2024-2025学年新教材高中数学第4章指数与对数4.2.2对数的运算性质课后素养落实含解析苏教版必修第一册

课后素养落实(十七)对数的运算性质(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知a2＝eq\f(16,81)(a>0)，则eqlog\s\do5(\f(2,3))a＝()A．eq\f(4,9) B．eq\f(4,3)C．eq\f(8,27) D．2D[由a2＝eq\f(16,81)(a>0)，得a＝eq\f(4,9)，所以eqlog\s\do5(\f(2,3))eq\f(4,9)＝eqlog\s\do5(\f(2,3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＝2.]2．已知4a＝3，b＝log23，则4a－A．3 B．1C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,3)D[∵4a＝3，∴a＝log4∴a－b＝log43－log23＝eq\f(1,2)log23－log23＝－eq\f(1,2)log23＝log4eq\f(1,3)，∴4a－b＝4＝eq\f(1,3).]3．已知log23＝a，log38＝b，则ab＝()A．4 B．3C．2 D．1B[∵log23＝a，log38＝b，则ab＝eq\f(lg3,lg2)·eq\f(lg8,lg3)＝eq\f(lg8,lg2)＝log28＝3.]4．设7a＝8b＝k，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，则k＝()A．15 B．56C．eq\f(1,15) D．eq\f(1,56)B[∵7a＝k，∴a＝log7k.∵8b＝k，∴b＝log8k∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝logk7＋logk8＝logk56＝1，∴k＝56.]5．已知ab>0，有下列四个等式：①lg(ab)＝lga＋lgb；②lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))＝lga－lgb；③eq\f(1,2)lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))2＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))；④lg(ab)＝eq\f(1,logab10)，其中正确的是()A．① B．②C．③ D．④C[当a<0，b<0时，①lg(ab)＝lga＋lgb不成立；②lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))＝lga－lgb不成立；③由ab>0可得，eq\f(a,b)>0，eq\f(1,2)lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))2＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))成立；④依据对数的换底公式可得当ab＝1时，lg(ab)＝eq\f(1,logab10)不成立．]二、填空题6．若lg2＝a，lg3＝b，则log512用a，b表示为________．eq\f(b＋2a,1－a)[log512＝eq\f(lg12,lg5)＝eq\f(lg3＋2lg2,1－lg2)＝eq\f(b＋2a,1－a).]7.eq\f(lg3＋2lg2－1,lg1.2)＝________.1[eq\f(lg3＋2lg2－1,lg1.2)＝eq\f(lg3＋lg22－1,lg1.2)＝eq\f(lg12－1,lg1.2)＝eq\f(lg\f(12,10),lg1.2)＝eq\f(lg1.2,lg1.2)＝＝1.]8．里氏震级M的计算公式为：M＝lgA－lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．610000[由M＝lgA－lgA0知，M＝lg1000－lg0.001＝6，所以此次地震的级数为6级．设9级地震的最大振幅为A1,5级地震的最大振幅为A2，则lgeq\f(A1,A2)＝lgA1－lgA2＝(lgA1－lgA0)－(lgA2－lgA0)＝9－5＝4.所以eq\f(A1,A2)＝104＝10000.所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10000倍．]三、解答题9．计算：(1)eq\f(lg\r(27)＋lg8－lg\r(1000),lg1.2)；(2)(lg5)2＋lg2·lg50.[解](1)原式＝eq\f(\f(3,2)lg3＋3lg2－\f(3,2),lg3＋2lg2－1)＝eq\f(3lg3＋6lg2－3,2lg3＋2lg2－1)＝eq\f(3,2).(2)原式＝(lg5)2＋lg2·(lg2＋2lg5)＝(lg5)2＋2lg5·lg2＋(lg2)2＝(lg5＋lg2)2＝1.10．(1)已知10a＝2,10b＝3，求1002a(2)设a＝lg2，b＝lg7，用a，b表示lgeq\f(8,7)，lgeq\f(50,49).[解](1)∵10a∴lg2＝a.又∵10b＝3，∴lg3＝b，∴1002a－b＝100(2lg2－lg3)＝100＝10＝10＝eq\f(16,9).(2)lgeq\f(8,7)＝lg23－lg7＝3lg2－lg7＝3a－b.lgeq\f(50,49)＝lg(2×52)－lg(72)＝lg2＋2lg5－2lg7＝lg2＋2(1－lg2)－2lg7＝2－a－2b.1．(多选题)若a>0，b>0，给出下列四个等式，其中错误的是()A．lg(a＋b)＝lga＋lgb B．lga2＝2lgaC．eq\f(1,2)lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))2＝lgeq\f(a,b) D．lg(ab)＝eq\f(1,logab10)AD[∵a>0，b>0，∴lga＋lgb＝lg(ab)，故A中等式不成立．∵a>0，b>0，∴a2>0，eq\f(a,b)>0，∴lga2＝2lga，eq\f(1,2)lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))2＝lgeq\f(a,b)，故B、C中等式成立．当ab＝1时，lg(ab)＝0，但logab10无意义，∴D中等式不成立．]2．依据有关资料，围棋状态空间困难度的上限M约为3361，而可观测宇宙中一般物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与eq\f(M,N)最接近的是(参考数据：lg3≈0.48)()A．1033 B．1053C．1073 D．1093D[由已知得，lgeq\f(M,N)＝lgM－lgN≈361×lg3－80×lg10≈361×0.48－80＝93.28＝lg1093.28.故与eq\f(M,N)最接近的是1093.]3．设a表示eq\f(1,3－\r(5))的小数部分，则log2a(2a＋1)的值是________．－1[eq\f(1,3－\r(5))＝eq\f(3＋\r(5),4)，可得a＝eq\f(3＋\r(5),4)－1＝eq\f(\r(5)－1,4).则log2a(2a＋1)＝logeq\f(\r(5)－1,2)eq\f(\r(5)＋1,2)＝logeq\f(\r(5)－1,2)eq\f(2,\r(5)－1)＝－1.]4．若a＝log147，b＝log145，则log3528＝________(用含a、b的式子表示)；若eq\f(lg2,lg5)＝c，则eq\f(1,3lg2＋2lg5)＝________(用含c的式子表示)．eq\f(2－a,a＋b)eq\f(c＋1,3c＋2)[∵a＝log147，∴log142＝log14eq\f(14,7)＝1－log147＝1－a，∴log3528＝eq\f(log1428,log1435)＝eq\f(log144×7,log145×7)＝eq\f(2log142＋log147,log145＋log147)＝eq\f(21－a＋a,a＋b)＝eq\f(2－a,a＋b)，∵eq\f(lg2,lg5)＝c，且lg2＋lg5＝1，∴lg2＝eq\f(c,c＋1)，∴eq\f(1,3lg2＋2lg5)＝eq\f(1,lg8＋lg25)＝eq\f(1,lg200)＝eq\f(1,lg2＋2)＝eq\f(c＋1,3c＋2)，故答案为：eq\f(2－a,a＋b)，eq\f(c＋1,3c＋2).]若a，b是方程2(lgx)2－lgx4＋1＝0的两个根，求lg(ab)·(logab＋logba)的值．[解]原方程可化为2(lgx)2－4lgx＋1＝0.设t＝lgx，则方程化为2t2－4t＋1＝0，∴t1＋t2＝2，t1·t2＝eq\f(1,2).又∵a、b是方程2(lgx)2－lgx4＋1＝0的两个实根，∴t1＝lga，t2＝lgb，