2024-2025学年高中数学第二章平面向量2.2.3向量数乘运算及其几何意义课时素养评价含解析新人教A版必修4

PAGE向量数乘运算及其几何意义(20分钟35分)1.(2024·梅州高一检测)已知m,n是实数,a,b是向量,则下列结论中正确的为 ()①m(a-b)=ma-mb; ②(m-n)a=ma-na;③若ma=mb,则a=b; ④若ma=na,则m=n.A.①④ B.①② C.①③ D.③④【解析】选B.由向量数乘的运算律可知①②正确;③中,若m=0,则不能推出a=b,错误;④中,若a=0,则m,n不肯定相等,错误.2.已知四边形ABCD是菱形,点P在对角线AC上(不包括端点A,C),则= ()A.λ(+),λ∈(0,1)B.λ(+),λ∈QUOTEC.λ(-),λ∈(0,1)D.λ(-),λ∈QUOTE【解析】选A.设P是对角线AC上的一点(不含A,C),设=λ,则λ∈(0,1),于是=λ(+),λ∈(0,1).3.已知向量a,b,若=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则肯定共线的三点是 ()A.A,B,D B.A,B,CC.B,C,D D.A,C,D【解析】选A.因为+=-5a+6b+7a-2b=2a+4b=2(a+2b)=2,即=2,所以∥.又因为,有公共点B,所以A,B,D三点共线.4.在△ABC中,点D在CB的延长线上,且=4=r-s,则s+r= ()A.0 B.QUOTE C.QUOTE D.3【解析】选C.由题意得,=4,所以=QUOTE,因为=-,所以=QUOTE(-QUOTE)=QUOTE-QUOTE,所以r=s=QUOTE,所以s+r=QUOTE.【补偿练习】如图所示,向量,,的终点A,B,C在一条直线上,且=-3.设=p,=q,=r,则以下等式中成立的是 ()A.r=-QUOTEp+QUOTEq B.r=-p+2qC.r=QUOTEp-QUOTEq D.r=-q+2p【解析】选A.因为=+,=-=3,所以=QUOTE,所以=QUOTE+QUOTE=+QUOTE(-).所以r=q+QUOTE(r-p),所以r=-QUOTEp+QUOTEq.5.(2024·保定高一检测)已知e1,e2是两个不共线的向量,而a=k2e1+QUOTEe2与b=2e1+3e2是两个共线向量,则实数k=.

【解析】由题设知QUOTE=QUOTE,所以3k2+5k-2=0,解得k=-2或QUOTE.答案:-2或QUOTE6.设两个不共线的向量e1、e2,若向量a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,向量c=2e1-9e2,问是否存在这样的实数λ,μ,使向量d=λa+μb与向量c共线?【解析】因为d=λ(2e1-3e2)+μ(2e1+3e2)=(2λ+2μ)e1+(3μ-3λ)e2,要使d与c共线,则存在实数k使d=k·c,即:(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2=2ke1-9ke2.由QUOTE得λ=-2μ,故存在这样的实数λ和μ,只要λ=-2μ,就能使d与c共线.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.在四边形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,其中a,b不共线,则四边形ABCD为 ()A.梯形 B.平行四边形C.菱形 D.矩形【解析】选A.=a+2b,=-5a-3b,因为a与b不共线,所以与不共线.所以AB与CD不平行.又=++=-8a-2b,明显=2.所以AD∥BC.所以四边形ABCD为梯形.2.已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P,满意++=,则点P与△ABC的关系为 ()A.P在△ABC内部 B.P在△ABC外部C.P在AB边所在直线上 D.P是AC边的三等分点【解析】选D.因为=-,所以++=-,即2+=0,即=2,故=QUOTE,所以P是AC边的一个三等分点.3.已知a,b是不共线的向量,=λa+μb,=2a-b,=a-2b,若A,B,C三点共线,则λ,μ满意 ()A.λ=μ-3 B.λ=μ+3C.λ=μ+2 D.λ=μ-2【解析】选B.由A,B,C三点共线,得=t+(1-t)=(1+t)a+(t-2)b,因为a,b是不共线的向量,所以λ=t+1,μ=t-2,所以λ=μ+3.4.O是平面上肯定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满意=+λ,λ∈(0,+∞),则P点的轨迹所在直线肯定通过△ABC的 ()A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心【解析】选C.设BC中点为M,则=,则有=+λ,即=λ,即点A,P,M共线,所以P点的轨迹所在直线肯定通过△ABC的重心.5.已知△ABC和点M,且有++=0.若存在实数m使得+=m成立,则m= ()A.2 B.3 C.4 D.5【解析】选B.如图,在△ABC中,以BM,CM为邻边作平行四边形MBDC,依据平行四边形法则可得+=,又++=0,则=,两向量有公共点M,则A,M,D三点共线,设BC∩MD=E,结合MD是平行四边形MBDC的对角线可知,AE是△ABC的中线,同理可证BM,CM也是△ABC的中线,即M是△ABC的重心.以AB,AC为邻边作平行四边形ABFC,依据向量加法的平行四边形法则可得+==2=2×QUOTE=3,则+=3.二、填空题(每小题5分,共15分)6.若5+3=0,且||=||,则四边形ABCD的形态为.

【解析】由于5+3=0知,∥且||≠||,所以此四边形为梯形.又||=||,所以梯形ABCD为等腰梯形.答案:等腰梯形7.已知平面上不共线的四点O,A,B,C,若-3+2=0,则=.

【解析】因为-3+2=0,所以-=2(-),所以=2,所以=2.答案:28.如图,在△ABC中,延长CB到D,使BD=BC,当点E在线段AD上移动时,若=λ+μ,则t=λ-μ的最大值是.

【解析】设=k,0≤k≤1,则=k(+2)=k[+2(-)]=2k-k,因为=λ+μ,所以QUOTE所以t=λ-μ=3k.又0≤k≤1,所以当k=1时,t取最大值3.故t=λ-μ的最大值为3.答案:3三、解答题(每小题10分,共20分)9.过△ABC的重心G任作一条直线分别交AB,AC于点D,E,若=x,=y且xy≠0,试求QUOTE+QUOTE的值.【解析】如图,设=a,=b,则=QUOTE=QUOTE=QUOTE(a+b).所以=-=QUOTEa-QUOTEb.=-=xa-yb.因为与共线,所以=λ,即QUOTEa-QUOTEb=λxa-λyb,所以QUOTE消去λ得QUOTE=QUOTE,即QUOTE+QUOTE=3.10.已知O,A,M,B为平面上四点,且=λ+(1-λ)(λ∈R,λ≠0且λ≠1).(1)求证:A,B,M三点共线.(2)若点B在线段AM上,求实数λ的取值范围.【解析】(1)因为=λ+(1-λ),所以=λ+-λ,-=λ-λ,所以=λ(λ∈R,λ≠0且λ≠1).又与有公共点A,所以A,B,M三点共线.(2)由(1)知=λ,若点B在线段AM上,则与同向且||>||(如图所示).所以λ>1.1.如图所示,两射线OA与OB交于O,则下列选项中哪些向量的终点落在阴影区域内(不含边界) ()①+2; ②QUOTE+QUOTE;③QUOTE+QUOTE; ④QUOTE+QUOTE.A.①② B.①②④ C.①②③ D.③④【解析】选A.依题意,在题图中的阴影区域内任取点E,连接OE交AB于点F,则有=λ=λ[x+(1-x)]=λx+(1-x)λ,其中0<x<1,λ>1,留意到λx+(1-x)λ=λ>1;留意到1+2=3>1,QUOTE+QUOTE>QUOTE+QUOTE=1,QUOTE+QUOTE=QUOTE<1,QUOTE+QUOTE=QUOTE<1.2.如图所示,点O是梯形ABCD对角线的交点,||=4,||=6,||=2.设与同向的单位向量为a0,与同向的单位向量为b0.(1)用a0和b0表示,和.(2)若点P在梯形ABCD所在的平面上运动,且||=2,求||的最大值和最小值.【解析】(1)由题意知=6a0,=2b0,所以