19.8.2 直角三角形性质 同步练习

19.8.2直角三角形性质【夯实基础】一、单选题1．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（）．A．6米； B．9米； C．12米； D．15米.2．（2019·上海市毓秀学校八年级阶段练习）如图，在RtΔABC中，AD是斜边BC上的高，∠B=30°，那么线段BD与CD的数量关系为（

）A．BD=CD B．BD=2CD C．BD=3CD D．BD=4CD3．（2022·上海·八年级单元测试）△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD为高，若BD＝2cm，则AD等于（

）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm.4．（2021·上海市建平实验中学八年级期末）如图，一棵直立的大树在一次强台风中被折断，折断处离地面2米，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（）A．米 B．米 C．4米 D．6米5．（2022·上海·八年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，且AE平分∠BAC，下列关系式不成立的是（）A．AC＝2EC B．∠B＝∠CAE C．∠DEA＝∠CEA D．BC＝3CE二、填空题6．（2022·上海徐汇·八年级期末）如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF//OB，EC⊥OB，若EC＝2，则EF＝___．7．（2021·上海民办华曜宝山实验学校八年级阶段练习）如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的底角等于_____度．8．（2020·上海市浦东模范中学八年级期末）如图，已知在ABC中，∠C＝90°，MN是AB的中垂线，∠A＝30°，AM＝10cm，则CM＝___cm．9．（2022·上海·八年级单元测试）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD平分∠ABC，如果AC=9cm，那么AD=___________cm．10．（2022·上海·八年级专题练习）如图，在梯形ABCD中，，AD＝3，AB＝CD＝4，∠A＝120°，则下底BC的长为__．三、解答题11．（2021·上海市建平实验中学八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°．（1）在BC边上求作一点N，使得AN＝BN；（不要求写作法，但要保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，求证：CN＝2BN．12．（2022·上海·八年级专题练习）如图，平分，，，在上取一点，连接，使，．(1)求证：PC//OB；(2)求∠CPO的度数．【能力提升】一、单选题1．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如图，在中，AB=AC，∠B=30°，AD⊥AB，AD=4，则下列各式中正确的是（

）A．AB=8 B．BC=16 C．DC=4 D．BD=102．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如图，的三个内角比为1：1：2，且，则∠CBD是（

）A．5° B．10° C．15° D．45°二、填空题3．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）等腰三角形的底边上的中线等于腰长的一半，则它的顶角为__________．4．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）等腰三角形的底角为15°，腰长为24cm，则这个三角形的面积为____________．5．（2021·上海市西南模范中学八年级期中）如图，在直角梯形ABCD中，，∠B＝90°，∠BCD＝60°，CD＝5．将梯形ABCD绕点A旋转后得到梯形，其中B、C、D的对应点分别是、、，当点落在边CD上时，点恰好落在CD的延长线上，那么的长为______．6．（2022·上海·八年级专题练习）在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，AD是△ABC中∠CAB的平分线，点E在直线AB上，如果DE=2CD，那么∠ADE=____________.7．（2022·上海·八年级单元测试）在△ABC中，，△ABC的面积为3，过点A作AD⊥AB交边BC边于点D．设，．那么y与x之间的函数解析式_________________.（不写函数定义域）．8．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）在Rt△中，∠B=90°，AC=16，BC=8，那么∠C=______度．9．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）在△ABC中，∠A+∠B＝∠C，且AB=2BC，∠B=_________．10．（2022·上海·八年级单元测试）如图，在中，，，斜边BC的垂直平分线交边AB于点E，垂足为点D，取线段BE的中点F，联结DF，如果，则________．三、解答题11．（2022·上海·八年级专题练习）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，边AB的垂直平分线交边BC于点E，垂足为点D，取线段BE的中点F，联结DF．求证：AC＝DF．（说明：此题的证明过程需要批注理由）12．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如图，已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF∥AB交AC于F．求证：DE=DF．

19.8.2直角三角形性质（解析版）【夯实基础】一、单选题1．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（）．A．6米； B．9米； C．12米； D．15米.【答案】B【分析】根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出折断部分的长度，再加上离地面的距离就是折断前树的高度．【详解】解：如图，根据题意BC=3米，∵∠BAC=30°，∠ACB=90°，∴AB=2BC=2×3=6米，∴BC+AB=3+6=9（米）．故选B【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，比较简单，熟记性质是解题的关键．2．（2019·上海市毓秀学校八年级阶段练习）如图，在RtΔABC中，AD是斜边BC上的高，∠B=30°，那么线段BD与CD的数量关系为（

）A．BD=CD B．BD=2CD C．BD=3CD D．BD=4CD【答案】C【分析】先设CD=a，由于∠B=30°，∠BAC=90°，易求∠C=60°，而AD是高，从而可求∠CAD=30°，利用30°角所对的边等于斜边的一半，可得AC=2a，在Rt△ABC中，再利用30°角所对的边等于斜边的一半可得BC=2AC=4a，则BD=BC-CD=3a，从而可求BD、CD之间的关系．【详解】解：设CD=a，∵∠B=30°，∠BAC=90°，∴∠C=60°，BC=2AC，又∵AD是高，∴∠ADC=90°，∴∠CAD=30°，∴AC=2a，∴BC=4a，∴BD=BC-CD=3a，．故选C．【点睛】本题考查勾股定理、含有30°角的直角三角形．解题的关键是求出BC．3．（2022·上海·八年级单元测试）△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD为高，若BD＝2cm，则AD等于（

）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm.【答案】C【分析】在Rt△CDB中，利用含30度角的直角三角形的性质求得CB的长，再在Rt△ACB中，利用含30度角的直角三角形的性质求得AB的长，即可求得AD的长【详解】如图，∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠B=60°，又CD是高，∴∠BCD=30°，∴BC=2BD=4(cm)，∵∠A=30°，∴AB=2BC=8(cm)，∴AD=AB-BD=6(cm)，故选：C．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．4．（2021·上海市建平实验中学八年级期末）如图，一棵直立的大树在一次强台风中被折断，折断处离地面2米，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（）A．米 B．米 C．4米 D．6米【答案】D【分析】根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出折断部分的长度，再加上离地面的距离就是折断前树的高度．【详解】解：如图，根据题意BC＝2米，∵∠BAC＝30°，∴AB＝2BC＝2×2＝4米，∴2+4＝6米．故选：D．【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，比较简单，熟记性质是解题的关键．5．（2022·上海·八年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，且AE平分∠BAC，下列关系式不成立的是（）A．AC＝2EC B．∠B＝∠CAE C．∠DEA＝∠CEA D．BC＝3CE【答案】A【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE＝BE，根据等边对等角可得∠BAE＝∠B，然后利用直角三角形两锐角互余列式求出∠CAE＝∠BAE＝∠B＝30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AE＝2CE，BE＝2DE，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE＝EC，然后对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∴∠BAE＝∠B，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE＝∠BAE，∵∠C＝90°，∴∠CAE＝∠BAE＝∠B＝30°，A.在Rt△ACE中，，故A错误，符合题意；B.∠B＝∠CAE=30°，故B正确，不符合题意；C.∵，，∴∠DEA＝∠CEA，故C正确，不符合题意；D.在Rt△BDE中，BE＝2DE，∵AE平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝EC，∴BC＝EC+BE＝EC+2EC＝3EC，故D正确，不符合题意．故选：A．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，等边对等角的性质，以及三角形的内角和定理，求出∠CAE＝∠BAE＝∠B＝30°，是解题的关键．二、填空题6．（2022·上海徐汇·八年级期末）如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF//OB，EC⊥OB，若EC＝2，则EF＝___．【答案】4【分析】作EG⊥OA于G，根据角平分线的性质得到EG的长度，再根据平行线的性质得到∠OEF＝∠COE＝15°，然后利用三角形的外角和内角的关系求出∠EFG＝30°，利用30°角所对的直角边是斜边的一半解题．【详解】解：作EG⊥OA于G，如图所示：∵EF//OB，∠AOE＝∠BOE＝15°，EC⊥OB，∴∠OEF＝∠COE＝15°，EG＝CE＝2，∵∠AOE＝15°，∴∠EFG＝15°＋15°＝30°，∴EF＝2EG＝4．故答案为：4．【点睛】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质、含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握角平分线的性质，证出∠EFG＝30°是解决问题的关键．7．（2021·上海民办华曜宝山实验学校八年级阶段练习）如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的底角等于_____度．【答案】30【分析】根据含30度角的直角三角形求出∠B，根据等腰三角形性质求出∠C即可．【详解】解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵AD＝AB，∴∠B＝30°，∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝30°，故答案为：30．【点睛】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，熟悉掌握含角的直角三角形中，角所对的边是斜边的一半是解题的关键．8．（2020·上海市浦东模范中学八年级期末）如图，已知在ABC中，∠C＝90°，MN是AB的中垂线，∠A＝30°，AM＝10cm，则CM＝___cm．【答案】5【分析】连接，根据垂直平分线的性质可得，进而根据含30度角的直角三角形的性质即可求得的长．【详解】如图，连接MN是AB的中垂线，∠A＝30°，AM＝10cm，∠C＝90°故答案为：5【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．9．（2022·上海·八年级单元测试）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD平分∠ABC，如果AC=9cm，那么AD=___________cm．【答案】6【分析】根据直角三角形30°角的性质，角平分线的性质，列式计算即可．【详解】∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠ABC=60°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=30°，∴∠ABD=∠A，∴AD=BD，设AD=BD=x(cm)，∵AC=9cm，∴CD=(9-x)cm，∴（9-x）：x=1:2即：x=6，∴AD=6．故答案是：6．【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定定理以及含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握“直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半”是解题的关键．10．（2022·上海·八年级专题练习）如图，在梯形ABCD中，，AD＝3，AB＝CD＝4，∠A＝120°，则下底BC的长为__．【答案】7【分析】分别过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，分别利用解直角三角形的知识得出BE、CF的长，继而可得出答案．【详解】解：过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，∵AB＝4，∠B＝60°，∴∠BAE＝60°，∴BE＝2，同理可得CF＝2，故BC的长＝BE+EF+FC＝4+AD＝7．故答案为：7【点睛】此题考查了等腰梯形的性质，直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半，解答本题的关键是求出BE及CF的长度，要求我们熟练记忆等腰梯形的几个性质．三、解答题11．（2021·上海市建平实验中学八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°．（1）在BC边上求作一点N，使得AN＝BN；（不要求写作法，但要保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，求证：CN＝2BN．【答案】（1）见解析；（2）见解析【详解】（1）作线段AB的垂直平分线交于点，点即为所求；（2）根据等腰三角形的性质计算出∠C的度数，再计算出∠CAN的度数，然后根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得CN＝2AN，进而得到CN＝2BN．【解答】（1）解：如图，点即为所求；（2）证明：连接AN．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°．∴∠BAC＝180°﹣2∠B＝120°．∵AN＝BN，∴∠BAN=∠B＝30°∴∠NAC＝∠BAC﹣∠NAB＝120°﹣30°＝90°．∵∠C＝30°，∴CN＝2AN．∴CN＝2BN．【点睛】此题主要考查了作图，等腰三角形的性质以及含30度角的直角三角形，关键是正确画出图形，掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．12．（2022·上海·八年级专题练习）如图，平分，，，在上取一点，连接，使，．(1)求证：PC//OB；(2)求∠CPO的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据，可得，再由平分，可得，从而得到，即可求证；（2）根据角平分线的性质定理，可得，从而得到，进而得到，再由PC//OB，可得，即可求解．（1）证明：，，平分，，，∴PC//OB；（2）解：平分，，，，，，，，，∵PC//OB，，，．【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的性质定理，直角三角形的性质等知识，熟练掌握平行线的判定和性质，角平分线的性质定理，直角三角形的性质是解题的关键．【能力提升】一、单选题1．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如图，在中，AB=AC，∠B=30°，AD⊥AB，AD=4，则下列各式中正确的是（

）A．AB=8 B．BC=16 C．DC=4 D．BD=10【答案】C【分析】由等腰三角形的性质得出∠B=∠C=30°，∠BAD=90°，易证得∠DAC=∠C=30°，即CD=AD=4．Rt△ABD中，根据30°角所对直角边等于斜边的一半，可求得BD=2AD=8，由此可求得BC的长，利用勾股定理可求得AB的长，即可一一判断．【详解】∵AB=AC，∴∠B=∠C=30°，∵AB⊥AD，∴BD=2AD=2×4=8，故D选项错误；∠B+∠ADB=90°，∴∠ADB=60°，∵∠ADB=∠DAC+∠C=60°，∴∠DAC=30°，∴∠DAC=∠C，∴DC=AD=4，故C选项正确；∴AB=，故A选项错误；∴BC=BD+DC=8+4=12，故B选项错误；故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握等腰三角形的性质，求出BD和CD的长度是解决问题的关键．2．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如图，的三个内角比为1：1：2，且，则∠CBD是（

）A．5° B．10° C．15° D．45°【答案】C【分析】先依据三角形的内角和是180°，可计算出∠A=90°，∠ABC=45°，再利用含30度角的直角三角形的性质求得∠ABD=30°，即可求解．【详解】∵的三个内角比为1：1：2，∴∠A=180°=90°，∴∠ABC=45°，在Rt△ABD中，，∴∠ABD=30°，∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=15°．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理的应用，含30度角的直角三角形的性质，利用按比例分配的方法确定出三角形的类别是解题的关键．二、填空题3．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）等腰三角形的底边上的中线等于腰长的一半，则它的顶角为__________．【答案】120°【分析】根据等腰三角形三线合一的性质以及直角三角形的性质可求得等腰三角形的底角的度数，根据三角形内角和定理即可求得其顶角的度数．【详解】如图：△ABC中，BD=DC，∴∠ADB=90°，∵在Rt△ABD中，AD=AB，∴∠B=30°，∵AB=AC，∴∠C=30°，∴∠BAC=120°．故答案为：120°．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．4．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）等腰三角形的底角为15°，腰长为24cm，则这个三角形的面积为____________．【答案】144cm2【分析】过C点作AB边的高，交BA的延长线于点D，利用等腰三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质，求出CD的长，然后利用三角形面积公式即可得出答案．【详解】设△ABC的顶角为∠BAC，如图，过C点作AB边的高，交BA的延长线于点D，∵AB=AC，∠B=15°，∴∠B=∠BCA=15°，∴∠DAC=∠B+∠BCA=30°，在Rt△ACD中，CD=AC=12(cm)，∴S△ABC=AB•CD=×24×12=144(cm2)，故答案为：144cm2．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质，解得此题的关键是作出辅助线构造含30度角的直角三角形．5．（2021·上海市西南模范中学八年级期中）如图，在直角梯形ABCD中，，∠B＝90°，∠BCD＝60°，CD＝5．将梯形ABCD绕点A旋转后得到梯形，其中B、C、D的对应点分别是、、，当点落在边CD上时，点恰好落在CD的延长线上，那么的长为______．【答案】【分析】如图，可知，由旋转的性质可得是等边三角形，有，可知是斜边的中线，根据计算求解即可．【详解】解：如图，∵∠BCD＝60°，且在DC延长线上，∴，由旋转的性质可得，∴是等边三角形，∴∴∴∵DC＝5，∴故答案为：．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含30°的直角三角形等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用．6．（2022·上海·八年级专题练习）在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，AD是△ABC中∠CAB的平分线，点E在直线AB上，如果DE=2CD，那么∠ADE=____________.【答案】127.5°或7.5°【分析】过D作DF⊥AB于F，根据直角三角形DEF求出∠DEF=30°，求出结果．【详解】解：如图，过D作DF⊥AB于F，∵AD平分∠CAB，DF⊥AB，DC⊥AC，∴DF=DC，∠ADF=67.5°，当点E在线段AB上时，∵DE=2CD=2DF，∠DFE=90°，∴DEF=30°，∠EDF=60°，∴∠ADE=∠ADF-∠EDF=67.5°-60°=7.5°；当点E在线段AB的延长线上时，同理可得∠ADE=∠ADF+∠EDF=67.5°+60°=127.5°；综上述：∠ADE=7.5°或127.5°．【点睛】本题考查角平分线的性质和直角三角形的性质，解决问题的关键是遇到角平分线作垂线段．7．（2022·上海·八年级单元测试）在△ABC中，，△ABC的面积为3，过点A作AD⊥AB交边BC边于点D．设，．那么y与x之间的函数解析式_________________.（不写函数定义域）．【答案】【分析】取BD中点E，连接AE，过点A作，垂足为H．根据△ABC的面积计算出，再根据“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”，推导，同时由，可知，借助“30°角所对直角边是斜边的一半”可知，进而得到，然后整理即可得到y与x之间的函数解析式．【详解】解：取BD中点E，连接AE，过点A作，垂足为H，根据题意，，即，解得，∵在中，AD⊥AB，E为BD中点，∴，∴，又∵，∴，∴在中，，即有，整理得．∴y与x之间的函数解析式为．故答案为：．【点睛】本题主要考查了三角形面积的求解方法、直角三角形中斜边上的中线性质、30°角所对直角边是斜边的一半等知识，解题关键是准确作出辅助线，掌握三角形面积的求解方法．8．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）在Rt△中，∠B=90°，AC=16，BC=8，那么∠C=______度．【答案】60°【分析】根据直角三角形的性质可得∠A=30°，根据直角三角形两锐角互余即可得答案．【详解】∵Rt△ABC中，∠B=90°，AC=16，BC=8，∴BC=AC，∵Rt△ABC中，∠B=90°，∴∠A=30°，∴∠C=90°-∠A=60°．故答案为：60【点睛】本题考查直角三角形的性质，熟练掌握30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质是解题关键．9．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）在△ABC中，∠A+∠B＝∠C，且AB=2BC，∠B=_________．【答案】60°【分析】利用三角形内角和定理求得∠C=90°，在Rt△ACB中，AB=2BC推出∠A=30°，从而得出∠B的度数．【详解】根据三角形的内角和定理得，∠A+∠B+∠C=180°，∵∠A+∠B=∠C，∴∠C+∠C=180°，解得∠C=90°，在Rt△ACB中，∵AB=2BC，∴∠A=30°，∴∠B=90°-30°=60°．故答案为：60°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理的应用，含30度角的直角三角形的性质，灵活运用含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．10．（2022·上海·八年级单元测试）如图，在中，，，斜边BC的垂直平分线交边AB于点E，垂足为点D，取线段BE的中点F，联结DF，如果，则________．【答案】【分析】先根据线段垂直平分线的性质得AE=BE，再利用直角三角形斜边中线的性质得DF=BE，最后根据直角三角形30度的性质得AC=AE，从而得出，即可得出答案．【详解】证明：如图，连接CE，∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∠EDB=90°，∴∠EAB=∠B=15°，∴∠AEC=30°，Rt△EDB中，∵F是BE的中点，∴DF=BE，Rt△ACE中，∵∠AEC=30°，∴AC=AE，∴AC=DF=4．故