专题1.3 不等关系与不等式性质（举一反三）（新高考专用）（学生版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

专题1.3不等关系与不等式性质【六大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1不等式性质的应用】 2【题型2比较数（式）的大小】 3【题型3证明不等式】 3【题型4利用不等式的性质求目标式的取值范围】 4【题型5不等式的综合问题】 5【题型6糖水不等式】 61、不等关系与不等式性质考点要求真题统计考情分析(1)等式性质

(2)比较两个数的大小

(3)理解不等式的性质，并能简单应用2022年Ⅱ卷：第12题，5分高考对不等式的性质的考查比较稳定，一般以选择题、填空题为主，主要考查不等式的求解；单独考查的题目虽然不多，但不等式的相关知识往往可以渗透到高考的各个知识领域，作为解题工具与函数、向量、解析几何、数列等知识相结合，在知识的交汇处命题，是进行不等式变形、证明以及解不等式的依据，是高考考查的一个重点内容.【知识点1等式性质与不等式性质】1．等式的基本性质性质1如果a＝b，那么b＝a；性质2如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性质3如果a＝b，那么a±c＝b±c；性质4如果a＝b，那么ac＝bc；性质5如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).2．不等式的性质(1)如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a.(2)如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c.(3)如果a>b，那么a＋c>b＋c.(4)如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.(6)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.(7)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．3．比较大小的基本方法关系方法作差法与0比较作商法与1比较或或【方法技巧与总结】1．应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率.2．比较数（式）的大小常用的方法有作差法、作商法.、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性，需要灵活运用方法求解.【题型1不等式性质的应用】【例1】（2024·上海杨浦·二模）已知实数a，b，c，d满足：a>b>0>c>d，则下列不等式一定正确的是（

）A．a+d>b+c B．ad>bc C．a+c>b+d D．ac>bd【变式1-1】（2024·全国·模拟预测）“x<0<y”是“x−y2>xA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式1-2】（2023·上海杨浦·一模）已知实数a，b满足a>b，则下列不等式恒成立的是（

）A．a2>b2 B．a3>【变式1-3】（2023·贵州遵义·模拟预测）已知a,b,x均为实数，下列不等式恒成立的是（

）A．若a<b，则aB．若a<b，则2024C．若ax2024D．若a<b，则a【题型2比较数（式）的大小】【例2】（2023·湖南·模拟预测）已知正实数x，y满足x<y，设a=xex+y，b=yey+x，c=yex+x（其中e为自然对数：eA．a<c<b B．c<a<b C．c<b<a D．b<c<a【变式2-1】（2023·江西·模拟预测）已知log5a>logA．a<b C．5a−b>1 【变式2-2】（2023·北京东城·一模）已知x<−1，那么在下列不等式中，不成立的是A．x2−1>0 B．x+1x<−2 【变式2-3】（2024·福建泉州·模拟预测）若c>b>a>0，则（

）A．abbcC．a−ca>b−【题型3证明不等式】【例3】（2024高三·全国·专题练习）已知a,b为正实数．求证：a2【变式3-1】（22-23高一上·全国·课后作业）证明下列不等式：(1)已知a>b，e>f(2)已知a>b>0,c<d<0，求证：3a【变式3-2】（2023高三·全国·专题练习）证明命题：“若在△ABC中a、b、c分别为角A、B、C所对的边长，则c1+c【变式3-3】（22-23高二下·湖北省直辖县级单位·期末）若a>b>0，c<d<0,|b|>|c|（1）求证：b+c>0；（2）求证：b+c(a−c)（3）在（2）中的不等式中，能否找到一个代数式，满足b+c(a−c)2<【题型4利用不等式的性质求目标式的取值范围】【例4】（2023·江苏南通·模拟预测）已知a−b∈0,1,a+b∈2,4，则4a−2bA．1,5 B．2,7 C．1,6 D．0,9【变式4-1】（23-24高一上·山东菏泽·阶段练习）已知−1≤x+y≤1，1≤x−y≤3，则3x−2y的取值范围是（

）A．2≤3x−2y≤8 B．3≤3x−2y≤8 C．2≤3x−2y≤7 D．5≤3x−2y≤10【变式4-2】（23-24高三上·湖北·阶段练习）已知a<b<c且a+2b+4c=0，则ba的取值范围是（

）A．−∞,−16 B．−16【变式4-3】（2023·广西南宁·模拟预测）已知函数fx=x2+bx+c，0<x1A．−2,−1 B．−2,1 C．−1,1 D．−1,2【题型5不等式的综合问题】【例5】（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）解决下列问题：(1)已知m,n∈R，设a=m2+1n2+4(2)已知a>b>0，c<d<0，e>0，求证：ea−c【变式5-1】（2023高一·上海·专题练习）给定无理数θ∈(0,1)．若正整数a,b,c,d满足ab(1)试比较三数a+cb+d，ab，(2)若bc−ad＝①θ−ab≥15【变式5-2】（23-24高一上·河北保定·阶段练习）（1）当p，q都为正数且p+q=1时，试比较代数式px+qy2与p（2）已知1≤x−y≤2,3≤2x+y≤4，求4x−y的取值范围.【变式5-3】（23-24高一上·上海普陀·期中）设t是不小于1的实数.若对任意a,b∈−1,t，总存在c,d∈−1,t，使得a+cb+d(1)分别判断t>2和1≤t<3(2)先证明:若u,v≥12，且u+v≥52，则uv≥1;并由此证明当32(3)求出所有满足“性质1”的实数t【题型6糖水不等式】【例6】（22-23高一上·贵州六盘水·期末）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.如糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水.如果a克糖水中含有b克糖（a>b>0），再添加n克糖（n>0）（假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为不等式正确的是（

）A．b+na+n>bC．b+na+n≥b【变式6-1】（23-24高一上·广东揭阳·阶段练习）已知bg糖水中含有ag糖（b>a>0），若再添加A．ab<a+mC．a+2mb+m<a+m【变式6-2】（22-23高一上·广东东莞·阶段练习）（1）已知b克糖水中含有a克糖b>a>0，再添加m（2）东东和华华拿着钱去超市买糖，超市里面提供两种糖：A种糖每千克p1元，B种糖每千克p2元（两种糖价格不相等）.东东买了相同质量的两种糖，华华买了相同价钱的两种糖.请问两人买到糖的平均价格分别是多少？谁买的糖的平均价格比较高？请证明你的结论.（物品的平均价格=物品的总价钱【变式6-3】（22-23高一上·江苏苏州·阶段练习）已知bg糖水中有ag糖（b>a>0），往糖水中加入mg(1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式.(2)利用（1）的结论证明命题：“若在△ABC中a、b、c分别为角A、B、C所对的边长，则c1+c一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）已知x>y，则下列不等式正确的是（

）A．1−x<1−y B．x2>y2 C．2．（2024·北京丰台·二模）若a,b∈R，且a>b，则（

）A．1a2+1C．a2>ab>b3．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知1<a<3,3<b<6，则b2a的取值范围为（

A．32,1 B．2,6 C．1,6 4．（2024·江西·模拟预测）已知a，b，c∈R，则下列选项中是“a<b”的一个充分不必要条件的是（

）A．ca>cC．a3<b5．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知a,b,c为实数，则下列命题成立的是（

）A．若a<b，则ac<bcB．若a<b，则a−c>b−cC．若ac>bD．若a>b，则26．（2023·全国·模拟预测）已知实数a,b．设甲：1a>1b，乙：A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件7．（2023·广东·二模）若a=3+1A．a>c>b B．a>b>cC．c>b>a D．b>c>a8．（2023·陕西·模拟预测）已知−1<a<5,−3<b<1，则以下错误的是（

）A．−15<ab<5 B．−4<a+b<6C．−2<a−b<8 D．−二、多选题9．（2024·福建龙岩·一模）下列命题正确的是（

）A．若a<b<0，则aB．若a<b<0，则aC．若0<a<b<c，则cD．若0<a<b，则2a+10．（2023·河南洛阳·模拟预测）设实数a,b满足1≤ab≤4,4≤ab≤9A．2≤a≤6 B．1≤b≤3 C．11．（2024·广西·二模）已知实数a，b，c满足a>b>c，且a+b+c=0，则下列结论中正确的是（

）A．a+b>0 B．ac>bcC．1a−b>1三、填空题12．（2023·北京房山·一模）能够说明“设a,b,c是任意实数，若a<b<c，则ac<bc”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为.13．（2024·河北石家庄·二模）若实数x,y,z≥0，且x+y+z=4,2x−y+z=5，则M=4x+3y+5z的取值范围是.14．（2024·河南·模拟预测）以maxM表示数集M中最大的数．设0<a<b<c<1，已知b≥2a或a+b≤1，则maxb−a,c−b,1−c的最小值为四、解答题15．（2024高一·全国·专题练习）已知-3<a<2，-4<b<-3，试求2a+3b与a-b的取值范围.16．（23-24高一·全国·专题练习）试比较下列组式子的大小：(1)x+1−x与x−(2)M=a1+a+b1+b与N=(3)a2−b2a17．（2024·全国·模拟预测）已知a，b，c为三角形的三边．(1)求证：a2(2)若c≥b≥a，求证：3a18．（23-24高三上·安徽亳州·期中）已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0)，再添加m克糖(m>0)（假设全部溶解），糖水变甜了.(1)请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立；(2)在锐角△ABC中，根据（1）中的结论，证明：AB+C19．（2023·吉林长春·模拟预测）港珠澳大