专题1.5 二次函数与一元二次方程、不等式（举一反三）（新高考专用）（学生版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

专题1.5二次函数与一元二次方程、不等式【八大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1不含参一元二次不等式的解法】 3【题型2含参一元二次不等式的解法】 3【题型3由一元二次不等式的解确定参数】 4【题型4其他不等式的解法】 4【题型5一元二次不等式根的分布问题】 5【题型6二次函数的单调性、最值问题】 6【题型7一元二次不等式恒成立问题】 6【题型8一元二次不等式有解问题】 71、二次函数与一元二次方程、不等式考点要求真题统计考情分析(1)会从实际情景中抽象出一元二次不等式

(2)掌握三个“二次”的关系，会解一元二次不等式

(3)了解分式、高次、绝对值不等式的解法2020年I卷：第1题，5分2023年新高考I卷：第1题，5分一元二次不等式是高考数学的重要内容.从近几年高考情况来看，三个“二次”

的关系是必考内容，单独考查的频率很低，偶尔作为已知条件的一部分出现在其他考点的题目中；此外，“含参不等式恒成立与能成立问题”也是常考的热点内容，这类问题把不等式、函数、三角、几何等知识有机地结合起来，其以覆盖知识点多、综合性强、解法灵活等特点备受高考命题者的青睐.【知识点1一元二次不等式】1．一元二次不等式的解法(1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤：①通过对不等式变形，使二次项系数大于零；②计算对应方程的判别式；③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．(2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤：①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论；②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．2．分式、高次、绝对值不等式的解法(1)解分式不等式的一般步骤：①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．(2)解高次不等式的一般步骤：高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集.(3)解绝对值不等式的一般步骤：对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解.3．一元二次不等式恒成立、存在性问题不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝b2－4ac<0；))一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝b2－4ac≤0；))一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ≤0.))【方法技巧与总结】1．已知关于的一元二次不等式的解集为R，则一定满足；2．已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；3．已知关于的一元二次不等式的解集为R，则一定满足；4．已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足．【题型1不含参一元二次不等式的解法】【例1】（2023·广东珠海·模拟预测）不等式x2+x−6<0的解集是（

）A．−6,1 B．−1,6 C．−2,3 D．−3,2【变式1-1】（2024·天津·一模）设x∈R，则“x<0”是“x2−x>0”的（A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【变式1-2】（2023·湖南岳阳·模拟预测）不等式x2−1<3x+1A．x∣x<4 B．x∣−4<x<1C．x∣−1<x<4 D．x∣x<−1或x>4【变式1-3】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知命题p：集合A=xx2+x−2>0，命题q：集合B=xx2A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要【题型2含参一元二次不等式的解法】【例2】（23-24高一上·海南海口·期中）若0<m<1，则不等式x−mx−1mA．x1m<x<m B．xx>1m【变式2-1】（23-24高一上·山东·阶段练习）不等式ax2−A．x1a≤x≤1C．xx≤1a或x≥1 D．【变式2-2】（23-24高一上·河南开封·期中）关于x的不等式ax2−A．∅ B．xx>1 C．x1<x<1【变式2-3】（23-24高一上·浙江台州·期中）不等式ax2+bx+c>0的解集为xA．a+b+c<0B．9a+3b+c>0C．不等式cx2D．不等式cx2+bx+a>0的解集为【题型3由一元二次不等式的解确定参数】【例3】（23-24高一下·云南·阶段练习）若关于x的不等式x2−m+1x+m<0的解集中恰有三个整数，则实数A．−3,−2∪4,5 B．−2,−1∪4,5 C．【变式3-1】（2024·广东·一模）已知a,b,c∈R且a≠0，则“ax2+bx+c>0的解集为xx≠1”是“A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【变式3-2】（23-24高三上·云南德宏·期末）已知关于x的不等式x2−ax+b≤0的解集为x2≤x≤3，则关于x的不等式xA．x2<x<3 B．C．x2<x<5 D．【变式3-3】（23-24高一上·黑龙江大庆·期末）关于x的不等式x2−ax−6a<0的解集是{x|m<x<n}，且n−m≤5，则实数a的取值范围（

A．−25,−24 B．0C．−25,−24∪0，【题型4其他不等式的解法】【例4】（23-24高一上·湖南长沙·期末）解下列不等式：(1)2xx−1(2)2x−3+【变式4-1】（23-24高一上·江苏扬州·期中）求下列不等式的解集(1)3x−1x+1(2)2x−3(3)x+2【变式4-2】（22-23高一上·上海徐汇·阶段练习）解下列不等式：(1)5−xx(2)(x−1)(x+2)【变式4-3】（2023高一·上海·专题练习）解下列关于x的不等式．(1)x+4x+5(2)x2【题型5一元二次不等式根的分布问题】【例5】（2024高三·全国·专题练习）关于x的方程ax2+a+2x+9a=0有两个不相等的实数根x1,A．−27<a<C．a<−27 【变式5-1】（23-24高三上·四川·阶段练习）若关于x的方程x2−2ax+a+2=0在区间−2,1上有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（A．−65,−1C．−∞,−6【变式5-2】（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知实数a<b，关于x的不等式x2−a+bx+ab+1<0的解集为x1,x2，则实数a、A．a<x1<C．a<x1<b<【变式5-3】（23-24高三·全国·阶段练习）方程x2+(m−2)x+5−m=0的一根在区间(2,3)内，另一根在区间(3,4)内，则m的取值范围是（A．(−5,−4) B．−133,−2 C．−【题型6二次函数的单调性、最值问题】【例6】（23-24高一上·江苏南京·期末）若函数fx=x2−mx+3在区间−A．−∞,2 B．2,+∞ C．−【变式6-1】（23-24高一上·湖北武汉·期中）已知函数f(x)=2x2−kx−8A．k≤-8 B．k≥4 C．k≤-8或k≥4 D．-8≤k≤4【变式6-2】（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）若函数y=x2−2x−3的定义域为[−1,t]，值域为[−4,0]则实数tA．1≤t≤3 B．1<t<3C．−1<t<3 D．−1<t≤3【变式6-3】（2024高三·全国·专题练习）已知函数fx=x2+ax+ba,b∈R的最小值为0，若关于x的不等式fA．9 B．8 C．6 D．4【题型7一元二次不等式恒成立问题】【例7】（2023·福建厦门·二模）不等式ax2−2x+1>0A．a>2 B．a≥1 C．a>1 D．0<a<【变式7-1】（2023·江西九江·模拟预测）无论x取何值时，不等式x2−2kx+4>0恒成立，则k的取值范围是（A．−∞,−2 B．−∞,−4 C．【变式7-2】（2023·辽宁鞍山·二模）若对任意的x∈(0,+∞),x2−mx+1>0A．(−2,2) B．(2,+∞) C．(−∞【变式7-3】（23-24高一上·贵州铜仁·期末）当x∈−1,1时，不等式2kx2−kx−3A．−3,0 B．−3,0 C．−3,18 【题型8一元二次不等式有解问题】【例8】（2023·福建宁德·模拟预测）命题“∃x∈[1,2],x2≤aA．a≥1 B．a≥4C．a≥−2 D．a≤4【变式8-1】（2023高三·全国·专题练习）若关于x的不等式x2+mx−4>0在区间2,4上有解，则实数m的取值范围为（A．−3,+∞ B．0,+∞ C．−∞【变式8-2】（2023·河南·模拟预测）已知命题“∃x0∈−1,1，−xA．−∞,−2 B．−∞,4 C．【变式8-3】（23-24高一上·福建·期中）若至少存在一个x<0，使得关于x的不等式3−3x−a>x2+2xA．−374,3 B．−3,134 一、单选题1．（2023·山东泰安·模拟预测）“c∈−23,23”是“A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2023·湖南岳阳·模拟预测）不等式x−1x−2023≥0的解集为（A．{x∣x≥2023或x≥1} B．{x∣x≤1或x≥2023}C．x∣1≤x≤2023 D．{x∣x<1或x>2023}3．（2024·浙江·模拟预测）若不等式kx2+k−6x+2>0A．2≤k≤18 B．−18<k<−2C．2<k<18 D．0<k<24．（2024·甘肃张掖·模拟预测）不等式x2−3x<2−2xA．−1,12 B．−12,15．（2023·山东·模拟预测）若不等式2x2+bx+c<0的解集是(0,4)，函数f(x)=2A．x=2 B．x=4 C．x=52 6．（23-24高一上·四川成都·期中）一元二次不等式ax2+bx+c>0的解为x−2<x<3，那么A．xx>3或x<−2C．x−2<x<3 D．7．（2023·辽宁鞍山·二模）已知当x>0时，不等式：x2−mx+16>0恒成立，则实数m的取值范围是（A．−8,8 B．−∞,8 C．−∞8．（2023·河南·模拟预测）某同学解关于x的不等式ax2+bx+c<0(a≠0)时，因弄错了常数c的符号，解得其解集为(−∞,−3)∪(−2,+A．−1,−15 C．15,1 二、多选题9．（2024·广东深圳·模拟预测）下列说法正确的是（

）A．不等式4x2B．不等式2x2C．若不等式ax2+8ax+21<0恒成立，则D．若关于x的不等式2x2+px−3<0的解集是q,1，则10．（2023·江苏连云港·模拟预测）若对于任意实数x，不等式a−1x2−2a−1x−4<0A．−2 B．0 C．−4 D．111．（23-24高二上·山东威海·期末）已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为−A．a<0B．不等式bx+c>0的解集是x|x<−6C．a+b+c>0D．不等式cx2三、填空题12．（2023·江西鹰潭·模拟预测）若命题p：“∃x∈R，k2−1x2+413．（2023·河南·模拟预测）已知函数y=kx−k与曲线y=x2−1x14．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）若关于x的不等式0≤ax2+bx+c≤2a>0的解集为x−1≤x≤3四、解答题15．（23-24高一下·四川成都·开学考试）已知函数fx(1)若关于x的不等式fx≥0的解集为R，求实数(2)解关于x的不等式fx16．