2024-2025学年高中数学第一章解三角形1.2第2课时测量高度角度问题课时跟踪训练含解析新人教A版必修5

PAGE测量高度、角度问题[A组学业达标]1．某次测量中，甲在乙的北偏东55°，则乙在甲的()A．北偏西35° B．北偏东55°C．南偏西35° D．南偏西55°答案：D2．如图，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知CD＝100米，点C位于BD上，则山高AB等于()A．100米 B．50eq\r(3)米C．50eq\r(2)米 D．50(eq\r(3)＋1)米解析：设AB＝xm，则由题意，∠D＝30°，∠ACB＝45°，在Rt△ABC中，BC＝AB＝x，在Rt△ADB中，DB＝CD＋BC＝100＋x，所以DB＝eq\r(3)AB，即100＋x＝eq\r(3)x，解得x＝50(eq\r(3)＋1)m.所以山AB的高度为50(eq\r(3)＋1)米．答案：D3.如图，有一建筑物OP，为了测量它的高度，在地面上选一长度为40m的基线AB，若在点A处测得P点的仰角为30°，在B点处的仰角为45°，且∠AOB＝30°，则建筑物的高度为()A．20m B．20eq\r(2)mC．20eq\r(3)m D．40m解析：设高OP＝h，则OA＝htan60°＝eq\r(3)h，OB＝htan45°＝h.在△AOB中，由余弦定理得402＝(eq\r(3)h)2＋h2－2·eq\r(3)h·h·cos30°，解得h＝40.故选D.答案：D4．在静水中划船的速度是每分钟40m，水流的速度是每分钟20m，假如船从岸边A处动身，沿着与水流垂直的航线到达对岸，那么船前进的方向指向河流的上游并与河岸垂直的方向所成的角为()A.eq\f(π,4) B．eq\f(π,3)C.eq\f(π,6) D.eq\f(5,12)π解析：设水流速度与船速的合速度为v，方向指向对岸．则由题意知，sinα＝eq\f(v水,v船)＝eq\f(20,40)＝eq\f(1,2)，又α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴α＝eq\f(π,6).答案：C5.在地面上点D处测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D点20m，则建筑物的高度为()A．20m B．30mC．40m D．60m解析：如图，设O为建筑物顶端在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB＝30°，OB＝20m，∴OD＝20eq\r(3)m．在Rt△AOD中，OA＝OD·tan60°＝60m，∴AB＝OA－OB＝40m，故选C.答案：C6．某人向正东方向走xkm后向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离动身点恰好eq\r(3)km，那么x的值为________．解析：如图所示，在△ABC中，AB＝x，BC＝3，AC＝eq\r(3)，∠ABC＝30°.由余弦定理得(eq\r(3))2＝32＋x2－2×3·x·cos30°，即x2－3eq\r(3)x＋6＝0，解得x1＝eq\r(3)，x2＝2eq\r(3)，检验均符合题意．答案：eq\r(3)或2eq\r(3)7．如图，小明同学在山顶A处观测到，一辆汽车在一条水平的马路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得马路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100m，汽车从C点到B点历时14s，则这辆汽车的速度为________m/s(精确到0.1，参考数据：eq\r(2)≈1.414，eq\r(5)≈2.236)．解析：由题意，AB＝200m，AC＝100eq\r(2)m，由余弦定理可得BC＝eq\r(40000＋20000－2×200×100\r(2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2))))＝100eq\r(10)m这辆汽车的速度为100eq\r(10)÷14≈22.6m/s.答案：22.68.如图，在山脚A测得山顶P的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡走am到B，又测得山顶P的仰角为γ，则山高为________m.解析：在△PAB中，∠BAP＝α－β，∠APB＝γ－α，∠ABP＝180°－∠BAP－∠APB＝180°－(γ－β)，AB＝a，由正弦定理可得PA＝eq\f(asin∠ABP,sin∠APB)＝eq\f(asinγ－β,sinγ－α).在Rt△PAQ中，PQ＝PA·sinα＝eq\f(asinαsinγ－β,sinγ－α).答案：eq\f(asinαsinγ－β,sinγ－α)9．在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在地面上前进600m后测得仰角为2θ，接着在地面上前进200eq\r(3)m以后测得山峰的仰角为4θ，求该山峰的高度．解析：如图所示，△BED，△BDC为等腰三角形，BD＝ED＝600，BC＝DC＝200eq\r(3).在△BCD中，由余弦定理可得cos2θ＝eq\f(6002＋200\r(3)2－200\r(3)2,2×600×200\r(3))＝eq\f(\r(3),2)，所以2θ＝30°，4θ＝60°.在Rt△ABC中，AB＝BC·sin4θ＝200eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝300(m)．即山峰高度为300m.10.如图，A，C两岛之间有一片暗礁，一艘小船于某日上午8时从A岛动身，以10海里/小时的速度沿北偏东75°方向直线航行，下午1时到达B处，然后以同样的速度沿北偏东15°方向直线航行，下午4时到达C岛．(1)求A，C两岛之间的距离；(2)求∠BAC的正弦值．解析：(1)在△ABC中，由已知，得AB＝10×5＝50(海里)，BC＝10×3＝30(海里)，∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°，由余弦定理得AC2＝502＋302－2×50×30cos120°＝4900，所以AC＝70(海里)．故A，C两岛之间的距离为70海里．(2)在△ABC中，由正弦定理，得eq\f(BC,sin∠BAC)＝eq\f(AC,sin∠ABC)，所以sin∠BAC＝eq\f(BC·sin∠ABC,AC)＝eq\f(30sin120°,70)＝eq\f(3\r(3),14)，故∠BAC的正弦值是eq\f(3\r(3),14).[B组实力提升]11．一个大型喷水池的中心有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A处测得水柱顶端的仰角为45°，从点A沿北偏东30°方向前进100m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是()A．50m B．100mC．120m D．150m解析：设水柱高度是h，水柱底端为C，则在△ABC中，∠BAC＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝eq\r(3)h，依据余弦定理得，(eq\r(3)h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos60°，即h2＋50h－5000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，解得h＝50(负值舍去)，故水柱的高度是50m.答案：A12.如图，为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D的仰角为30°，塔底C与A的连线同河岸成15°角，小王向前走了1200m到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成60°角，则电视塔CD的高度为()A．600eq\r(2)m B．600eq\r(3)mC．200eq\r(2)m D．200eq\r(3)m解析：在△ACM中，∠MCA＝60°－15°＝45°，∠AMC＝180°－60°＝120°，由正弦定理得eq\f(AM,sin∠MCA)＝eq\f(AC,sin∠AMC)，即eq\f(1200,\f(\r(2),2))＝eq\f(AC,\f(\r(3),2))，解得AC＝600eq\r(6).在△ACD中，∵tan∠DAC＝eq\f(CD,AC)＝eq\f(\r(3),3)，∴CD＝ACtan∠DAC＝600eq\r(6)×eq\f(\r(3),3)＝600eq\r(2)，故选A.答案：A13.如图所示，位于某岛的雷达观测站A，发觉其北偏东45°，与观测站A距离20eq\r(2)nmile的B处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏北θ(0°＜θ＜45°)的C处，且cosθ＝eq\f(4,5).已知A，C两处的距离为10nmile，则该货船的航速为______nmile/h.解析：因为cosθ＝eq\f(4,5)，0°＜θ＜45°，所以sinθ＝eq\f(3,5)，所以cos(45°－θ)＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(4,5)＋eq\f(\r(2),2)×eq\f(3,5)＝eq\f(7\r(2),10).在△ABC中，BC2＝800＋100－2×20eq\r(2)×10×eq\f(7\r(2),10)＝340，所以BC＝2eq\r(85).故该货船的航速为4eq\r(85)nmile/h.答案：4eq\r(85)14．我舰在岛A南偏西50°相距12nmile的B处发觉敌舰正从岛A沿北偏西10°的方向以10nmile/h的速度航行，若我舰要用2h追上敌舰，则速度为_____nmile/h.解析：如图所示，设我舰在C处追上敌舰，速度为vnmile/h，则在△ABC中，AC＝10×2＝20(nmile)，AB＝12nmile，∠BAC＝120°，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos120°＝784，所以BC＝28nmile，则速度v＝eq\f(28,2)＝14(nmile/h)．答案：1415.如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝60m，求建筑物的高度．解析：设建筑物的高度为h，由题图知，PA＝2h，PB＝eq\r(2)h，PC＝eq\f(2\r(3),3)h，∴在△PBA和△PBC中，分别由余弦定理，得cos∠PBA＝eq\f(602＋2h2－4h2,2×60×\r(2)h)，①cos∠PBC＝eq\f(602＋2h2－\f(4,3)h2,2×60×\r(2)h).②∵∠PBA＋∠PBC＝180°，∴cos∠PBA＋cos∠PBC＝0.③由①②③，解得h＝30eq\r(6)或h＝－30eq\r(6)(舍去)，即建筑物的高度为30eq\r(6)m.16.如图，在海岸A处发觉北偏东45°方向，距A处(eq\r(3)－1)海里的B处有一艘走私船．在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10eq\r(3)海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度，从B处向北偏东30°方向逃跑．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．解析：设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则CD＝10eq\r(3)t，BD＝10t，在△ABC中，由余弦定理，有BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA＝(eq\r(3)－1)2＋22－2(eq\r(3)－1)·2·cos120°＝6.∴BC＝eq\r(6).又∵eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AC,sin∠ABC)，∴sin∠ABC＝eq\f(AC·sin∠CAB,BC)＝eq\f(2·sin120°,\r(6))＝eq\f(\r(2),2)，又0°＜∠ABC＜60°，∴∠ABC＝45°，∴B点在C点的正东方向上，∴∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理得eq\f(B