第十八章 正比例函数和反比例函数（单元重点综合测试）

第十八章正比例函数和反比例函数单元重点综合测试注意事项：本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置选择题（6小题，每小题2分，共12分）1．（2023·上海·八年级假期作业）在函数中，自变量x的取值范围是（）A． B． C． D．2．（2023春·上海嘉定·八年级校考开学考试）如果关于的函数是正比例函数，那么的取值范围是（）A． B． C．一切实数 D．3．（2023·上海杨浦·统考三模）平面直角坐标系中，若点和在反比例函数图像上，则下列关系式正确的是（）A． B． C． D．4．（2023春·上海松江·八年级统考期末）乐乐家与学校相距1000米，某天乐乐上学时忘了带了一本书，走了一段时间才想起，于是返回家拿书，然后加快速度赶到学校，图中是乐乐与家的距离y（米）关于时间x（分钟）的函数图像，下列说法错误的是（）

A．乐乐走了200米后返回家拿书B．乐乐在家停留了3分钟C．乐乐以每分钟200米的速度加速赶到学校D．乐乐在第10分钟的时候赶到学校5．（2023·上海·八年级假期作业）如图，点A是反比例函数图像上的一点，过点A作轴于点D，且点D为线段的中点，若点C为x轴上任意一点，且的面积为8，则k的值为（）A．2 B．8 C．10 D．6．（2023·上海·八年级假期作业）如图1，点G是上靠近点C的三等分点，点H在上，动点P以每秒的速度沿图1的边线运动，运动路径为：，相应的的面积y（cm2）关于运动时间t（s）的函数图像如图2，若，则下列四个结论中正确的个数有（）①图1中的长是；②图2中的M点表示第6秒时y的值为；③图1中的长是；④图2中的N点表示第19秒时y的值为．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（12小题，每小题2分，共24分）7．（2023春·上海嘉定·八年级校考开学考试）函数的定义域是______．8．（2023·上海·九年级假期作业）若函数的函数值为5，则自变量x的值为__________．9．（2023·上海·八年级假期作业）函数的图像在一、三象限，那么k的取值范围是________．10．（2023·上海·八年级假期作业）若正比例函数，的值随的增大而减小，则_______．11．（2023春·上海普陀·九年级统考期中）已知正比例函数的图象经过点，那么函数值随自变量的值的增大而______．（填“增大”或“减小”）12．（2023·上海·八年级假期作业）若某人以每分钟100米速度匀速行走，那么用行走的时间x（分）表示行走的路程y（米）的解析式为________，这样行走20公里需要_______小时．13．（2023·上海·八年级假期作业）若函数是反比例函数，则m的值为________．14．（2023春·上海奉贤·八年级统考期末）已知，那么______．15．（2023春·上海浦东新·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如，，……，都是“雁点”，函数图像的“雁点”坐标为____________．16．（2023·上海长宁·统考二模）已知点在反比例函数的图像上，点A关于y轴的对称点恰好在直线上，那么k的值为_______．17．（2023·上海·八年级假期作业）如图，Rt△BOC的一条直角边在x轴正半轴上，双曲线过的斜边的中点，与另一直角边相交于点，若的面积是6，则k的值是_______．18．（2023春·上海·八年级期中）如图，在直角坐标xoy系中，点A的坐标是（2，0）、点B的坐标是（0，2）、点C的坐标是（0，3），若直线CD的解析式为y=-x+3，则S△ABD为___________.三、解答题（9小题，共64分）19．（2023·上海·八年级假期作业）下列那些函数是正比例函数？哪些不是？如果是，请指出比例系数．（1）；

（2）；

（3）；

（4）．21．（2023·上海·八年级假期作业）收割机的油箱里盛油，使用时，平均每小时耗油(1)如果收割机工作了4小时，那么油箱还剩多少千克的油？(2)如果油箱里用掉36千克油，那么使用收割机工作的时间为多少小时？(3)写出油箱里剩下的油与使用收割机时间之间的函数关系式？(4)在此函数关系式中，求函数定义域．22．（2023秋·上海杨浦·八年级统考期末）在全民健身环城越野赛中，甲乙两位选手都完成了比赛，甲的行程（千米）随时间（小时）变化的图象（全程）如图所示；乙的行程（千米）随时间（小时）的函数解析式为（）．

(1)在图中画出乙的行程（千米）随时间（小时）的函数图象；(2)环城越野赛的全程是________千米；(3)甲前0.5小时的速度是________千米/小时；(4)甲和乙出发1小时后相遇，相遇时甲的速度是________千米/小时．23．（2023·上海·八年级假期作业）如图，已知正方形的面积为9，点O为坐标原点，点A在x轴上，点在y轴上，点B在函数（，）图象上，点P是函数（，）图象上异于点B的任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点E、F．设矩形和正方形不重合部分的面积为S．

(1)点B的坐标是______，k=______；(2)当，求点P的坐标；(3)求出S关于m的函数关系式．24．（2023春·上海长宁·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴正半轴、轴分别交于点，、，，与双曲线交于点，，的面积为．

(1)求与的值；(2)点在线段上，过点作轴，垂足为点，以为对角线作正方形，如果点恰好落在上述双曲线上，求点的坐标．25．（2023·上海·八年级假期作业）如图，在平面直角坐标系中，双曲线经过、两点，为直角三角形，轴，轴，，．(1)求反比例函数的表达式及点的坐标；(2)点是轴正半轴上的动点，连接、；①求的最小值；②点是反比例函数的图象上的一个点，若是以为直角边的等腰直角三角形时，求所有满足条件的点的坐标．

第十八章正比例函数和反比例函数单元重点综合测试答案全解全析选择题（6小题，每小题2分，共12分）1．（2023·上海·八年级假期作业）在函数中，自变量x的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由由分式有意义的条件可得，可得，从而可得答案．【详解】解：由可得，∴函数中，自变量x的取值范围是．故选B【点睛】本题考查的是求解函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，理解题意列出不等式是解本题的关键．2．（2023春·上海嘉定·八年级校考开学考试）如果关于的函数是正比例函数，那么的取值范围是（）A． B． C．一切实数 D．【答案】B【分析】根据正比例函数的定义求解即可．【详解】解：∵函数是正比例函数，∴，∴，故选：B．【点睛】本题考查了正比例函数的定义，掌握正比例函数的定义：形如的形式，叫正比例函数．3．（2023·上海杨浦·统考三模）平面直角坐标系中，若点和在反比例函数图像上，则下列关系式正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据反比例函数图像的特点即可求解．【详解】解：∵反比例函数，∴反比例函数图像经过第一、三象限，在第一象限中，函数值随的增大而减小，∴点和中，，∴，即，故选：．【点睛】本题主要考查反比例函数图像的特点，掌握反比例函数图像的增减性是解题的关键．4．（2023春·上海松江·八年级统考期末）乐乐家与学校相距1000米，某天乐乐上学时忘了带了一本书，走了一段时间才想起，于是返回家拿书，然后加快速度赶到学校，图中是乐乐与家的距离y（米）关于时间x（分钟）的函数图像，下列说法错误的是（）

A．乐乐走了200米后返回家拿书 B．乐乐在家停留了3分钟C．乐乐以每分钟200米的速度加速赶到学校 D．乐乐在第10分钟的时候赶到学校【答案】B【分析】从图像可以知道，2分钟时乐乐返回家，在家一段时间后，5分钟又开始回学校，10分钟到达学校．【详解】解：A、乐乐走了200米后返回家拿书，正确，不合题意；B、乐乐在家停留了3分钟，错误，从回家到拿到书，一共用3分钟，故符合题意；C、乐乐以每分钟：米的速度加速赶到学校，正确，不合题意；D、乐乐在第10分钟的时候赶到学校，正确，不合题意．故选：B．【点睛】此题主要考查了函数图像，正确认识图像是解答本题的关键．5．（2023·上海·八年级假期作业）如图，点A是反比例函数图像上的一点，过点A作轴于点D，且点D为线段的中点，若点C为x轴上任意一点，且的面积为8，则k的值为（

）A．2 B．8 C．10 D．【答案】D【分析】设点，利用求出k的值即可．【详解】解：设点，∵点D为线段的中点．轴∴，又∵，∴．故选D．【点睛】本题主要考查了利用面积求反比例函数的k的值，根据三角形的面积列出是解题的关键．6．（2023·上海·八年级假期作业）如图1，点G是上靠近点C的三等分点，点H在上，动点P以每秒的速度沿图1的边线运动，运动路径为：，相应的的面积y（cm2）关于运动时间t（s）的函数图像如图2，若，则下列四个结论中正确的个数有（）①图1中的长是；②图2中的M点表示第6秒时y的值为；③图1中的长是；④图2中的N点表示第19秒时y的值为．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】①根据题意得：动点P在G点时，可得，进而求得，再根据可判定①；②当时，点P在点C处，由求得面积即可判定②；③当点P从点C运动到点D时，的面积不变，由图2知，点P从点C运动到点D需要3s钟，进而求得即可解答；④当时，点P在上运动，进而求得，最后根据计算即可判定④．【详解】解：根据函数图像可以知：当点P在G点时，，∵，∴，又∵t从0到3，y随x的增大而增大，∴经过了3秒，P运动了3cm，∴，∴，故①正确；当时，点P在点C处，∴，∴图2中的M点表示第6秒时y的值为，故②正确；当点P从点C运动到点D时，的面积不变，由图2知，点P从点C运动到点D需要3s钟，∴，故③正确；由图2知，当时，点P在上运动，∴，∴，∵，∴，∴图2中的N点表示第19秒时，点P到达H点，∴△ABP的面积．故④正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了函数图形的动点问题，要能根据函数图像的性质和图像上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件是解答本题的关键．二、填空题（12小题，每小题2分，共24分）7．（2023春·上海嘉定·八年级校考开学考试）函数的定义域是______．【答案】【分析】根据二次根式有意的条件解题即可．【详解】解：由题可得，解得，故答案为：．【点睛】本题考查二次根式有意的条件，掌握被开方数大于等于零是解题的关键．8．（2023·上海·九年级假期作业）若函数的函数值为5，则自变量x的值为__________．【答案】【分析】将代入求解即可．【详解】把代入得，解得．【点睛】本题考查了求自变量的值，熟练掌握运算方法是解题的关键．9．（2023·上海·八年级假期作业）函数的图像在一、三象限，那么k的取值范围是________．【答案】【分析】由图象在第一、第三象限内，可得，解不等式即可．【详解】解：因为图象在第一、第三象限内，所以，即．故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数的图象，熟知时，反比例函数的图象在一、三象限、时，反比例函数的图象在二、四象限是解题关键．10．（2023·上海·八年级假期作业）若正比例函数，的值随的增大而减小，则_______．【答案】【分析】根据正比例函数的性质求解即可【详解】由题意，可得：，解得：．故答案为：【点睛】题目主要考查的性质，熟练掌握正比例函数的图象和性质是解题关键．11．（2023春·上海普陀·九年级统考期中）已知正比例函数的图象经过点，那么函数值随自变量的值的增大而______．（填“增大”或“减小”）【答案】减小【分析】运用待定系数法求出后即可判断函数的增减性．【详解】解：首先把，代入，得，∴，再根据正比例函数图象的性质，得随的增大而减小．故答案为：减小．【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解题关键是首先能够熟练求得的值．其次要熟悉正比例函数图象的性质．12．（2023·上海·八年级假期作业）若某人以每分钟100米速度匀速行走，那么用行走的时间x（分）表示行走的路程y（米）的解析式为________，这样行走20公里需要_______小时．【答案】【分析】根据路程=速度×时间可得函数解析式，再令，求出x，换算可得时间．【详解】解：∵路程=速度×时间，∴行走路程y与x的关系即为，令，则，∴，∴行走20公里需要小时，故答案为：，．【点睛】本题考查了函数解析式，求自变量值，注意路程、速度、时间的关系以及单位的换算．13．（2023·上海·八年级假期作业）若函数是反比例函数，则m的值为________．【答案】1【分析】根据反比例函数的定义可得关于m的方程，解方程结合解答即可．【详解】解：由题意，可得：，则或，∵，∴．故答案为：1．【点睛】本题考查了反比例函数的定义和一元二次方程的求解，熟练掌握反比例函数的定义是解题关键．14．（2023春·上海奉贤·八年级统考期末）已知，那么______．【答案】【分析】根据函数的定义求函数值，将代入，即可求解．【详解】解：∵，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了求函数值，熟练掌握函数的定义是解题的关键．15．（2023春·上海浦东新·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如，，……，都是“雁点”，函数图像的“雁点”坐标为____________．【答案】【分析】根据一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”，即可得到答案．【详解】解：一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”，函数图像的“雁点”坐标为：，故答案为：．【点睛】本题主要考查了坐标系的新定义问题，理解“雁点”的定义，是解题的关键．16．（2023·上海长宁·统考二模）已知点在反比例函数的图像上，点A关于y轴的对称点恰好在直线上，那么k的值为_______．【答案】【分析】由点A与点关于y轴的对称，可得到，代入即可求得m的值，从而求得，进而即可求出k的值．【详解】解：∵点A与点关于y轴的对称，点，∴，∵点恰好在直线上，∴，∴，∵点在反比例函数的图象上，∴，故答案为：．【点睛】本题考查反比例函数图象上的点坐标的特征，一次函数图象上点的坐标特征，关于y轴对称的点的坐标的特征，掌握方程思想是解题的关键．17．（2023·上海·八年级假期作业）如图，Rt△BOC的一条直角边在x轴正半轴上，双曲线过的斜边的中点，与另一直角边相交于点，若的面积是6，则k的值是_______．【答案】4【分析】设点C的坐标为，则，先根据三角形的面积公式可得，从而可得点B的坐标为，再根据线段中点的定义可得点A的坐标为，然后将点A的坐标代入双曲线的解析式即可得．【详解】解：设点C的坐标为，则，，，解得，，点是OB的中点，，即，又点在双曲线上，，故答案为：4．【点睛】本题考查了反比例函数的几何应用，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．18．（2023春·上海·八年级期中）如图，在直角坐标xoy系中，点A的坐标是（2，0）、点B的坐标是（0，2）、点C的坐标是（0，3），若直线CD的解析式为y=-x+3，则S△ABD为___________.【答案】1【详解】分析：先求出直线AB的解析式，根据直线AB与直线CD的k值相等可得出它们平行，根据平行线间的距离处处相等可得出，即可得出答案.详解：设直线AB的解析式为，∵A的坐标是（2，0）、点B的坐标是（0，2）、∴，解得，∴直线AB的解析式为，∵直线CD的解析式为y=-x+3，∴AB//CD，∴，∵点A的坐标是（2，0）、点B的坐标是（0，2）、点C的坐标是（0，3），∵BC=1，AO=2，∴，∴故答案为1.点睛：本题考查了一次函数的性质及求平面直角坐标系中三角形的面积.解题的关键在于利用转化思想将求△ABD的面积转化为求△ABC的面积的问题.三、解答题（9小题，共64分）19．（2023·上海·八年级假期作业）下列那些函数是正比例函数？哪些不是？如果是，请指出比例系数．（1）；

（2）；

（3）；

（4）．【答案】（1）（4）是正比例函数，比例系数分别为和；（2）（3）不是正比例函数【分析】根据正比例函数的概念：形如的函数是正比例函数，其中即为其比例系数，判断即可．【详解】解：由正比例函数的概念可知：（1）（4）是正比例函数，比例系数分别为、；（2）（3）不是正比例函数．【点睛】本题考查了正比例函数、比例系数，解题的关键是掌握正比例函数的概念．20．（2023·上海·八年级假期作业）已知函数，当为何值时该函数图像经过原点？此时函数解析式是什么？【答案】；【分析】根据题意得出，确定，然后代入函数解析式即可确定表达式【详解】解：函数经过原点，则，解得：．代入表达式中可得，函数解析式为：．【点睛】本题主要考查正比例函数的概念，理解题意，熟练掌握确定正比例函数的方法是解题关键．21．（2023·上海·八年级假期作业）收割机的油箱里盛油，使用时，平均每小时耗油(1)如果收割机工作了4小时，那么油箱还剩多少千克的油？(2)如果油箱里用掉36千克油，那么使用收割机工作的时间为多少小时？(3)写出油箱里剩下的油与使用收割机时间之间的函数关系式？(4)在此函数关系式中，求函数定义域．【答案】(1)油箱还剩41千克的油(2)使用收割机工作的时间为6小时(3)(4)函数定义域为【分析】（1）用所盛油量减去4小时消耗的油量即可；（2）用所盛油量减去用掉的油量，再除以耗油速度即可；（3）根据剩下的油=总油量每小时耗油量×工作时间即可列出关系式；（4）求出用所盛油量可供使用的时间即可得到定义域．【详解】（1）解：由题意可得，，即收割机工作了4小时，油箱还剩油；（2）（小时），即如果油箱里用掉油，那么使用收割机工作的时间为6小时；（3）由题意可得，，即油箱里剩下的油与使用收割机时间之间的函数关系式是；（4）当时，，得，即函数定义域是．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．22．（2023秋·上海杨浦·八年级统考期末）在全民健身环城越野赛中，甲乙两位选手都完成了比赛，甲的行程（千米）随时间（小时）变化的图象（全程）如图所示；乙的行程（千米）随时间（小时）的函数解析式为（）．

(1)在图中画出乙的行程（千米）随时间（小时）的函数图象；(2)环城越野赛的全程是________千米；(3)甲前0.5小时的速度是________千米/小时；(4)甲和乙出发1小时后相遇，相遇时甲的速度是________千米/小时．【答案】(1)图见解析(2)20(3)16(4)4【分析】（1）根据两点确定一条直线，进行作图即可；（2）根据乙的图象，求出时，的值即可；（3）结合图象，利用路程除以时间进行求解即可；（4）结合图象，利用路程除以时间进行求解即可；【详解】（1）解：∵，（），当时，，当时，，∴乙的行程（千米）随时间（小时）的函数图象经过点，画出图象如下：

（2）∵，（），∴当时，，即：环城越野赛的全程是20千米；故答案为：20；（3）由图象可知：甲前0.5小时的速度是千米/小时；故答案为：16；（4）由图象可知：相遇时甲的速度是千米/小时；故答案为：4．【点睛】本题考查利用函数图象表示变量之间的关系，解题的关键是从函数图象中有效的获取信息．23．（2023·上海·八年级假期作业）如图，已知正方形的面积为9，点O为坐标原点，点A在x轴上，点在y轴上，点B在函数（，）图象上，点P是函数（，）图象上异于点B的任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点E、F．设矩形和正方形不重合部分的面积为S．

(1)点B的坐标是______，k=______；(2)当，求点P的坐标；(3)求出S关于m的函数关系式．【答案】(1)，9(2)点的坐标（，6）或（6，）(3)【分析】（1）由正方形的面积公式求出正方形的边长，确定出及的长，得到点B的坐标，将B的坐标代入反比例函数解析式中即可求出k值；（2）分两种情况考虑：①当点P在点B的左边时，不重合部分为矩形，将P的坐标代入第一问确定出的反比例函数解析式中，得到的值，根据P及B的坐标，表示出与，利用矩形的面积公式表示出矩形的面积，将的值及已知的面积代入，即可求出m的值，进而得到n的值，确定出此时P的坐标；②当点P在点B的右边时，不重合部分为矩形，由P及B的坐标表示出及，利用矩形的面积公式表示出矩形的面积，将的值及已知的面积代入求出n的值，进而求出m的值，确定出此时P的坐标，综上，得到所有满足题意的P的坐标．（3）分两种情况考虑：①当点P在点B的左边时，不重合部分为矩形，将P的坐标代入第一问确定出的反比例函数解析式中，得到的值，根据P及B的坐标，表示出与，利用矩形的面积公式表示出矩形的面积，化简即可得到S关于m的函数关系式；②当点P在点B的右边时，不重合部分为矩形，由P及B的坐标表示出及，利用矩形的面积公式表示出矩形的面积，化简即可得到S关于m的函数关系式，综上，可得到S关于m的函数关系式．

【详解】（1）∵正方形的面积为9，，．又∵点在函数（，）的图象上，．故答案为：，9．（2）

分两种情况：①当点P在点B的左侧时，矩形和正方形不重合部分为矩形．∵在函数上，∴．∵，，∴，又，∴，解得：，可得，∴点P的坐标为；②当点P在点B的右侧时，矩形和正方形不重合部分为矩形．∵在函数上，∴．∵，，∴，

又，∴，解得，可得，∴点P的坐标为．综上所述：P的坐标为或．（3）

分两种情况：①当点P在点B的左侧时，即时，矩形和正方形不重合部分为矩形．∵在函数上，∴．∵，，∴，又，∴，即S关于m的函数关系式为（）②当点P在点B及点B的右侧，即时，矩形和正方形不重合部分为矩形．∵在函数上，∴，即．∵，，∴，

又，∴，即S关于m的函数关系式为（）综上所述：S关于m的函数关系式为．【点睛】本题主要考查了反比例函数的系数与矩形的面积的