2024-2025学年新教材高中数学第八章立体几何初步8.6空间直线平面的垂直8.6.3第1课时平面与平面垂直的判定教学用书教案新人教A版必修第二册

PAGE8.6.3平面与平面垂直第1课时平面与平面垂直的判定素养目标·定方向素养目标学法指导1．通过直观感知，归纳出平面与平面的判定定理.(直观想象)2．会用平面与平面的判定定理证明平面与平面垂直.(逻辑推理)1．平面与平面垂直是平面与平面相交的特别状况，对这种特别关系的相识，既可以从二面角的平面角为直角的角度探讨，又可以从已有的线面垂直关系动身进行推理论证.2．面面垂直源自线线垂直，这种转化为“低维”垂直的思想方法在解题时特别重要，一方面从条件入手，分析已有的垂直关系，另一方面从结论入手，分析所要证明的垂直关系，从而找到解决问题的途径.必备学问·探新知学问点1二面角的概念定义从一条直线动身的__两个半平面__所组成的图形相关概念①这条直线叫做二面角的__棱__；②这两个半平面叫做二面角的__面__画法记法二面角__α－l－β__或__α－AB－β__或__P－l－Q__或P－AB－Q二面角的平面角在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作__垂直于__棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的__∠AOB__叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角.二面角的平面角α的取值范围是__0°≤α≤180°__学问点2面面垂直的定义定义一般地，两个平面相交，假如它们所成的二面角是__直二面角__，就说这两个平面相互垂直.平面α与β垂直，记作：__α⊥β__画法画两个相互垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成__垂直__[学问解读]1．二面角与平面几何中的角的对比平面几何中的角二面角图形定义从平面内一点动身的两条射线组成的图形从一条直线动身的两个半平面组成的图形表示法由射线—点(顶点)—射线构成，即为∠AOB由半平面—线(棱)—半平面构成，记为二面角α－l－β意义定量的反映两条直线的位置关系定量的反映两个平面的位置关系2．剖析平面与平面垂直(1)两个平面垂直是两个平面相交的特别状况.例如正方体中随意相邻两个面都是相互垂直的.(2)两个平面垂直和两条直线相互垂直的共同点：都是通过所成的角是直角定义的.3．详解平面与平面垂直的判定定理(1)本质：通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂直⇒面面垂直.(2)证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题来解决.关键实力·攻重难题型探究题型一二面角及其平面角的概念的理解典例1下列命题中：①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点动身，分别在两个面内作射线所成的角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.其中正确的是(B)A．①③ B．②④C．③④ D．①②[解析]由二面角的定义：从一条直线动身的两个半平面所组成的图形叫做二面角，所以①不对，实质上它共有四个二面角；由a，b分别垂直于两个面，则a，b都垂直于二面角的棱，故②正确；③中所作的射线不肯定垂直于二面角的棱，故③不对；由定义知④正确.故选B．[归纳提升]1．要留意区分二面角与两相交平面所成的角并不一样.2．要留意二面角的平面角与顶点在棱上且角两边分别在二面角面内的角的联系与区分.3．可利用实物模型，作图帮助推断.【对点练习】❶若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角(D)A．相等 B．互补C．相等或互补 D．关系无法确定[解析]如图所示，平面EFDG⊥平面ABC，当平面HDG绕DG转动时，平面HDG始终与平面BCD垂直，所以两个二面角的大小关系不确定，因为二面角H－DG－F的大小不确定.题型二求二面角的大小典例2四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.(1)求二面角A－PD－C的平面角的度数；(2)求二面角B－PA－D的平面角的度数；(3)求二面角B－PA－C的平面角的度数；(4)求二面角B－PC－D的平面角的度数.[分析]求二面角的平面角的大小，先找二面角的平面角，然后在三角形中求解.[解析](1)因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD.因为四边形ABCD为正方形，所以CD⊥AD.又PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD.又CD⊂平面PCD，所以平面PAD⊥平面PCD.所以二面角A－PD－C的平面角的度数为90°.(2)因为PA⊥平面ABCD，所以AB⊥PA，AD⊥PA.所以∠BAD为二面角B－PA－D的平面角.又由题意知∠BAD＝90°，所以二面角B－PA－D的平面角的度数为90°.(3)因为PA⊥平面ABCD，所以AB⊥PA，AC⊥PA.所以∠BAC为二面角B－PA－C的平面角.又四边形ABCD为正方形，所以∠BAC＝45°.所以二面角B－PA－C的平面角的度数为45°.(4)作BE⊥PC于E，连接DE、BD，且BD与AC交于点O，连接EO，如图.由题意知△PBC≌△PDC，则∠BPE＝∠DPE，从而△PBE≌△PDE.所以∠DEP＝∠BEP＝90°，且BE＝DE.所以∠BED为二面角B－PC－D的平面角.又PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC.又AB⊥BC，PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB.所以BC⊥PB.设AB＝a，则PA＝AB＝BC＝a，所以PB＝eq\r(2)a，PC＝eq\r(3)a，所以BE＝eq\f(PB·BC,PC)＝eq\f(\r(6),3)a，BD＝eq\r(2)a.所以sin∠BEO＝eq\f(BO,BE)＝eq\f(\f(\r(2),2)a,\f(\r(6),3)a)＝eq\f(\r(3),2).因为∠BEO∈(0°，90°)，所以∠BEO＝60°.所以∠BED＝120°.所以二面角B－PC－D的平面角的度数为120°.[归纳提升]1．求二面角大小的步骤：简称为“一作二证三求”.作平面角时，肯定要留意顶点的选择.2．作二面角的平面角的方法：方法一：(定义法)在二面角的棱上找一个特别点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图所示，∠AOB为二面角α－a－β的平面角.方法二：(垂线法)过二面的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角.如图所示，∠AFE为二面角A－BC－D的平面角.方法三：(垂面法)过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角.如图所示，∠AOB为二面角α－l－β的平面角.【对点练习】❷如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求二面角B－A1C1－B[解析]取A1C1的中点O，连接B1O、BO.由题意知B1O⊥A1C1，又BA1＝BC1，O为A1所以BO⊥A1C1所以∠BOB1即是二面角B－A1C1－B1因为BB1⊥平面A1B1C1D1，OB1⊂平面A1B1C1D1，所以BB1⊥设正方体的棱长为a，则OB1＝eq\f(\r(2),2)a，在Rt△BB1O中，tan∠BOB1＝eq\f(BB1,OB1)＝eq\f(a,\f(\r(2),2)a)＝eq\r(2)，所以二面角B－A1C1－B1的正切值为eq\r(2).题型三平面与平面垂直的证明典例3如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝eq\r(2)a，(1)求证：平面PAD⊥平面ABCD.(2)求证：平面PAC⊥平面PBD.[分析](1)依据已知的线段长度，证明PD⊥DC，PD⊥AD，即可得到PD⊥平面ABCD，然后利用面面垂直的判定定理证得结论.(2)依据(1)问得到PD⊥平面ABCD，从而有PD⊥AC，然后结合底面ABCD为正方形得到AC⊥BD，从而找出平面PDB的垂线AC，最终利用判定定理证得结论.[证明](1)因为PD＝a，DC＝a，PC＝eq\r(2)a，所以PC2＝PD2＋DC2，所以PD⊥DC.同理可证PD⊥AD，又AD∩DC＝D，所以PD⊥平面ABC.因为PD⊂平面PAD，所以平面PAD⊥平面ABCD.(2)由(1)知PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AC，而四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，又BD∩PD＝D，所以AC⊥平面PDB.同时，AC⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面PBD.[归纳提升]证明平面与平面垂直的方法：(1)定义法：依据面面垂直的定义判定两平面垂直实质上是把问题转化为求二面角的平面角为直角.(2)判定定理：判定定理是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直就要转化为证线面垂直，其关键是在其中一个平面内找寻一条直线与另一个平面垂直.(3)利用“两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面”.【对点练习】❸(1)如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小.(2)如图，在四面体ABCD中，BD＝eq\r(2)a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a.求证：平面ABD⊥平面BCD.[解析](1)由已知PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，∴AC⊥BC.又∵PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC.又PC⊂平面PAC∴PC⊥BC.又∵BC是二面角P－BC－A的棱，∴∠PCA是二面角P－BC－A的平面角.由PA＝AC知△PAC是等腰直角三角形，∴∠PCA＝45°，即二面角P－BC－A的大小是45°.(2)证明：取BD的中点E，连接AE，CE.因为△ABD与△BCD是全等的等腰三角形，所以AE⊥BD，CE⊥BD，即∠AEC为二面角A－BD－C的平面角，在△ABD中，AB＝a，BE＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(\r(2),2)a，所以AE＝eq\r(AB2－BE2)＝eq\f(\r(2),2)a，同理，CE＝eq\f(\r(2),2)a.在△AEC中，AE＝CE＝eq\f(\r(2),2)a，AC＝a，故AC2＝AE2＋CE2，所以AE⊥CE，即∠AEC＝90°，所以二面角A－BD－C的平面角为90°，所以平面ABD⊥平面BCD.易错警示推断面面位置关系时主观臆断典例4如图所示，已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，试问截面ACB1与对角面BB1D1D垂直吗？试说明理由.[错解]由题意可知，D1B1与AB1不垂直，D1B1与B1C不垂直，所以D1B1与平面ACB1不垂直，故平面BB1D1D与平面ACB1[错因分析]推断两个平面垂直，只需说明其中一个平面经过另一个平面的垂线即可，推断线面、面面位置关系时，必需给出严格的推理过程，不能只凭图形直观妄加推断，要全面理解垂直关系的实质.[正解]因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，因为BB1⊥底面ABCD，AC⊂底面ABCD，所以AC⊥BB1，又BD∩BB1＝B，所以AC⊥平面BB1D1D，又AC⊂截面ACB1，所以截面ACB1⊥平面BB1D1D.【对点练