2021年九年级中考数学第三轮解答题冲刺专题复习：四边形 综合练习（含答案）

2021年中考数学第三轮解答题冲刺专题复习：四边形综合练习

1、如图，^ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线

交BE的延长线于F,且AF=CD,连接CF.

(1)求证：△AEFgADEB；

(2)若AB=AC,试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论.

2、如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,D、E分别是AB、AC的中点，连接CD,

过E作EF〃DC交BC的延长线于F.

(1)证明：四边形CDEF是平行四边形；

(2)若四边形CDEF的周长是25cm,AC的长为5cm,求线段AB的长度.

3、如图，正方形ABCD的对角线交于点0,点E、F分别在AB、BC±(AE<BE),

且/E0F=90°,0E、DA的延长线交于点M,OF、AB的延长线交于点N,连接MN.

(1)求证：0M=0N.

(2)若正方形ABCD的边长为4,E为0M的中点，求MN的长.

4、如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，点F是DE的中点，AB与

AG关于AE对称，AE与AF关于AG对称.

(1)求证：4AEF是等边三角形；

(2)若AB=2,求4AFD的面积.

5、已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE±AP,DF1AP,垂足分

别是点E、F.

(1)求证:EF=AE-BE；

(2)联结BF,如课处=迈.求证：EF=EP.

BFAD

6、如图，在矩形ABCD中，AD=4,点E在边AD上，连接CE,以CE为边向右上

方作正方形CEFG,作FHJ_AD,垂足为H,连接AF.

(1)求证：FH=ED；

(2)当AE为何值时，^AEF的面积最大？

7、如图，在口ABCD中，DC>AD,四个角的平分线AE,DE,BF,CF的交点分别是

E,F,过点E,F分别作DC与AB间的垂线MM'与NN',在DC与AB上的垂足分别

是M,N与M',N',连接EF.

（1）求证：四边形EFNM是矩形；

（2）已知：AE=4,DE=3,DC=9,求EF的长.

8、如图，在矩形ABCD中，AB—2,AD=«,P是BC边上的一点，且BP=2CP.

（1）用尺规在图①中作出CD边上的中点E,连接AE、BE（保留作图痕迹，不写

作法）；

（2）如图②，在（1）的条体下，判断EB是否平分NAEC,并说明理由；

（3）如图③，在（2）的条件下，连接EP并廷长交AB的廷长线于点F,连接AP,

不添加辅助线，能否由都经过P点的两次变换与4PAE组成一个等腰三角

形？如果能，说明理由，并写出两种方法（指出对称轴、旋转中心、旋转方向和

平移距离）

9、已知：A、B两点在直线1的同一侧，线段AO,BM均是直线1的垂线段，且

BM在A0的右边，A0=2BM,将BM沿直线1向右平移，在平移过程中，始终保持

ZABP=90°不变，BP边与直线1相交于点P.

（1）当P与0重合时（如图2所示）,设点C是A0的中点，连接BC.求证:

四边形OCBM是正方形；

（2）请利用如图1所示的情形，求证：岖=变；

PBBM

（3）若A0=2&,且当M0=2P0时，请直接写出AB和PB的长.

10、如图1,点E是正方形ABCD边CD上任意一点，以DE为边作正方形DEFG,

连接BF,点M是线段BF中点，射线EM与BC交于点H,连接CM.

（1）请直接写出CM和EM的数量关系和位置关系；

（2）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转45°,此时点F恰好落在线段

CD上，如图2,其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由；

（3）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转90°,此时点E、G恰好分别落

在线段AD、CD上，如图3,其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理

由.

11、如图1,以QABCD的较短边CD为一边作菱形CDEF,使点F落在边AD上，连

接BE,交AF于点G.

（1）猜想BG与EG的数量关系，并说明理由；

（2）延长DE、BA交于点H,其他条件不变：

①如图2,若NADC=60°,求效的值；

BH

②如图3,若/ADC=a(0°<a<90°)，直接写出理•的值(用含a的三角函

BH

数表示)

12、如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG〃

CD交AF于点G,连接DG.

(1)求证：四边形EFDG是菱形；

(2)探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；

(3)若AG=6,EG=2泥，求BE的长.

13、如图1,已知矩形AOCB,AB=6cm,BC=16cm,动点P从点A出发，以3cm/s

的速度向点0运动，直到点0为止；动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度向

点B运动，与点P同时结束运动.

(1)点P到达终点0的运动时间是s,此时点Q的运动距离是cm；

(2)当运动时间为2s时，P、Q两点的距离为cm；

(3)请你计算出发多久时，点P和点Q之间的距离是10cm；

(4)如图2,以点0为坐标原点，0C所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，1cm

长为单位长度建立平面直角坐标系，连结AC,与PQ相交于点D,若双曲线y=K

X

过点D,问k的值是否会变化？若会变化，说明理由；若不会变化，请求出k的

值.

14、对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下操作：先沿CE折叠，使点B落在CD

边上(如图①)，再沿CH折叠，这时发现点E恰好与点D重合(如图②)

(1)根据以上操作和发现，求段的值；

(2)将该矩形纸片展开.

①如图③，折叠该矩形纸片，使点C与点H重合，折痕与AB相交于点P,再将

该矩形纸片展开.求证：ZHPC=90°；

②不借助工具，利用图④探索一种新的折叠方法，找出与图③中位置相同的P

点，要求只有一条折痕，且点P在折痕上，请简要说明折叠方法.(不需说明理

由)

15、如图，在矩形ABCD中，AB=2cm,ZADB=30°.P,Q两点分别从A,B同时

出发，点P沿折线AB-BC运动，在AB上的速度是2cm/s,在BC上的速度是2T

cm/s；点Q在BD上以2cm/s的速度向终点D运动，过点P作PNLAD,垂足为点

N.连接PQ,以PQ,PN为邻边作。PQMN.设运动的时间为x(s),中QMN与矩形

ABCD重叠部分的图形面积为y(cm2)

(1)当PQ_LAB时，x=；

（2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；

（3）直线AM将矩形ABCD的面积分成1：3两部分时，直接写出x的值.

16、在菱形ABCO中，乙48c=60°,点P是射线80上一动点，以AP为边向右侧

作等边△/PE,

点E的位置随点P的位置变化而变化.

（1）如图1,当点E在菱形ABCO内部或边上时，连接CE,BP与CE的数量关系

是，

CE与/£）的位置关系是；

（2）当点E在菱形4BCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证

明；若不成立，请说明理由（选择图2,图3中的一种情况予以证明或说理）.

⑶如图4,当点P在线段BO的延长线上时，连接BE,若=2遮，BE=2719,

求四边形4DPE的面积.

参考答案

2021年中考数学第三轮压轴题冲刺专题复习：四边形综合练习题

1、如图，AABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线

交BE的延长线于F,且AF=CD,连接CF.

(1)求证：△AEFgADEB；

(2)若AB=AC,试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论.

【解答】证明：（1）是AD的中点,

/.AE=DE,

•.•AF〃BC,

AZAFE=ZDBE,NEAF=NEDB,

•.•AF〃CD,AF=CD,

四边形ADCF是平行四边形,

VAAEF^ADEB,

，BE=FE,

VAE=DE,

，四边形ABDF是平行四边形,

，DF=AB,

VAB=AC,

.,.DF=AC,

，四边形ADCF是矩形.

2、如图，在RtaABC中，ZACB=90°,D、E分别是AB、AC的中点，连接CD,

过E作EF〃DC交BC的延长线于F.

(1)证明：四边形CDEF是平行四边形；

(2)若四边形CDEF的周长是25cm,AC的长为5cm,求线段AB的长度.

【解答】(1)证明：:D、E分别是AB、AC的中点，F是BC延长线上的一点,

AED^RtAABC的中位线，

；.ED〃FC.BC=2DE,

又EF〃DC,

...四边形CDEF是平行四边形；

(2)解：•.•四边形CDEF是平行四边形；

/.DC=EF,

VDC是RtAABC斜边AB上的中线，

，AB=2DC,

二四边形DCFE的周长=AB+BC,

,/四边形DCFE的周长为25cm,AC的长5cm,

，BC=25-AB,

•.•在RtAABC中，ZACB=90°,

.".AB2=BC2+AC2,即AB2=(25-AB)2+52,

解得，AB=13cm,

3、如图，正方形ABCD的对角线交于点0,点E、F分别在AB、BC±(AE<BE),

且NE0F=90°,0E、DA的延长线交于点M,OF、AB的延长线交于点N,连接MN.

(1)求证：OM=ON.

(2)若正方形ABCD的边长为4,E为0M的中点，求MN的长.

【解答】解:(1)•••四边形ABCD是正方形,

.,.OA=OB,ZDA0=45°,Z0BA=45°,

：.Z0AM=Z0BN=135°,

VZE0F=90°,ZA0B=90°,

ZAOM=ZBON,

...△OAM四△OBN(ASA),

.-.OM=ON；

(2)如图，过点0作OH_LAD于点H,

•.•正方形的边长为4,

/.0H=HA=2,

•••E为0M的中点,

贝U0M=^22+42=275,

.•.MN=«0M=2/.

4、如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，点F是DE的中点，AB与

AG关于AE对称，AE与AF关于AG对称.

(1)求证：4AEF是等边三角形；

(2)若AB=2,求4AFD的面积.

AD

【解答】解:(1)••.AB与AG关于AE对称，

AAEIBC,

•.•四边形ABCD是平行四边形，

，AD〃BC,

/.AE±AD,即NDAE=90°,

•.•点F是DE的中点，即AF是RtAADE的中线,

,-.AF=EF=DF,

VAE与AF关于AG对称,

；.AE=AF,

则AE=AF=EF,

/.△AEF是等边三角形；

(2)记AG、EF交点为H,

,/AAEF是等边三角形，且AE与AF关于AG对称,

.*.ZEAG=30o,AG_LEF,

TAB与AG关于AE对称,

.,.ZBAE=ZGAE=30°,ZAEB=90°,

VAB=2,

；.BE=1、DF=AF=AE=V3-

则EH=LAE=2SS、AH=a,

222

SAADF=­XX—=.

224

5、已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE±AP,DF±AP,垂足分

别是点E、F.

(1)求证:EF=AE-BE；

(2)联结BF,如课空=更.求证：EF=EP.

BFAD

【解答】证明：(1)•四边形ABCD为正方形,

/.AB=AD,ZBAD=90°,

VBE1AP,DF1AP,

.,.ZBEA=ZAFD=90°,

VZ1+Z2=9O°,Z2+Z3=90°,

：.Z1=Z3,

在AABE和ZXDAF中

"ZBEA=ZAFD

<Z1=Z2，

,AB=DA

/.△ABE^ADAF,

，BE=AF,

.\EF=AE-AF=AE-BE；

(2)如图，•.•更=更，

BFAD

而AF=BE,

•BE=DF

*,BFAD，

•BE=BF

,，DFAD)

ARtABEF^RtADFA,

/.Z4=Z3,

而N1=N3,

/.Z4=Z1,

VZ5=Z1,

.".Z4=Z5,

即BE平分NFBP,

而BE±EP,

，EF=EP.

6、如图，在矩形ABCD中，AD=4,点E在边AD上，连接CE,以CE为边向右上

方作正方形CEFG,作FH_LAD,垂足为H,连接AF.

（1）求证:FH=ED；

（2）当AE为何值时，AAEF的面积最大？

【解答】解：（1）证明:

•.•四边形CEFG是正方形,

/.CE=EF,

VZFEC=ZFEH+ZCED=90°,ZDCE+ZCED=90°,

ZFEH=ZDCE,

在△FEH和AECD中

rEF=CE

<NFEH=NDCE，

NFHE=ND

.,.△FEH^AECD,

.•.FH=ED；

(2)设AE=a,则ED=FH=4-a,

••.SwLAE・FH」a(4-a),

22

=-1(a-2)2+2,

2

当AE=2时，△AEF的面积最大.

7、如图，在口ABCD中，DOAD,四个角的平分线AE,DE,BF,CF的交点分别是

E,F,过点E,F分别作DC与AB间的垂线MM'与NN',在DC与AB上的垂足分别

是M,N与M',N',连接EF.

(1)求证：四边形EFNM是矩形；

(2)已知:AE=4,DE=3,DC=9,求EF的长.

【解答】解：(1)证明：过点E、F分别作AD、BC的垂线，垂足分别是G、H.

VZ3=Z4,Z1=Z2,EG±AD,EM±CD,EM'±AB

/.EG=ME,EG=EM/

.\EG=ME=ME,=1MMZ

2

同理可证：FH=NF=N'F=LNN'

2

•.，CD〃AB,MM'1CD,NN'±CD,

...MM'=NN'

；.ME=NF=EG=FH

又'.'MM'〃NN',MM'±CD

...四边形EFNM是矩形.

(2)..•DC〃AB,

/.ZCDA+ZDAB=180°,

Z3^CDA*Z2=1ZDAB

/.Z3+Z2=90°

在RtaDEA,VAE=4,DE=3,

：四边形ABCD是平行四边形，

/.ZDAB=ZDCB,

又•.•/2=LNDAB,Z5=1ZDCB,

22

，Z2=Z5

由⑴知GE=NF

在RtAGEA和RtACNF中

，Z2=Z5

<ZEGA=ZFNC=90°

GE=NF

.,.△GEA^ACNF

/.AG=CN

在RtADME和RtADGE中

VDE=DE,ME=EG

.,.△DME^ADGE

.\DG=DM

/.DM+CN=DG+AG=AB=5

.\MN=CD-DM-CN=9-5=4.

•.•四边形EFNM是矩形.

；.EF=MN=4

8、如图，在矩形ABCD中，AB—2,AD=F，P是BC边上的一点，且BP=2CP.

(1)用尺规在图①中作出CD边上的中点E,连接AE、BE(保留作图痕迹，不写

作法)；

(2)如图②，在(1)的条体下，判断EB是否平分NAEC,并说明理由；

（3）如图③，在（2）的条件下，连接EP并廷长交AB的廷长线于点F,连接AP,

不添加辅助线，4PFB能否由都经过P点的两次变换与4PAE组成一个等腰三角

形？如果能，说明理由，并写出两种方法（指出对称轴、旋转中心、旋转方向和

平移距离）

【解答】解：（1）依题意作出图形如图①所示,

(2)EB是平分NAEC,理由：

•.•四边形ABCD是矩形，

.,.ZC=ZD=90°,CD=AB=2,BC=AD=«,

•.•点E是CD的中点，

.,.DE=CE=1CD=1,

2

'AD=BC

在4ADE和4BCE中，«ZC=ZD=90°,

DE=CE

.•.△ADE^ABCE,

ZAED=ZBEC,

在RtZiADE中，AD=V3，DE=1,

/.tanZAED=—=A/3，

DE

AZAED=60°,

AZBCE=ZAED=60°,

ZAEB=180°-ZAED-ZBEC=60°=NBEC,

，BE平分NAEC；

(3)VBP=2CP,BC=“,

.•.CP=返，BP」立,

33

在RSCEP中，tanNCEP=里逅，

CE3

ZCEP=30°,

/.ZBEP=30o,

/.ZAEP=90°,

•.•CD〃AB,

/.ZF=ZCEP=30°,

在RSABP中，tan/BAP®=返，

AB3

/.ZPAB=30°,

/.ZEAP=30o=NF=NPAB,

VCB1AF,

.\AP=FP,

.".△AEP^AFBP,

.••△PFB能由都经过P点的两次变换与APAE组成一个等腰三角形，

变换的方法为：将4BPF绕点B顺时针旋转120°和4EPA重合，①沿PF折叠,

②沿AE折叠.

9、已知：A、B两点在直线1的同一侧，线段AO,BM均是直线1的垂线段，且

BM在AO的右边，AO=2BM,将BM沿直线1向右平移，在平移过程中，始终保持

ZABP=90°不变，BP边与直线1相交于点P.

（1）当P与0重合时（如图2所示），设点C是AO的中点，连接BC.求证：

四边形OCBM是正方形；

（2）请利用如图1所示的情形，求证：岖=史；

PBBM

（3）若A0=2依，且当MO=2PO时，请直接写出AB和PB的长.

【解答】解：（1）V2BM=A0,2C0=A0

/.BM=CO,

VA0/7BM,

四边形OCBM是平行四边形，

VZBM0=90°,

.•.□OCBM是矩形，

VZABP=90°,C是A0的中点,

.,.OC=BC,

，矩形OCBM是正方形.

（2）连接AP、0B,

VZABP=ZA0P=90°,

：.A、B、0、P四点共圆，

由圆周角定理可知：ZAPB=ZA0B,

VAO/yBM,

二ZA0B=Z0BM,

ZAPB=Z0BM,

.,.△APB^AOBM,

.AB_0M

（3）当点P在0的左侧时，如图所示,

过点B作BD±AO于点D,

易证△PEOs^BED,

•••P-0=--0E

BDDE

易证：四边形DBMO是矩形，

.\BD=MO,OD=BM

/.M0=2P0=BD,

••OE—1,

DE2

•.•AO=2BM=2加，

；.BM=加,

...OE=返，DE=2^,

33

易证△ADBSAABE,

.,.AB2=AD«AE,

VAD=D0=DM=V6»

，AE=AD+DE=^^

3

.*.AB=VTO，

由勾股定理可知：BE=空运，

3

易证：△PEOS^PBM,

•BE0M=2

"PBrPMT

•,.PB=V15

当点P在0的右侧时，如图所示，

过点B作BDLOA于点D,

VM0=2P0,

.•.点P是0M的中点,

设PM=x,BD=2x,

VZA0M=ZABP=90°,

...A、0、P、B四点共圆，

二四边形AOPB是圆内接四边形，

，NBPM=NA,

.AD「PM

"BEF^BH'

又易证四边形ODBM是矩形，A0=2BM,

，AD=BM=近，

•V6-x

••--，

2xV6

解得:x=«,

•*.BD=2x=2^/3

由勾股定理可知：AB=3圾，BM=3

10、如图1,点E是正方形ABCD边CD上任意一点，以DE为边作正方形DEFG,

连接BF,点M是线段BF中点，射线EM与BC交于点H,连接CM.

（1）请直接写出CM和EM的数量关系和位置关系；

（2）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转45°,此时点F恰好落在线段

CD上，如图2,其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由；

（3）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转90°,此时点E、G恰好分别落

在线段AD、CD上，如图3,其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理

由.

【解答】解:（1）如图1,结论:CM=EM,CM±EM.

图1

理由：；AD〃EF,AD〃BC,，BC〃EF,AZEFM=ZHBM.在AFME和ABMH中，

'NEFM=/MBH

,FM=BM，/.AFME^ABMH,.*.HM=EM,EF=BH.

ZFME=ZBMH

VCD=BC,.,.CE=CH\1ZHCE=9O°，HM=EM,.*.CM=ME,CM±EM.

(2如图2,连接AE,

・••四边形ABCD和四边形EDGF是正方形，，NFDE=45°,ZCBD=45°,.•.点B、

E、D在同一条直线上.

ZBCF=90°,ZBEF=90°,M为AF的中点,.\CM=1AF,EM=1AF,Z.CM=ME.

22

VZEFD=45°,，NEFC=135°.

：CM=FM=ME,/.ZMCF=ZMFC,ZMFE=ZMEF,/.ZMCF+ZMEF=135°，：.Z

fDE=DG

在aEDM和△GDM中，（NMDE=NMDG，•・•△EDM丝△GDM,，ME=MG,ZMED=ZMGD.

DM=DM

OM为BF的中点,FG〃MN〃BC,，GN=NC,又MNJ_CD,；.MC=MG,，MD=ME,ZMCG=

ZMGC.

VZMGC+ZMGD=180°，/.ZMCG+ZMED=180°，/.ZCME+ZCDE=180°.

VZCDE=90°,ZCME=90°,/.(1)中的结论成立.

11、如图1,以QABCD的较短边CD为一边作菱形CDEF,使点F落在边AD上，连

接BE,交AF于点G.

(1)猜想BG与EG的数量关系，并说明理由；

(2)延长DE、BA交于点H,其他条件不变：

①如图2,若/ADC=60°,求理•的值;

BH

②如图3,若NADC=a(00<a<90°)，直接写出地的值（用含a的三角函

BH

数表示）

【解答】解：（1）BG=EG,理由是：

如图1,♦.•四边形ABCD是平行四边形,

/.AB=CD,AB〃CD,

•.•四边形CFED是菱形,

.,.EF=CD,EF〃CD,

.•.AB=EF,AB〃EF,

，ZA=ZGFE,

,/ZAGB=ZFGE,

.,.△BAG^AEFG,

.*.BG=EG；

(2)①如图2,设AG=a,CD=b,则DF=AB=b,

由(1)知：ABAG^AEFG,

.\FG=AG=a,

/.ZHAD=ZADC=60o,

VZADE=60°,

：.ZAHD=ZHAD=ZADE=60°,

：.AADH是等边三角形，

/.AD=AH=2a+b,

.DG=FG+DF=a+b=1.

..俞AB+AHb+2a+bT

②如图3,连接EC交DF于0,

•.•四边形CFED是菱形，

/.EC±AD,FD=2F0,

设FG=a,AB=b,则FG=a,EF=ED=CD=b,

RSEFO中，cosa

EF

OF=bcosa,

•*.DG=a+2bcosa,

过H作HM±AD于M,

VZADC=ZHAD=ZADH=a,

.\AH=AD,

AM=—AD=—(2a+2bcosa)=a+bcosa,

22

RtZ\AHM中,cosa=幽，

AH

.・.AH=q+bcosa

cosa

.DG_a+2bcosa=cosa

.BH-a+bcosd

b+-----——

cosa

12、如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG〃

CD交AF于点G,连接DG.

(1)求证：四边形EFDG是菱形；

(2)探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；

(3)若AG=6,EG=2旄，求BE的长.

【解答】解：（1）证明：：GE〃DF,

/.ZEGF=ZDFG.

•.,由翻折的性质可知：GD=GE,DF=EF,NDGF=NEGF,

，ZDGF=ZDFG.

/.GD=DF.

.*.DG=GE=DF=EF.

四边形EFDG为菱形.

（2）EG2=1GF-AF.

2

理由：如图1所示：连接DE交AF于点0.

a--------------D

•.•四边形EFDG为菱形,

/.GF±DE,OG=OF=1GF.

2

VZD0F=ZADF=90°,ZOFD=ZDFA,

.,.△DOF^AADF.

...更勿，即DF』O・AF.

AFDF

VFO=1GF,DF=EG,

2

.,.EG2=1GF«AF.

2

（3）如图2所示：过点G作GHLDC,垂足为H.

VEG2=1GF*AF,AG=6,EG=2加，

.\20=1FG(FG+6),整理得：FG2+6FG-40=0.

2

解得：FG=4,FG=-10(舍去).

•.•DF=GE=2逐，AF=10,

AD=VAF2-DF2=4A^•

VGH1DC,AD±DC,

；.GH〃AD.

/.△FGH^AFAD.

.•.史F,即粤

ADAF4A/510

.•.GH&L

5__

.\BE=AD-GH=4泥-色反=丝匡.

55

13、如图1,已知矩形AOCB,AB=6cm,BC=16cm,动点P从点A出发，以3cm/s

的速度向点0运动，直到点0为止；动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度向

点B运动，与点P同时结束运动.

(1)点P到达终点0的运动时间是工s,此时点Q的运动距离是丝cm；

一J_――且一

(2)当运动时间为2s时，P、Q两点的距离为」至_cm；

(3)请你计算出发多久时，点P和点Q之间的距离是10cm；

(4)如图2,以点0为坐标原点，0C所在直线为x轴，0A所在直线为y轴，1cm

长为单位长度建立平面直角坐标系，连结AC,与PQ相交于点D,若双曲线y=K

X

过点D,问k的值是否会变化？若会变化，说明理由；若不会变化，请求出k的

值.

/.0A=BC=16,

•••动点P从点A出发，以3cm/s的速度向点0运动,

：.t=—,此时，点Q的运动距离是红X2=^cm,

333

故答案为也，32；

33

(2)如图1,由运动知，AP=3X2=6cm,CQ=2X2=4cm,

过点P作PE±BC于E,过点Q作QF±OA于F,

...四边形APEB是矩形，

；.PE=AB=6,BE=6,

.\EQ=BC-BE-CQ=16-6-4=6,

根据勾股定理得，PQ=6^,

故答案为6我；

(3)设运动时间为t秒时，

由运动知，AP=3t,CQ=2t,

同(2)的方法得，PE=6,EQ=16-3t-2t=16-5t,

•.•点P和点Q之间的距离是10cm,

.•.6,(16-5t)2=100,

t=—t=—；

55

（4）k的值是不会变化，

理由：•.•四边形AOCB是矩形,

，0C=AB=6,0A=16,

AC(6,0),A(0,16),

...直线AC的解析式为y=-Bx+16①,

3

设运动时间为t,

；.AP=3t,CQ=2t,

.*.0P=16-3t,

：.P(0,16-3t),Q(6,2t),

APQ解析式为y=5tzl6.x+16-3t②，

6

联立①②解得，x=E,y=丝，

55

AD(里丝)，

55

.•.k=lix丝=不是定值.

14、对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下操作：先沿CE折叠，使点B落在CD

边上（如图①），再沿CH折叠，这时发现点E恰好与点D重合（如图②）

（1）根据以上操作和发现，求端的值；

AD

（2）将该矩形纸片展开.

①如图③，折叠该矩形纸片，使点C与点H重合，折痕与AB相交于点P,再将

该矩形纸片展开.求证：ZHPC=90°；

②不借助工具，利用图④探索一种新的折叠方法，找出与图③中位置相同的P

点，要求只有一条折痕，且点P在折痕上，请简要说明折叠方法.（不需说明理

由）

【解答】解：(1)由图①，可得NBCE=*NBCD=45°,

XVZB=90°，

.,.△BCE是等腰直角三角形，

.,.新cos45。=返，EPCE=V2BC,

EC2

由图②，可得CE=CD,而AD=BC,

/.CD=V2AD,

（2）①设AD=BC=a,则AB=CD=^a,BE=a,

.\AE=（V2-1）a,

如图③，连接EH,则NCEH=NCDH=90°，

VZBEC=45°,ZA=90°,

AZAEH=45°=ZAHE,

/.AH=AE=（V2-1）a,

设AP=x,贝ljBP=0a-x,由翻折可得，PH=PC,BPPH2=PC\

.-.AH2+AP2=BP2+BC2,

即[（V2-1）a]2+x2=（亚a-x）2+a2,

解得x=a,即AP=BC,

又•.,PH=CP,ZA=ZB=90°,

ARtAAPH^RtABCP（HL），

，ZAPH=ZBCP,

又•.,RtZ\BCP中，ZBCP+ZBPC=90°,

/.ZAPH+ZBPC=90o,

ZCPH=90°；

②折法：如图，由AP=BC=AD,可得4ADP是等腰直角三角形，PD平分/ADC,

故沿着过D的直线翻折，使点A落在CD边上，此时折痕与AB的交点即为P；

A10

B图④C

折法：如图，由NBCE=NPCH=45°,可得NBCP=NECH,

由NDCE=NPCH=45°,可得NPCE=NDCH,

又•.•NDCH=NECH,

ZBCP=ZPCE,即CP平分NBCE,

故沿着过点C的直线折叠，使点B落在CE上，此时，折痕与AB的交点即为P.

15、如图，在矩形ABCD中，AB=2cm,ZADB=30°.P,Q两点分别从A,B同时

出发，点P沿折线AB-BC运动，在AB上的速度是2cm/s,在BC上的速度是2丑

cm/s；点Q在BD上以2cm/s的速度向终点D运动，过点P作PNLAD,垂足为点

N.连接PQ,以PQ,PN为邻边作口PQMN.设运动的时间为x(s),口PQMN与矩形

ABCD重叠部分的图形面积为y(cm2)

(1)当PQ_LAB时，x=2s；

-3-

(2)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；

(3)直线AM将矩形ABCD的面积分成1：3两部分时，直接写出x的值.

DD

【解答】解:(1)当PQ_LAB时,BQ=2PB,

.\2x=2(2-2x),

.".x=—s.

3

故答案为Zs.

3

(2)①如图1中，当OVxWZ时，重叠部分是四边形PQMN.

3

y=2xX遮x=2bx2.

②如图②中，当2<xWl时，重叠部分是四边形PQEN.

3

图2

y=A-(2-x+2txX遭X=^X2+V3X

③如图3中，当l〈x<2时，重叠部分是四边形PNEQ.

(x-1)]=^-x:!-3丑x+4

y=—(2-x+2)X[A/3X-2A/3

/

2V3X2(0<X<Y)

o

2

综上所述，y=1^X+V3X(4<X<：L).