.3cmD.lOc/n

【考点】等腰三角形的性质.

【专题】等腰三角形与直角三弟形；几何直观；运算能力；推理能力.

【分析】连接AP,由三角形的面积公式证得SMMSMCPUSMSC,根据AB=AC即可

求出PE+PF.

【解答】解：已知：△A8C中，PE.LABT£»PF_LAC于尸，48=AC=8厘米，AABC

的面积为24平方厘米，P是底边8c上一个动点.

求：PE+PF的值.

解：连接AP,

•・・PE_LA8,PFLAC,

SMBP=IAB^PE,SMCP=±AC・PF,

22

,**S&ABKS&ACP=SMBC,SMBC=24,

:.-UB・PE+^AC・PF=24,

22

：.^AB（PE+PF）=24t

2

:.PE+尸尸=24-2,=6C7〃,

8

故选：B.

【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的面积公式，由三角形的面积公式

证得SMBP+S^ACP=S&ABC是解决问题的关键.

二.填空题（共10小题）

11.（2021春•郑州期末）定义：等腰三角形的底边与其一腰的长度的比值上称为这个等腰

三角形的“优美比”，若等腰△A8C的周长为13cMAB=5cm,则它的“优美比"女=Q^

或1.25.

【考点】等腰三角形的性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力.

【分析】分两种情况：A8为腰或AB为底边，再根据三角形周长可求得底边或腰的长度，

即可得到它的优美比k.

【解答】解：当45腰时，则底边=3c/n；

此时，优美比4=2=0.6；

5

当A8为底边时，则腰为4；

此时，优美比女=S=1.25：

4

故答案为0.6或1.25.

【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键.

12.（2021春•黄浦区期末）如图，在△ABC中，/A=42°,点。是边A上的一点，将4

BCO沿直线8翻折斜到AB'CD,B'。交A8于点E,如果8'D//AC,那么NBDC

=111度.

【考点】平行线的性质；三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）.

【专题】三角形；几何直观.

【分析】设NB8为a,NCBD为B，列出关于a+p的方程，求出a+p,即可求出NBDC.

【解答】解：设N8CO为a,/CB。为0,

,:B'D//AC,

••・N8QC+NAC£)=180°,

由对称性知NBQC=NBDC,

.*.180°-(a+p)+180°-42°-(a+p)=180°,

・・・a+0=69°,

/.ZBDC=180°-69°=111°,

故答案为111.

【点评】本题主要考查翻折的性质，还有平行线的性质，注意翻折是轴对称变换，具有

对称性，平行线的三个基本性质要牢记于心.

13.(2020秋♦南潺区期末)如图，把一张长方形纸条人BCQ沿E尸折叠，若NAED'=68°,

【考点】翻折变换(折叠问题).

【专题】平移、旋转与对称；运算能力；推理能力.

【分析】设上”=x，根据折叠的性质得到"="EF=x,利用平角的定义列方

程即可得到结论.

【解答】解：设NOE/=x,

•・•把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，

・•・/£>'EF=NDEF=x,

VZAED'=68°,NAED'+N。'EF+DEF=\S0°,

；・x+x+68°=180°,

Ax=56°,

"DEF=/D'所=56°,

AZAEF=ZAED'+NO'E产=124°,

故答案为：124°.

【点评】木题重点考查了折叠问题，解题的关键是学会利用参数，构建方程组解决问题.

14.（2020秋•费县期末）如图，在等腰△ABC中，ZBAC=\20°,DE是AC的垂直平分

线，线段。E=2cm,则BD的长为8cm.

【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观.

【分析】连接AD,根据等腰三角形的两底角相等求出N8=NC=30°,再根据线段垂

直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得4O=CD,然后求出NC4O=30°,再求

出NB4O=90°,然后根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出CD=2DE,BD=

24力，代入数据进行计算即可得解.

【解答】解：连接AD，

在等腰△ABC中，ZBAC=120°,

AZB=ZC=30°,

•••DE是AC的垂直平分线，

：.AD=CD,

.,.ZG4D=ZC=3O°,

：.ZBAD=ZBAC-ZG4D=120°-30°=90°,

在RtZ\CZ）E中，CD=2DE,

在RtZ\A8。中，BD=2AD,

：.BD=4DE,

9

：DE=2cmf

BD的长为8cm.

故答案为：8.

【点评】本题考查了等腰三角形的在，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半

的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关

键.

15.（2020秋•滦州市期末）如图，在△ABC中，AB=BC,BE平分乙ABC,AD为BC边上

的高，且AO=BO.则N3=22.5°.

【考点】等腰三角形的性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观.

【分析】求出NAOB=90°,艰据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出NA8。

=NB4D=45°,根据角平分线的定义求出N2,再根据等腰三角形的性质得出N8E4=

ZADB=90°,根据三角形的内角和定理求出N2=N3即可.

【解答】解：・・乂。为BC边上的高，

AZADB=90°,

•；AD=BD,

：.ZABD=ZBAD=^-（1800-NADB）=45°,

2

二,BE平分N48C,

・・・N1=N27NABO=22.5°,BE±AC,

2

；・NBEA=90°=ZADB,

•・・N3+N5EA+NA〃E=180°,Z2+ZADB+ZBHD=180°,NAHE=NBHD,

，N3=N2=22.5°.

故答案为：22.5°.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义等知识

点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键.

16.（2021春•株洲期末）如图，AB//CD,8P和CP分别平分NA8C却NOCB,A。过点P,

且与人8垂直.若人。=8,则点P到的距离是4.

【考点】平行线的性质；角平分线的性质.

【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力.

【分析】过点尸作PE_LBC于E,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得以

=PE,PD=PE,那么依据40=8,进而求出PE=4.

【解答】解：如图所示，过点。作PE_L8C于E,

,:AB〃CD,PAA.AB,

：.PD1CD,

YB尸和C尸分别平分NA8C和/OCB,

：.PA=PE,PD=PE,

：.PE=PA=PD,

VB4+PD=AD=8,

：.B\=PD=4,

・・・PE=4,即点P到BC的距离是4.

故答案为:4.

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并作辅助

线是解题的关键.

17.（2020秋•渝中区期末）如图，已知NA8C、NE4C的角平分线BP、4P相交于点P,

PMA.BE,PN工BF,垂足分别为M、N.现有四个结论：

①CP平分NACF；②N8PC=2N84C；③/4PC=90°-^ZABC；④S&APMTS&CPN

22

>SMPC.

其中结论正确的为一①0）@.（填写结论的编号）

【考点】角平分线的性质.

【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；运算能力；推理能力.

【分析】①作P£>_LAC于。.根据角平分线性质得到产例=PMPM=PD,得到

=PD,于是得到点尸在NACF的角平分线上，故①正确；

②根据三角形的判定和性质得到AO=AM，ZAPM=ZAPD,CD=CN,NNPC="PC,

于是得到NAPC'/MPN,故②正确；

③根据四边形的内角和得到NA8C+90。+NMPN+90。=360°,求得NABC+NMPN=

180°,于是得到NAPC=90°-故③正确；

2

④根据角平分线定义得到N4?尸=NA8C+NB4C,NPCN=工NACF=NBPC+工N

22

ABC,得至ljN8PC=2N84C,根据全等三角形的性质得到SMPM+S&CPN=SMPC.故④

2

不正确.

【解答】解：①作PD_LAC于D

平分NA8C,以平分NE4C,PM±BE,PN1.BF,

；・PM=FN,

:・PM=PN=PD,

・••点P在/AC尸的角平分线上（到角的两边距离相等的点在角的平分线上），

故①正确：

②•••03平分N48C,CP平分/ACF,

工NABC=2/PBC,ZACF=2/PCF,

■:NACF=N4BC+NBAC,ZPCF=NPBF+/BPC,

:・NBAC=2NBPC,

JN8PC=2NB4C,故②正确；

2

®*：PM1AB,PN±BC,

...NA5C+90°+NMPN+90。=360°,

AZABC+ZMPN=180°,

/.ZAPC=90°-IZABC,故③正币角；

2

④・・・P8平分NABC,PC平分NACr，

:.ZACF=NABC+N8AC,/PCN=*NACF=NBPC+工NA8C,

22

:・/BAC=2/BPC,

・・・/BPC=2/BAC,故本小题正确；

2

°：S4APD=SMPM,SACPD=S“PN,

:.SMPM+S^CPN=S4APC,故④不正确.

综上所述，①②③正确.

故答案为：①②③.

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质以及到角的两边距离

相等的点在角的平分线上的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与

它不相邻的两个内角的和的性质，有一定综合性，但难度不大，只要仔细分析便不难求

解.

18.（2020秋•涪城区期末）如图，点CO在线段A8的同侧，CA=6,AB=14,50=12,M

【考点】线段的性质：两点之间线段最短；轴对称的性质.

【专题】平移、旋转与对称；推理能力.

【分析】如图，作点A关于CM的对称点A',点8关于OM的对称点8',证明

MB'为等边三角形，即可解决问题.

【解答】解：如图，作点A关于CM的对称点A',点B关于。M的对称点".

D

•・・NCMO=120°,

・・・NAMC+NDMB=60°,

：.ZCMAl+ZDMB1=60°,

••・NA'MB1=60°,

*：MAf=MB',

••.△A'MB'为等边三角形

■:CDWCA'+A'B'+B'D=CA+AM+BD=6+7+12=25,

・・・CO的最大值为25,

故答案为25.

【点评】本题考查翻折变换，等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解

题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决最值问题，属于中考

常考题型.

19.（2020秋•李沧区期末）如图，△408与ACOB关于边。8所在的直线成轴对称，AO

的延长线交于点D若NBOD=46°,ZC=22°,则N4DC=70°.

【考点】轴对称的性质.

【专题】平移、旋转与对称；推理能力.

【分析］根据NAOC=NA+NA8O,求出NA,NA8O即可.

【解答】解：•••△AO8与ACOB关于边08所在的直线成轴对称,

/.AAOB@△COB,

・・・NA=NC=22°,ZABO=ZCBO,

•：ZBOD=ZA+ZABO,

・・・NA8O=46°-22°=24°,

AZABD=2ZABO=48°,

：.ZADC=ZA+ZABD=220+48°=70°,

故答案为：70.

【点评】本题考查轴对称的性质，全等三角形的性质，三角形的外角的性质等知识，解

题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

20.(2020秋•涕阳市期末)如图所示，4、8两个村子在河CO的同侧，4、8两村到河的

距离分别为4C=lk〃，BD=3km,CD=3km.现在河边C£＞上建一水厂分别向A、B两

村输送自来水，铺设水管的费用为20000元/千米，请你在河CD边上选择水厂位置O,

使铺设水管的费用最省，那么所铺设水管的总费用为100000兀.

B

■

A

——

【考点】轴对称-最短路线问题.

【专题】平移、旋转与对称；几何直观；运算能力；推理能力.

【分析】构造出以A'8为斜边的直角三角形，利用勾股定理列式计算即可求出A'B,

再乘以单价计算即可得解.

【解答】解：如图，作出以A'B为斜边的直角三角形，

*：AC=\km,BD=3km,CD=3hn,

••・4'E=CD=3km,BE=3+1=4(km),

由勾股定理得，Af8=后工=5(km),

20000X5=1(X)000(元).

答：铺设水管的总费用100000元.

故答案为：100000.

B

---------------—--

【点评】本题考查了轴对称确定最短路线问题，勾股定理，熟练掌握最短路线的确定方

法是解题的关键.

三.解答题（共10小题）

21.（2020秋•九龙坡区校级期末）已知：在△A5C中，AB=AC.3O_LAC交AC于O,AO

平分/6AC交于O,过。点作。石〃8c交4c于£

（1）求证：BO=OC；

（2）若NB4C=56°,求NOOE的度数.

【考点】平行线的性质；等腰三角形的性质.

【专题】等腰三角形与直角三甭形；推理能力.

【分析】（1）根据三角形全等证明对应边相等；

（2）根据等腰三角形两底角相等就出底角的度数，根据a上LAC得N8OC=90°,求出

N48O的度数，进而求出NOBC的度数，最后根据两直线平行，同位角相等即可证明.

【解答】解：（1）・・・A。平分NB4C,

・・・NBAO=NOAC,

在AABO和△ACO中，

rAB=AC

<ZBA0=Z0AC，

AO=AO

•••△48O0ZXAC。（SAS）,

：.BO=OC.

(2)9：BD1AC,

,,.ZBDC=90°,

：.ZABD=ZBDC-ZBAD=90°-56°=34°,

*：AB=AC,

：.ZABC=ZACB=^-(180°-ZBAC)=62°,

2

:・/DBC=/ABC・/ABD=62°-34°=28°,

•：OE〃BC,

：・NDOE=NDBC=28°.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质，平行线的性质，解

题的关键是求出NDBC的度数.

22.(2020秋•玄武区期末)如图，在人人/?。中,AR=AC.AT)是△ARC的角平分线,FE

是AC的垂直平分线，交AD于点F,连接5E求证：AF=BF.

【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力.

【分析】由等腰三角形的性质可得BD=CD,ADLBC,由线段垂直平分线的性质可得

BF=CF=AF.

【解答】证明：连接CF，

:・BD=CD,AD±BC,

:,BF=CF,

丁五E垂直平分4a

：.AF=CFf

工AF=BF.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握等腰三角形的性

质是本题的关键.

23.（2020秋•兴化市期末）如图，/XABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点M、D,

4c的垂直平分线分别交4C、BC于点N、E,ZXAOE的周长是7.

（1）求BC的长度：

（2）若NB+NC=60°,则NOAE度数是多少？请说明理由.

【考点】线段垂直平分线的性质.

【专题】三角形；推理能力.

【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到D4=OB,EA=EC,根据三角形的周长公

式计算，得到答案；

（2）根据等腰三角形的性质得到ND48=/8,NE4C=NC,根据三角形的外角性质、

三角形内角和定理计算即可.

【解答】解：（1）・・・OM是线段A8的垂直平分线，

:,DA=DB,

同理，EA=EC,

ZXAOE的周长为7,

：,DA+DE+EA=1,

：.BC=DA+DE+EC=1；

（2）NO4E度数是60°,

理由如下：°:DA=DB,EA=EC,

:・NDAB=NB,NE4C=NC

VZB+ZC=60°,

AZADE+ZAED=2ZB+2ZC=120°,

AZDAE=180°-120°=60c.

【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直

平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.

24.（2020秋•怀宁县期末）如图，在△48C中，NB4C=62°,NB=78°,AC的垂直平

分线交BC于点D.

（1）求NB4。的度数；

（2）若A8=8,BC=11,求A4B。的周长.

【考点】角的计算；线段垂直平分线的性质.

【专题】三角形；运算能力.

【分析】（1）根据三角形内角和定理求出NC,根据线段垂直平分线的性质得到AO=CQ,

根据等腰三角形的性质得到/CAO=NC=40°,得到答案；

（2）根据三角形的周长公式计算即可.

【解答】解：（1）VZBAC=62°,NB=78°,

AZC=1800-ABAC-ZB=180°-62°-78°=40°,

,.•£）£垂直平分AC,

：.AD=CD,

AZCAD=ZC=40°,

：.^BAD=ZBAC-ZG4D=62°-40°=22°；

（2）f：AD=CD,AB=8,BC=\\,

:.XABD的周长=4B+AO+BO=AB+CD+BO=A8+8C=8+11=19.

【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平

分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.

25.（2020秋•丛台区校级期末）小明采用如图所示的方法作NAO8的平分线OC：将带刻

度的直角尺OEMN按如图所示摆放，使边与OB边重合，顶点。落在。4边上并标

记出点。的位置，量出0。的长，再重新如图放置直角尺，在ON边上截取。~=0拉,

过点尸画射线OC,贝IJOC平分NAOB.请判断小明的做法是否可行？并说明理由.

【考点】角平分线的性质.

【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力.

【分析】根据平行线的性质得到NOPO=NPOM,根据等腰三角形的性质得到/。尸。=

/DOP,由等量代换得到NPOM=NOOP,由此可判断小明的做法可行.

【解答】解：小明的做法可行.理由如下：

在直角尺。EMN中，DN//EM,

：.NDPO=/POM,

,:DP=OD,

・•・/DPO=ZDOP,

:・/POM=/DOP,

；・OC平分NA03.

【点评】本题主要考杳了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的性质，能灵活

应用平行线的性质和等腰三角形的性质是解决问题的关键.

26.（2020秋•肥西县期末）如图，△48C是等边三角形，D、E分别是BC、AC边上的点,

连接A。、BE,且A"、8上相交于点尸，乙AKB=4CDA.

（1）求NBP。的度数.

（2）过点B作BQ_LAO于Q,若PQ=3,PE=1,求8E的长.

【考点】等边三角形的性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力.

【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，ZABC=ZC=60°,又根据N4EB=NCD4,

进而求得/E8C=N84D,即可得出答案；

（2）根据题意求得NP3Q=30）,再根据直角三角形中30°的角的性质求出8P的长度，

即可得出答案.

【解答】解：（1）由△A8C是等边三角形可得，

ZA5C=ZC=60°,

VZADC=ZABC+ZBAD,NAEB=/C+NEBC,/AEB=/CDA,

:.ZBAD=/EBC,

,/NBPD=NABE+NBAD,

JZBPD=NABE+NEBC=ZABC=60°；

（2）,・・8Q_LAO于Q,

，NBQP=90°,

YNB尸0=60°,

・・・NP8Q=90°-/BPD=30°,

在RtZ\8PQ中，

：PQ=3,NP8Q=30°,

:・BP=2PQ=6,

又；PE=1,

：,BE=BP+PE=6+\=1.

【点评】此题考查了等边二角形的性质，熟练掌握等边二角形的性质是解题的关键.

27.（202