重难点23 与圆有关的最值与范围问题（举一反三）（新高考专用）（学生版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

重难点23与圆有关的最值与范围问题【十大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1斜率型最值（范围）问题】 2【题型2直线型最值（范围）问题】 2【题型3定点到圆上点的最值（范围）】 3【题型4圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）】 4【题型5过圆内定点的弦长最值（范围）问题】 4【题型6圆的切线长度最值（范围）问题】 5【题型7周长面积型最值（范围）问题】 5【题型8数量积型最值（范围）问题】 6【题型9坐标、角度型最值（范围）问题】 6【题型10长度型最值（范围）问题】 71、与圆有关的最值与范围问题从近几年的高考情况来看，与圆有关的最值与范围问题是高考的热点问题，由于圆既能与平面几何相联系，又能与圆锥曲线相结合，命题方式比较灵活，故与圆相关的最值与范围问题备受命题者的青睐.此类问题考查形式多样，对应的解题方法也是多种多样，需要灵活求解.【知识点1与距离有关的最值问题】在运动变化中，动点到直线、圆的距离会发生变化，在变化过程中，就会出现一些最值问题，如距离最小、最大、范围等.这些问题常常联系到平面几何知识，利用数形结合思想进行求解得到相关结论.1．圆上的点到定点的距离最值问题一般都是转化为点到圆心的距离处理，加半径为最大值，减半径为最小值.2．圆上的点到直线的距离最值问题已知圆C和圆外的一条直线l，则圆上点到直线距离的最小值为：，距离的最大值为：.【知识点2利用代数法的几何意义求最值】1．利用代数法的几何意义求最值(1)形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.(2)形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.(3)形如m=(x-a)2+(y-b)2的最值问题，可转化为曲线上的点到点(a,b)的距离平方的最值问题.【知识点3切线长度最值问题】1．圆的切线长度最值问题(1)代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值；(2)几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题.【知识点4弦长最值问题】1．过圆内定点的弦长最值问题已知圆C及圆内一定点P，则过P点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦.【知识点5解决与圆有关的最值与范围问题的常用方法】1．与圆有关的最值与范围问题的解题方法(1)数形结合法：处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解.(2)建立函数关系求最值：根据题目条件列出关于所求目标函数的关系式，然后根据关系的特点选用参数法、配方法、判别式法等进行求解.(3)利用基本不等式求解最值：如果所求的表达式是满足基本不等式的结构特征，如a·b或者a+b的表达式求最值，常常利用题设条件建立两个变量的等量关系，进而求解最值.同时需要注意，“一正二定三相等”的验证.(4)多与圆心联系，转化为圆心问题.(5)参数方程：进行三角换元，通过参数方程，进行求解.【题型1斜率型最值（范围）问题】【例1】（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）已知P(m,n)为圆C:(x−1)2+(y−1)2=1上任意一点，则m+nm+1的最大值为（

）A．33 B．−33 C．1+【变式1-1】（2024·河南·模拟预测）已知点Px,y在圆x−12+y−12A．−6−30 B．6+30 C．−6+30【变式1-2】（2024·陕西商洛·三模）已知Px0,y0是圆C:A．−2 B．−12 C．−4−7【变式1-3】（2024·福建南平·三模）已知Pm,n为圆C：x−12+y−12=1上任意一点，则【题型2直线型最值（范围）问题】【例2】（23-24高三上·河南·阶段练习）已知点Px,y是圆C：x−a2+y2=3a>0上的一动点，若圆CA．4 B．26 C．−4 D．【变式2-1】（24-25高二上·全国·课后作业）如果实数x,y满足等式x2+y2+4x−2y−4=0，那么x2+y2的最大值是【变式2-2】（23-24高二上·黑龙江绥化·阶段练习）已知x，y是实数，且x−12(1)求3x+4y的最值；(2)求yx(3)求x2【变式2-3】（2024高三·全国·专题练习）已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：(1)yx(2)y＋x的最大值和最小值；(3)x2＋y2的最大值和最小值．【题型3\t"/gzsx/zsd29136/_blank"\o"定点到圆上点的最值（范围）"定点到圆上点的最值（范围）】【例3】（2024·陕西铜川·三模）已知圆C:(x−a)2+(y−b)2A．4 B．5 C．6 D．7【变式3-1】（23-24高三下·山东济南·开学考试）已知P是圆O:x2+y2=9上的动点，点Q满足PQ=A．8 B．9 C．29+3 D．【变式3-2】（2024·全国·模拟预测）M点是圆C:(x+2)2+y2=1上任意一点，AB为圆C1:(x−2)2+A．1 B．2 C．3 D．47【变式3-3】（2024·四川乐山·三模）已知圆O:x2+y2=16，点F−2,12+19，点E是l:2x−y+16=0上的动点，过E作圆O的切线，切点分别为A，BA．32 B．352 C．5【题型4\t"/gzsx/zsd29137/_blank"\o"圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）"圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）】【例4】（2024·河北邯郸·模拟预测）已知M，N是圆C：x2+y2−2y−3=0上的两个点，且MN=22，P为MN的中点，Q为直线lA．22 B．2 C．2−2 【变式4-1】（2024·辽宁鞍山·二模）已知直线l:x−y−2=0，点C在圆x−12+y2=2上运动，那么点CA．322+1 B．522 【变式4-2】（2024·河北·二模）已知Ax1,y1，Bx2,y2是圆x2+y2=9A．43 B．33 C．23【变式4-3】（2024·湖南岳阳·二模）已知点Ax1,y1,Bx2,A．16 B．12 C．8 D．4【题型5\t"/gzsx/zsd29138/_blank"\o"过圆内定点的弦长最值（范围）"过圆内定点的弦长最值（范围）问题】【例5】（23-24高二上·重庆·期末）已知圆的方程为x2+y2−8x=0A．10 B．11 C．210 D．【变式5-1】（2024·陕西西安·模拟预测）已知直线l:tx+y−2t−3=0(t∈R)与圆C:x−12+A．[23,8] B．[43,8] C．【变式5-2】（23-24高二上·广东珠海·期末）已知直线l：mx−y−3m+1=0恒过点P，过点P作直线与圆C：(x−1)2+(y−2)2=25相交于A，BA．45 B．2 C．4 D．【变式5-3】（2024·江西赣州·二模）已知直线l:m+nx+m−ny−2m=0mn≠0A．l过定点1,−1 B．l与C一定相交C．若l平分C的周长，则m=1 D．l被C截得的最短弦的长度为4【题型6圆的切线长度最值（范围）问题】【例6】（2024·全国·模拟预测）已知P为直线l:x−y+1=0上一点，过点P作圆C:x−12+y2=1的一条切线，切点为A．1 B．2 C．3 D．2【变式6-1】（2024·新疆·二模）从直线x−y+2=0上的点向圆x2+yA．22 B．1 C．24 【变式6-2】（2024·四川宜宾·二模）已知点P是直线x+y+3=0上一动点，过点P作圆C:(x+1)2+y2A．23 B．22 C．2【变式6-3】（2024·湖北·模拟预测）已知点P为直线l:3x−4y+12=0上的一点，过点P作圆C:x−32+y−22=1的切线PM，切点为A．125 B．135 C．1705【题型7周长面积型最值（范围）问题】【例7】（2024·上海普陀·二模）直线l经过定点P(2,1)，且与x轴正半轴、y轴正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点，动圆M在△OAB的外部，且与直线l及两坐标轴的正半轴均相切，则△OAB周长的最小值是（

）A．3 B．5 C．10 D．12【变式7-1】（2024·山西吕梁·一模）已知圆Q:(x−4)2+(y−2)2=4，点P为直线x+y+2=0上的动点，以PQ为直径的圆与圆Q相交于A．27 B．47 C．2【变式7-2】（2024高三·全国·专题练习）设P为直线x−y=0上的动点，PA，PB为圆C：(x−2)2+y2=1的两条切线，切点分别为A，BA．3 B．2+3 C．4 D．【变式7-3】（2024·全国·模拟预测）已知A(−3,0)，B(0,3)，设C是圆M:x2+y2A．12 B．62 C．6 D．【题型8数量积型最值（范围）问题】【例8】（2024·陕西安康·模拟预测）在平面直角坐标系中，曲线y=x2−4x+1与坐标轴的交点都在圆C上，AB为圆C的直径，点P是直线3x+4y+10=0上任意一点；则PAA．4 B．12 C．16 D．18【变式8-1】（2024·全国·模拟预测）已知圆O是圆心为原点的单位圆，A,B是圆O上任意两个不同的点，M2,0，则MA+MBA．1,2 B．1,3 C．2,4 D．2,6【变式8-2】（2024·河南开封·二模）已知等边△ABC的边长为3，P为△ABC所在平面内的动点，且|PA|=1，则PB⋅A．−32,92 B．−1【变式8-3】（2024·河北唐山·二模）已知圆C：x2+y−32=4，过点0,4的直线l与x轴交于点P，与圆C交于A，BA．0,1 B．0,1 C．0,2 D．0,2【题型9坐标、角度型最值（范围）问题】【例9】（2024·江西·模拟预测）已知点M是圆x2+y2=1上一点，点N是圆C:A．π2 B．π3 C．π4【变式9-1】（2024·全国·模拟预测）已知直线l:x−y+2=0与圆O:x2+y2=1，过直线l上的任意一点P作圆O的切线PA，PB，切点分别为A，A．3π4 B．2π3 C．【变式9-2】（23-24高一下·河南洛阳·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知O0,0,A154,0，曲线C上任一点M满足OM=4AM，点P在直线y=2x−1上，如果曲线C上总存在两点到点PA．1<t<3 B．1<t<4 C．2<t<3 D．2<t<4【变式9-3】（23-24高二上·江西九江·期末）已知点P在直线l:3x+4y+3=0上，过P作圆M:x2+y2−6x−4y+9=0的两条切线，切点为A．30∘ B．45∘ C．60∘【题型10长度型最值（范围）问题】【例10】（2024·山东枣庄·一模）在平面直角坐标系xOy中，已知A−3,0,B1,0,P为圆C:(x−3)A．34 B．40 C．44 D．48【变式10-1】（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知圆C:x2+y2=4上两点AxA．32−2 C．62−4 【变式10-2】（2024·四川成都·模拟预测）已知P为直线l:x+y=0上一点，过点P作圆M:(x−1)2+(y−1)2=1的切线PA（A点为切点），B为圆A．31−2 B．32−1 C．31【变式10-3】（23-24高三上·辽宁大连·阶段练习）已知圆C1:(x−2)2+(y−3)2=1，圆C2:x−32+y−42A．52−2 B．17−1 C．6+2一、单选题1．（2024·江西·模拟预测）已知实数a,b满足a2+b2=a−bA．2 B．2 C．3222．（2024·四川攀枝花·三模）由直线y=x上的一点P向圆x−42+y2=4引切线，切点为QA．2 B．2 C．6 D．23．（2024·全国·模拟预测）直线y=kx+2被圆x2+yA．2 B．3 C．22 D．4．（2024·山东济南·三模）圆(x−1)2+(y+1)2=4A．3 B．4 C．5 D．95．（2024·陕西汉中·二模）已知⊙M:x2+y2−2x−2y−2=0，直线l:2x+y+2=0,P为l上的一动点，A，B为A．−255 B．−45 6．（2024·安徽·模拟预测）已知点M是直线l1:ax+y−2a=0和l2:x−ay+2=0（a∈R）的交点，A−1,0，Bm,0，且点M满足MA=A．6 B．26 C．10 D．7．（23-24高二上·黑龙江·期末）已知直线y=kx+2k∈R交圆O:x2+y2=9A．9 B．16 C．27 D．308．（2024·陕西西安·一模）已知圆O的方程为：x2+y2=1，点A2,0，B0,2，P是线段AB上的动点，过P作圆O的切线，切点分别为C，D，现有以下四种说法：①四边形PCOD的面积的最小值为1；②四边形PCOD的面积的最大值为3；③PC⋅PDA．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①④二、多选题9．（2024·安徽六安·模拟预测）已知圆C:x2+y2−4x−5=0，点A．圆C关于直线x−3y−2=0对称B．已知A1,−2，B5,0，则PAC．2a+b的最小值为2−3D．a+2b+9a+3的最大值为10．（2024·吉林延边·一模）已知Ax1,y1A．若点O到直线AB的距离为2，则ABB．若AB=23C．若∠AOB=π2，则D．x1x11．（2024·辽宁丹东·一模）已知圆C:(x−2)2+(y−1)2=9，直线l:kx−y+1=0与C交于A,B两点，点M为