第六章 数列综合测试卷（新高考专用）（教师版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

第六章数列综合测试卷（新高考专用）（考试时间：120分钟；满分：150分）注意事项：1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．（5分）（24-25高二上·全国·课后作业）数列1,−22,12A．−12n−1 B．−22n【解题思路】观察每项的特点，分别确定项的符号以及每一项的联系，即可找出数列的通项公式.【解答过程】通过观察这一列数发现，奇数项为正，偶数项为负，故第n项的正负可以用(−1)n+1而1=2故数列的通项可为an故选：D.2．（5分）（2024·四川凉山·三模）已知Sn是等比数列an的前n项和，a2=−3，S3A．−3 B．−13 C．3或13 D．【解题思路】利用等比数列通项和前n项和的基本量运算列出方程，求解即得.【解答过程】由S3因a2=a即3q2+10q+3=0，解得，q=−3故选：D.3．（5分）（2024·天津南开·二模）设数列an的通项公式为an=n2+bn，若数列A．−3,+∞ B．−2,+∞ C．−2,+∞【解题思路】由递增数列定义可得an+1【解答过程】由题意可得an+1−a即b>−2n−1，又n≥1，−2n−1≤−3，故b∈−3,+故选：A.4．（5分）（2024·河南周口·模拟预测）设Sn为等差数列an的前n项和，已知S3=4，S6A．12 B．14 C．16 D．18【解题思路】根据题意可知S3，S6−S3，S9−【解答过程】由等差数列的性质可知，S3，S6−S3，S9−且S3=4，所以a16故选：B.5．（5分）（2024·山东青岛·二模）一只蜜蜂从蜂房A出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房A只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房……以此类推，用an表示蜜蜂爬到n号蜂房的方法数，则a2022aA．1 B．−1 C．2 D．−2【解题思路】由题意可得an=an−1+【解答过程】依题意，an=an−1+当n≥2时，a=an2所以数列anan+2−a所以a2022故选：A.6．（5分）（2024·四川攀枝花·三模）数列an的前n项和为Sn，a1=−1，nan=A．−149 B．−49 C．49 D．149【解题思路】由an与Sn的关系，结合等差数列的通项公式求得an【解答过程】因为na当n≥2时，na即(n−1)S可得Snn−Sn−1n−1=1，又S所以Snn=−1+n−1=n−2当n≥2时Sn−1所以an=Sn−所以bn可得数列bn的前51项之和为(1+1)+(−3+5)+故选：B．7．（5分）（2024·辽宁大连·模拟预测）已知数列an的前n项的积为Tn，an=TnTA．2021 B．2022 C．2023 D．2024【解题思路】先由an=TnTn−1求出a1，再当n≥2时，由an=TnTn−1【解答过程】令n=1，则a1=a当n≥2时，因为an=TnTn−1所以数列Tn是以a1=2故an=n+1当i≥2时，ai所以i=11−1所以n−1n<2022则使得i=1nai故选：B.8．（5分）（2024·四川绵阳·模拟预测）已知首项为1的数列an的前n项和为Sn，其中Sn+1=Sn+anA．① B．② C．②③ D．①②③【解题思路】①通过做差，判断差值正负，来判断an和a②通过对an+1=a③通过an+1=ana【解答过程】对①，因为Sn+1所以S所以an+1−a故①错误，对②，由an+1=a所以1a所以i=1n因为a1所以an+1所以i=1n所以②正确，对③，当n=1时，S2=S所以当n≥1时，an+1−2a所以a2024所以a2024所以③错误，故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．（6分）（2024·山东泰安·二模）已知等差数列an的前n项和为Sn，a2=4，A．a5=4 C．ann为递减数列 D．{【解题思路】根据给定条件，利用等差数列的性质求出公差d，再逐项求解判断即可.【解答过程】等差数列an中，S7=7(a因此公差d=a4−对于A，a5对于B，Sn对于C，ann=1+对于D，1ana13故选：BC.10．（6分）（2024·山西太原·二模）已知数列an满足a1=1，aA．an是递增数列 B．aC．当n是偶数时，an=2−12n2 【解题思路】对于A，求出数列的前几项即可判断；对于B，等比数列的定义证明即可；对于C，由B可知，a2n−2是以−12为首项，12为公比的等比数列，求解判断即可；对于D，由C可知，a【解答过程】对于A：由a1=1，a2对于B：当n=1时，由a1=1，当n>1时，a2n综上所述：所以a2n−2是以−1对于C：由B可知，a2n−2是以−1所以a2n−2=−12×所以当n是偶数时，an对于D：由C可知，a2m=2−1所以a2m−1=6−4m−1所以当m=1时，a2m−1当m≥2时，a2m−1=6−4m−1所以a2n故选：BC.11．（6分）（2024·重庆·模拟预测）已知数列an，bn，记Tn=a1a2aA．T12=12 B．数列aC．S10=10【解题思路】由已知可得n=1时，T1=a1=2，n≥2时an=TnTn−1【解答过程】对于A，由已知Tn当n=1时，T1=a1，即当n≥2时，Tn−1=a所以1Tn+所以数列Tn是以2为首项，1所以Tn=n+1，即对于B，所以an=n+1n=1+所以数列an中的最大项为a对于C，bnSn所以S10对于D，又n∈N+，所以1n+2故选：BD.第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）（2024·河北·模拟预测）已知数列an是公差为d的等差数列，各项不等的数列bn是首项为2，公比为q的等比数列，且ab2=b【解题思路】由已知结合等差数列与等比数列的通项公式即可列式求解．【解答过程】解：由已知可得，b1=2，b2再由ab2=得a1+(2q−1)d=2，联立以上两式可得：2−2qd=q(2−2qd)，∴q=1（舍去），或2−2qd=0，即qd=1．故答案为：1．13．（5分）（2024·山东青岛·模拟预测）已知数列an的前n项和为Sn，且满足a1=1,an+1【解题思路】依题意可得a2k+2+a2k+1=2a2k【解答过程】因为a1所以a2k+2=a2k+1+1=2所以a2k+2记bn=a2n+所以bn+3是以b1所以bn+3=6×2记bn的前n项和为T则S=6故答案为：3×214．（5分）（2024·四川内江·模拟预测）数列an满足a1=1，an+1+an=2n+1，若数列an+1+1an⋅【解题思路】根据已知条件得an=n，令bn【解答过程】数列{an}当n=1时，a2+a当n≥2时，an+2由②−①得an+2数列{an}数列{an}综上，数列{an}记bn所以数列{bn}T=2×=2×=2×=1−1由Tn>20232024得因为(n+1)×2n,n∈N故当n=8时，刚好满足(n+1)×2所以Tn>20232024,故答案为：8.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。15．（13分）（24-25高二上·全国·课后作业）写出下列各数列的一个通项公式：(1)4，6，8，10，…(2)12(3)0.3，0.33，0.333，0.3333，…【解题思路】（1）（2）（3）分析数列给定的前几项的特征，利用观察法求出通项公式.【解答过程】（1）各项是从4开始的偶数，因此an（2）每一项分母可写成21因此所求数列的通项公式可写为an（3）因为数列0.9，0.99，0.999，0.9999，…的通项公式为1−1而数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的每一项都是上面数列对应项的13所以an16．（15分）（2024·湖南·模拟预测）已知数列an的前n项和为Sn,3Sn+1=S(1)求an和b(2)证明：ab【解题思路】（1）根据Sn与an之间的关系分析可知an是首项为13，公比为13（2）分析可知abn是以首项ab【解答过程】（1）由3Sn+1=两式相减可得3an+1=当n=1时，3S2=则2a1=1−3且a2a1=13，可知可得an设等差数列bn的公差为d≥0因为b1,b即22+2d=(1+d)2，解得所以bn（2）由（1）得abn=可知abn是以首项ab则a=1所以ab17．（15分）（2024·四川德阳·三模）已知an是等差数列，bn是等比数列，且bn的前n项和为Sn，2a1=(1)求数列an和b(2)设数列anbn的前n项和为T【解题思路】（1）根据等差数列定义可求得数列an的通项公式，利用等比数列定义根据条件①②列方程组解得公比可得数列b（2）利用错位相减法求出Tn【解答过程】（1）设等差数列an的公差为d∵2a1=2∴a1∴a1∴an设等比数列bn的公比为q若选条件①，b5由b1=2，且得b1∴q2−4q+4=0，解得所以bn故bn若选条件②，bn+1令n=1，得b2∴公比q=b∴数列bn从而bn（2）因为Tn所以12两式相减，得12即12所以Tn18．（17分）（2024·江苏无锡·二模）已知正项数列an的前n项和为Sn，满足(1)求数列an(2)设bn=an2an,Tn为数列【解题思路】（1）运用公式，已知Sn求a（2）求出bn，后运用错位相减求出T【解答过程】（1）2Sn=当n=1时，代入①得a1当n≥2时，2S①-②得2an=因为an>0，所以an−a（2）bn=n+112③-④得12所以Tn=32−n+32令cn=n所以cn的最大值为c2=所以k的取值范围为5819．（17分）（2024·全国·模拟预测）定义：若对于任意的n∈N*，数列an满足a(1)已知首项为1的等差数列an是“T数列”，且a1+(2)已知各项均为正整数的等比数列an是“T数列”，数列an2不是“T数列”．记bn=①求数列bn②是否存在正整数r,s,tr<s<t，使1br【解题思路】（1）由等差数列an是“T数列”，可得其公差d>1，利用等差数列的前n项和公式将原不等式化为n−1d<2n对任意的n∈N*恒成立，再对（2）①分别求数列an+1−an,an+12−an2中的最小项，再根据an是“T数列”，数列a②根据题意得到关于r,s,t的方程,并判断r3r,【解答过程】（1）因为等差数列an是“T数列”，所以其公差d>1因为a1=1，所以由题意，得n+nn−12即n−1d<2n对任意的n∈当n=1时，n−1d<2n恒成立，故d>1当n≥2时，n−1d<2n对任意的n∈N*恒成立，即d<因为2nn−1=2+2综上，1<d≤2，所以2<a即a2的取值范围是2,3（2）①设等比数列an的公比为q，则a因为“T数列”an的每一项均为正整数，由an+1−an>1得所以在数列an+1−a在数列an+12−若an是“T数列”，则只需a2−若数列an2不是“T数列”，则a2因为数列an的每一项