专题2.2 函数的性质：单调性、奇偶性、对称性与周期性（举一反三）（新高考专用）（学生版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

专题2.2函数的性质：单调性、奇偶性、对称性与周期性【十二大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1函数单调性的判断及单调区间的求解】 ③函数类型的一切函数．④常数函数.【知识点3函数的周期性与对称性的常用结论】1．函数的周期性常用结论(a是不为0的常数)(1)若f(x+a)=f(x)，则T=a；(2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a；(3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a；(4)若f(x+a)=，则T=2a；(5)若f(x+a)=，则T=2a；(6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b);2．对称性的三个常用结论(1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称.(2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称.(3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称.3．函数的的对称性与周期性的关系(1)若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；(2)若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；(3)若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且.【题型1函数单调性的判断及单调区间的求解】【例1】（2023·海南海口·模拟预测）函数f(x)=x2−4|x|+3的单调递减区间是（

）A．(−∞,−2) B．(−C．(−2,2) D．(−2,0)和(2,+【变式1-1】（2024·广东·一模）设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论一定正确的是()A．y=1f(x)在R上为减函数 B．y=|f(x)|在C．y=−1f(x)在R上为增函数 D．y=−f(x)在【变式1-2】（2024·江西·二模）已知函数fx=x2−2,x≥0,x+3,x<0,若A．18,+∞C．12,+∞【变式1-3】（2024·江苏苏州·模拟预测）已知定义在区间(−m,m)(m>0)上，值域为R的函数f(x)满足：①当0<x<m时，f(x)>0；②对于定义域内任意的实数a、b均满足：f(a+b)=f(a)+f(b)1−f(a)f(b)．则（A．f(0)=1B．∀C．函数f(x)在区间(0,m)上单调递减D．函数f(x)在区间(−m,m)上单调递增【题型2根据函数的单调性求参数】【例2】（2024·广东揭阳·二模）已知函数fx=−x2+ax+1在2,6A．2,6 B．−C．4,12 D．−【变式2-1】（2023·天津河北·一模）设a∈R，则“a>−2”是“函数fx=2x2+4ax+1A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式2-2】（2023·陕西商洛·一模）已知函数f(x)=−x2+2ax,x≤1(3−a)x+2,x>1是定义在RA．1,3 B．1,2 C．2,3 D．0,3【变式2-3】（2023·北京丰台·一模）已知函数fx的定义域为R，存在常数tt>0，使得对任意x∈R，都有f(x+t)=f(x)，当x∈0,t时，f(x)=x−t2．若fxA．3 B．83 C．2 D．【题型3利用函数的单调性求最值】【例3】（2024·江西上饶·一模）.函数f(x)＝－x＋1x在[−2,−13A．32 B．－83 C．－2【变式3-1】（2024·安徽淮北·二模）当实数t变化时，函数fx=xA．2 B．4 C．6 D．8【变式3-2】（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数f(x)=x+4ax+b,x∈[b,+∞)，其中b>0,a∈R，记M为f(x)的最小值，则当M=2时，aA．a>13 B．a<13 C．【变式3-3】（2024·北京顺义·二模）已知函数f(x)={1−|x+1|,x<0x2−2x,x≥0，若实数m∈[−2,0]，则|f(x)−f(−1)|在区间A．[1,4] B．[2,4] C．[1,3] D．[1,2]【题型4函数的奇偶性的判断与证明】【例4】（2024·全国·模拟预测）已知函数fx的定义域为R，fxfA．f0=0 C．fx+1为偶函数 D．f【变式4-1】（2024·重庆·三模）设函数fx=2−xA．fx−2+1 C．fx+2+2 【变式4-2】（2024·河北·模拟预测）已知定义在−∞,0∪0,+∞上的函数fA．fx是奇函数且在0,+B．fx是奇函数且在−C．fx是偶函数且在0,+D．fx是偶函数且在−【变式4-3】（2024·河南新乡·二模）已知函数fx满足fx+y+1=fA．fx+1是奇函数 B．C．fx−1是奇函数 D．【题型5根据函数的奇偶性求参数】【例5】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数fx=a−12xA．12 B．−12 C．1【变式5-1】（2024·甘肃兰州·三模）若函数fx=x+1x+axA．1 B．−1 C．2 D．−2【变式5-2】（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知fx=x3+2A．−2 B．2 C．1 D．−1【变式5-3】（2024·辽宁·一模）已知函数y=fx是定义在R上的奇函数，且当x<0时，fx=x2+aA．−3 B．3 C．13 D．【题型6已知函数的奇偶性求解析式、求值】【例6】（2024·山西吕梁·一模）已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=2x+x−1，则当x<0时，f(x)=A．2−x−x−1 C．−2−x−x−1【变式6-1】（2024·全国·模拟预测）若函数fx=fx+2,x≥0ℎxA．−1 B．0 C．1 D．2【变式6-2】（2024·青海西宁·二模）若fx是定义在R上的奇函数，且fx+1是偶函数，当0<x≤1时，fx=ex−1，则当A．f(x)=−e1−x C．f(x)=−ex−3 【变式6-3】（2024·海南·三模）已知函数fx为奇函数，gx为偶函数，且fx−gxA．e2+1e B．e2−1e【题型7函数的对称性与周期性】【例7】（2024·湖南长沙·二模）已知定义在R上的函数fx是奇函数，对任意x∈R都有fx+1=f1−x，当f−3A．2 B．−2 C．0 D．−4【变式7-1】（2024·贵州毕节·三模）已知函数f(x)的图象在x轴上方，对∀x∈R，都有f(x+2)⋅f(x)=2f(1)，若y=f(x−1)的图象关于直线x=1对称，且f(0)=1，则f(2023)+f(2024)+f(2025)=（

A．3 B．4 C．5 D．6【变式7-2】（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知定义在R上的函数fx满足f2+x−f2−x=4x．若f2x−3的图象关于点2,1对称，且A．0 B．50 C．2509 D．2499【变式7-3】（2024·四川南充·三模）已知函数fx、gx的定义域均为R，函数f(2x−1)+1的图象关于原点对称，函数g(x+1)的图象关于y轴对称，f(x+2)+g(x+1)=−1,f(−4)=0，则f(2030)−g(2017)=A．−4 B．−3 C．3 D．4【题型8类周期函数】【例8】（23-24高一上·江西吉安·期末）设函数fx的定义域为R，且fx+4=2fx，当x∈0,4时，fx=2x2A．−∞,−7 B．−∞,−5 C．【变式8-1】（23-24高一上·浙江台州·期中）设函数fx的定义域为R，满足fx=2fx−2，且当x∈0,2时，fx=x2−x．若对任意A．−∞,5C．−∞,9【变式8-2】（2024·云南昆明·二模）定义“函数y=fx是D上的a级类周期函数”如下:函数y=fx,x∈D，对于给定的非零常数a，总存在非零常数T，使得定义域D内的任意实数x都有afx=fx+T恒成立，此时T为fx的周期.若y=fx是1,+∞上的a级类周期函数，且T=1，当x∈1,2A．56,+∞ B．2,+∞ C．【变式8-3】（23-24高一上·福建福州·期末）定义域为R的函数f(x)满足f(x+1)=2f(x)，当x∈[0,2)时，f(x)={x2−x,x∈[0,1]log2(x+1),x∈(1,2)，若x∈[−2,0)时，对任意的t∈[1,2]都有f(x)≥tA．(−∞,3) B．[3,+∞) C．(−∞,3] D．(3,+∞)【题型9利用函数的性质比较大小】【例9】（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）已知定义在R上的函数fx满足f1+x=f1−x，且∀x1,x2>1，x1A．b>c>a B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b【变式9-1】（23-24高一上·陕西西安·期中）已知函数fx是偶函数，当0≤x1<x2时，fx2−fx1x2−xA．a<b<c B．c<b<a C．b<c<a D．b<a<c【变式9-2】（22-23高一上·四川成都·期中）已知函数y=fx在0,4上单调递增，且y=fx+4是偶函数，则（A．f2<f3C．f2<f7【变式9-3】（2023·黑龙江大庆·模拟预测）已知a=ln1.1，b=111，A．a>b>c B．a>c>b C．c>b>a D．c>a>b【题型10利用函数的性质解不等式】【例10】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数fx的定义域为R，对任意实数x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)−1，当x>0时，f(x)>1，且f(2)=5，则关于x的不等式f(x)+f(4−3x)<6的解集为（

A．1,+∞ B．2,+∞ C．−∞，【变式10-1】（2023·河南洛阳·一模）已知函数f(x)=−3x+3,x<0−xA．−12,+∞ B．2,+∞ 【变式10-2】（2023·陕西宝鸡·模拟预测）若函数fx是定义在R上的偶函数，在−∞,0上是减函数，且f3=0，则使得fA．−∞,−3 C．−3,3 D．−【变式10-3】（2023·河南·模拟预测）若定义在−∞,0∪0,+∞上的函数fx同时满足：①fx为奇函数；②对任意的x1,x2∈0,+∞，且x1A．−∞,−1 C．−∞,−3∪【题型11抽象函数的单调性、奇偶性、周期性】【例11】（2024·山西·一模）已知函数fx的定义域为R，值域为0,+∞，且对任意m，n∈R，都有fm+n=f(1)求f0的值，并证明φ(2)若x>0，fx>1，且f3=4，证明fx【变式11-1】（23-24高一上·北京·期中）设函数fx的定义域是0,+∞，且对任意正实数x，y都有fxy=fx+fy(1)求f1(2)判断y=fx在区间0,+(3)解不等式f2x【变式11-2】（2024·江西·模拟预测）已知函数f(x)满足对一切x1,x2∈R都有fx1（1）求f(−1)的值；（2）判断并证明函数f(x)在R上的单调性；（3）解不等式：fx【变式11-3】（2024·江西·模拟预测）已知函数p(x)，q(x)的定义域均为R，且满足：①∀x>0，p(x)>0；②q(x)为偶函数，q(x)≥q(0)=1；③∀x，y∈R，p(x+y)=p(x)q(y)+q(x)p(y).(1)求p(0)的值，并证明：p(x)为奇函数；(2)∀x1,①p(x②p(x)单调递增.【题型12函数性质的综合应用】【例12】（2023·黑龙江佳木斯·模拟预测）已知fx=ax2(1)求fx(2)设函数gx=x2−2mx+4m∈R【变式12-1】（23-24高二下·黑龙江鹤岗·期末）已知函数fx=ax+b1+x2(1)确定函数fx(2)用定义证明fx在−1,1(3)解不等式fx−1【变式12-2】（2024·四川遂宁·模拟预测）已知函数fx=ax+bx2(1)求函数fx(2)判断函数fx在−1,1(3)解关于t的不等式：ft+【变式12-3】（2024·上海黄浦·一模）已知实数a,b是常数，函数f(x)=(1+x（1）求函数f(x)的定义域，判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）若a=−3,b=1，设t=1+x+1−x，记t的取值组成的集合为D，则函数f(x)的值域与函数g(t)=（i）求集合D；（ii）研究函数g(t)=12(t3一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）若函数f(x)=4|x−a|+3在区间[1,+∞)上不单调，则a的取值范围是（A．[1,+∞) C．(−∞,1) 2．（2023·全国·三模）已知函数fx=bx−b+3x3在−1,1上的最小值为−3A．−∞,−4 B．9,+∞ C．−4,93．（2024·湖北武汉·二模）已知函数fx=xx，则关于x的不等式fA．13,+∞ B．−∞,14．（2023·陕西西安·一模）已知fx是R上的奇函数，且fx+2=−fx，当x∈0,1时，fA．3 B．−3 C．255 D．−2555．（2023·广东深圳·模拟预测）已知函数fx的定义域为R，若对∀x∈R都有f3+x=f1−x，且fx在A．f4<f1C．f1<f26．（2023·安徽亳州·模拟预测）已知函数fx是定义在R上的偶函数，函数gx是定义在R上的奇函数，且fx，gA．ff2>fC．gg2>g7．（2023·广东·一模）已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=ax+1，若f(−2)=5，则不等式f(x)>12的解集为（A．−∞,−1C．−∞,−18．（2023·全国·模拟预测）已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，f(3x+1)为奇函数，g(x+2)为偶函数，f(x+1)+g(1−x)=2，f(0)=−12，则k=1102A．−51 B．52 C．4152 二、多选题9．（2023·河南·模拟预测）已知函数f(x)在R上单调递增，函数g(x)在(−∞,0)上单调递增，在[0,+∞A．函数f(f(x))在R上单调递增B．函数f(g(x))在(−∞C．函数g(−g(x))在(−∞D．函数g(−f(x))在[0,+∞10．（2024·全国·模拟预测）定义在0,+∞上的函数fx满足下列条件：（1）fxy=yfx−xfA．fB．当0<x<1时，fC．fD．fx在1,+11．（2024·贵州贵阳·二模）定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=g(x)−g(−x)+3=f(3−x)，对∀x1,x2∈(1,2]，A．(2025