重难点28 圆锥曲线中的切线与切点弦问题（举一反三）（新高考专用）（学生版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

重难点28圆锥曲线中的切线与切点弦问题【六大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1求圆锥曲线的切线方程】 2【题型2圆锥曲线的切点弦问题】 3【题型3切点弦过定点问题】 3【题型4与切点弦有关的面积问题】 5【题型5与切点弦有关的定值问题】 6【题型6与切点弦有关的最值（范围）问题】 71、圆锥曲线中的切线与切点弦问题圆锥曲线是高考的重点、热点内容，从近几年的高考情况来看，切线与切点弦问题的考查频率变高，考查形式多种多样，以选择题或填空题的形式考查时，主要考查切线方程与切点弦方程，难度不大；以解答题的形式考查时，主要考查切点弦问题和以切线为载体的面积、最值、定值等问题，难度较大；复习时要加强此类问题的训练，灵活求解.【知识点1圆锥曲线中的切线与切点弦】1．圆锥曲线的切线和切点弦(1)切线方程：过圆锥曲线Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0(A、C不全为0)上的点M(x0,y0)的切线的方程为.(2)切点弦方程：当M(x0,y0)在曲线外时，过M可引该二次曲线的两条切线，过这两个切点的弦所在直线的方程为：.上述两条为一般结论.特别地：①对于椭圆+=1(a>b>0)，其上有一点M(x0,y0)，则过该点作切线得到的切线方程+=1.当M在椭圆外时，过M引两条切线得到两个切点，则过这两个切点的直线方程为+=1.②更为一般地，当二次曲线有交叉项时，即圆锥曲线形式为Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0(B≠0)时，过点M(x0,y0)有对应的一条直线为；当M在原圆锥曲线上时，这条直线为过M的切线；当M在曲线外时，过M可引该二次曲线的两条切线，这条直线为过这两个切点的弦的直线.2．圆锥曲线的切线和切点弦的相关结论(1)过椭圆+=1上一点Px0,y0(2)过椭圆+=1外一点Px0,y0(3)过双曲线−=1上一点Px0,y0(4)过双曲线−=1外一点Px0,y0【题型1求圆锥曲线的切线方程】【例1】（2024·全国·模拟预测）椭圆x24+3y24=1上点P(1,1)处的切线方程是．【变式1-1】（2023·河南·模拟预测）若直线l与单位圆（圆心在原点）和曲线x24−y2【变式1-2】（24-25高三上·湖南·开学考试）已知椭圆M:y2a2+(1)求M的离心率；(2)若直线l:y=x+m与M有且仅有一个交点，求l的一般式方程.【变式1-3】（2024高三·全国·专题练习）在直角坐标系xoy中，曲线C：y=x24与直线y=kx+a,a>0交与(1)当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由.【题型2圆锥曲线的切点弦问题】【例2】（2024·福建福州·模拟预测）过M2,−2p引抛物线x2=2pyp>0的切线，切点分别为A，B.若AB的斜率等于2，则A．14 B．12 C．1【变式2-1】（2024·贵州贵阳·模拟预测）设抛物线C：y2=6x的焦点为F，过F的直线交C于A，B两点，分别以A，B为切点作C的切线l1，l2，若l1与l2交于点P，且满足A．5 B．6 C．7 D．8【变式2-2】（2024高三·全国·专题练习）已知P1,1是双曲线外一点，过P引双曲线x2−y22=1【变式2-3】（24-25高三上·河南·开学考试）已知椭圆C:x2a2+(1)求椭圆C的标准方程；(2)设点Tm,n在椭圆C上（点T不在坐标轴上），证明：直线mx2+ny=1(3)设点P在直线x=−1上（点P在椭圆C外），过点P作椭圆C的两条切线，切点分别为A,B,O为坐标原点，若△PAB和△OAB的面积之和为1，求直线AB的方程.【题型3切点弦过定点问题】【例3】（2024·湖南·三模）已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F，过F且斜率为2的直线与E交于A，B(1)求E的方程；(2)直线l:x=−4，过l上一点P作E的两条切线PM,PN，切点分别为M，N.求证：直线MN过定点，并求出该定点坐标.【变式3-1】（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆C:x2a2+y2(1)求椭圆C的方程；(2)若点Q为直线x+y−2=0上的任意一点，过点Q作椭圆C的两条切线QD、QE（切点分别为D、E），试证明动直线DE恒过一定点，并求出该定点的坐标．【变式3-2】（2024高三·全国·专题练习）已知抛物线C:x2=2py的焦点与椭圆C':x24+(1)求抛物线C的方程．(2)证明直线MN过定点，并且求出定点坐标．【变式3-3】（23-24高二下·内蒙古通辽·期中）已知椭圆E：x2a2+y(1)求椭圆E的标准方程；(2)已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0在其上一点Qx0,y0①证明：直线AB过定点；②求△ABM面积的最大值.【题型4与切点弦有关的面积问题】【例4】（2024·江西新余·一模）过点P(2，－1)作抛物线x2=4y的两条切线，切点分别为A，B，PA，PB分别交x轴于E，F两点，O为坐标原点，则△PEF与△OAB的面积之比为（A．32 B．33 C．12 【变式4-1】（2024·湖北·模拟预测）抛物线Γ:x2=2y上有四点A，B，C，D，直线AC，BD交于点P，且PC=λPA，PD=λPB0<λ<1．过A,B分别作ΓA．32 B．23 C．33【变式4-2】（2024·全国·模拟预测）已知椭圆C1：y2a2+x2b2=1a>b>0与抛物线C2(1)求椭圆C1与抛物线C(2)椭圆C1上一点P在x轴下方，过点P作抛物线C2的切线，切点分别为A,B，求【变式4-3】（2024·贵州黔东南·二模）已知抛物线E:y2=2x的焦点为F，A，B，C(1)若FA+FB+(2)过A，B两点分别作E的切线l1，l2，l1与l2相交于点D，过A，B两点分别作l1，l2的垂线l3，l（i）若AB=4，求△ABD（ii）若直线AB过点1,0，求点M的轨迹方程.【题型5与切点弦有关的定值问题】【例5】（2024·河北·三模）已知椭圆C：x2a2+y(1)求椭圆C的方程．(2)设圆O：x2+y2=a2+b2，过圆O上一动点P作椭圆C的两条切线，切点分别为【变式5-1】（23-24高三上·浙江·期中）已知双曲线E：y2a2−x2b2=1（a>0，b>0）过点Q3,2，且离心率为2，F2，F1为双曲线E的上、下焦点，双曲线E在点Q处的切线(1)求△F(2)点P为圆F2上一动点，过P能作双曲线E的两条切线，设切点分别为M，N，记直线MF1和NF1的斜率分别为k【变式5-2】（2024·四川成都·模拟预测）已知抛物线E:x2=2py(p>1)的焦点为F，过点P1,−1作抛物线(1)求抛物线E的方程；(2)过点P作两条倾斜角互补的直线l1,l2，直线l1交抛物线E于A,B两点，直线l2交抛物线E于C,D两点，连接AD,BC,AC,BD，设【变式5-3】（2024高三·全国·专题练习）已知圆C:x2+y2=r2有以下性质：①过圆C上一点Mx0,y0的圆的切线方程是x0x+y0y=r2．②若Mx0,y0为圆C外一点，过M作圆C的两条切线，切点分别为A,B(1)类比上述有关结论，猜想过椭圆C′:x(2)过椭圆C′:x2a2+(3)若过椭圆C′:x2a2+y2b2=1(a>b>0)外一点【题型6与切点弦有关的最值（范围）问题】【例6】（2024·浙江·模拟预测）记椭圆C：x2+2y2=1的左右焦点为F1，F2，过F2的直线l交椭圆于A，B，A，B处的切线交于点P，设A．2 B．3 C．5 D．6【变式6-1】（23-24高二下·福建泉州·期末）已知抛物线Γ：y=14x2的焦点为F，过F的直线l交Γ于点A,B，分别在点A,B处作Γ的两条切线，两条切线交于点PA．0,1 B．0,12 C．0,1【变式6-2】（2024·四川遂宁·模拟预测）已知过点(0,2)的直线l与抛物线C:x2=2py(p>0)交于A,B两点，抛物线在点A处的切线为l1，在B点处的切线为l2，直线l1与直线l2交于点M(1)求抛物线C的方程；(2)设线段AB的中点为N，求|AB||MN|【变式6-3】（2024·浙江杭州·模拟预测）已知动圆M与圆C1：x+12+y2=49和圆C2(1)求Γ的方程；(2)已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0，则曲线上一点x0,y0处的切线方程为：Ax0x+Bx0y+y0x+Cy（ⅰ）证明：A1（ⅱ）点A1关于x轴的对称点为A′1，直线A′1A2交x轴于点N，直线PC2交曲线Γ于G，H两点.记△G一、单选题1．（23-24高二下·江西鹰潭·期末）抛物线y2=9x在点1,3处的切线的斜率为（A．－1 B．−32 C．32．（23-24高二上·湖北武汉·期中）过点4,33作直线，使它与双曲线x24A．1条 B．2条 C．3条 D．4条3．（2024·上海·模拟预测）已知直线l与椭圆Γ，点F1,F2分别为椭圆Γ:x22+y2=1的左右焦点，直线F1M⊥l，A．充分非必要 B．必要非充分C．充分必要 D．既非充分又非必要4．（23-24高二上·江西吉安·期末）已知过圆锥曲线x2m+y2n=1上一点Pxo,yo的切线方程为x0A．x−y−3=0 B．x+y−2=0C．2x+3y−3=0 D．3x−y−10=05．（23-24高二下·河南驻马店·阶段练习）已知抛物线C:x2=2pyp>0的焦点为F，过点P3,−2作C的两条切线，切点为A，B，且Q为C上一动点，若QFA．75 B．1252 C．752 6．（2024·河北·模拟预测）过椭圆C：x24+y23=1上的点Ax1,y1，A．−32 B．−94 7．（2024·山东·模拟预测）已知抛物线C：x2=4y，过直线l：x+2y=4上的动点P可作C的两条切线，记切点为A,B，则直线AB（A．斜率为2 B．斜率为±2 C．恒过点0,−2 D．恒过点−1,−28．（2024·全国·模拟预测）抛物线E:y2=x的焦点为F，P为其准线上任意一点，过点P作E的两条切线，切点为A，B（点A与PA．1 B．2 C．3 D．1二、多选题9．（23-24高二上·山西吕梁·期中）已知双曲线E过点−2,32且与双曲线x24−y29=1共渐近线，直线l与双曲线E交于A，B两点，分别过点A，A．双曲线E的标准方程是xB．若AB的中点为1,4，则直线l的方程为9x−16y+55=0C．若点A的坐标为x1,y1D．若点P在直线3x−4y+6=0上运动，则直线l恒过点3,610．（23-24高三上·山西运城·期末）已知抛物线x2=2pyp>0的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A、B两点，与其准线交于点D，F为AD的中点，且AF=6，点M是抛物线上BA间不同于其顶点的任意一点，抛物线的准线与y轴交于点N，抛物线在A、B两点处的切线交于点A．抛物线焦点F的坐标为0,3B．过点N作抛物线的切线，则切点坐标为±C．在△FMN中，若MN=tMF，t∈R，则tD．TF11．（2024·浙江金华·模拟预测）已知椭圆x22+y2=1,O为原点，过第一象限内椭圆外一点Px0,y0作椭圆的两条切线，切点分别为AA．k3⋅k4为定值C．x0−y0的最大值为2三、填空题12．（2024高二·全国·专题练习）过点P(3,3)作双曲线C：x2−y2=1的两条切线，切点分别为A,B13．（2024·全国·模拟预测）设P为圆O：x2+y2=5上任意一点，过点P作椭圆x23+y22=1的两条切线，切点分别为A，B，点O，P到直线14．（2024·广东茂名·模拟预测）已知抛物线C：x2=4y，定点T1,0，M为直线y=12x−1上一点，过M作抛物线C的两条切线MA，MB，A，B是切点，则四、解答题15．（2024高三·全国·专题练习）（1）求双曲线x2−y（2）已知P1,1是双曲线外一点，过P引双曲线x2−y22=1的两条切线PA,PB16．（24-25高三上·贵州遵义·阶段练习）已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F，且F(1)求p；(2)已知点P(−1,−2)，PA，PB是抛物线C的两条切线，A，B是切点，求AB．17．（2024·安徽·二模）已知点P在椭圆C：x24+y22=1的外部，过点P(1)①若点A坐标为x1,y1，求证：直线PA的方程为x1x4+y(2)若点P