专项14-因式分解-九大题型

因式分解-九大题型【知识点1因式分解】定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。以上公式都可以用来对多项式进行因式分解，因式分解的常用方法：①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；②公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。③分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)④十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)因式分解的一般步骤：（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。【题型1因式分解的意义】【例1】（济宁）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（）A．x2﹣x﹣1＝x（x﹣1）﹣1 B．x2﹣1＝（x﹣1）2 C．x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2） D．x（x﹣1）＝x2﹣x【变式1-1】（儋州校级期末）下列各式不能因式分解的是（）A．a2﹣b2 B．a2﹣2a+1 C．ab﹣a D．a2+b2【变式1-2】（青川县期末）下列各式因式分解正确的是（）A．12a2+a+12=a2+2a+1＝（B．a2+ab﹣6b2＝a（a+b）﹣6b2 C．a2﹣b2﹣a﹣b＝（a+b）（a﹣b）﹣a﹣b D．a﹣2a2+a3＝a（1﹣2a+a2）＝a（1﹣a）2【变式1-3】（德惠市期末）给出六个多项式：①x2+y2；②﹣x2+y2；③x2+2xy+y2；④x4﹣1；⑤x（x+1）﹣2（x+1）；⑥m2﹣mn+14n2．其中，能够分解因式的是【题型2利用因式分解求系数的值】【例2】（攀枝花模拟）若关于x的多项式x2﹣px﹣6含有因式x﹣2，则实数p的值为（）A．﹣5 B．5 C．﹣1 D．1【变式2-1】（聊城期末）如果100x2+kxy+49y2能分解为（10x﹣7y）2，那么k＝．【变式2-2】（南山区校级期中如果x3+ax2+bx+4有两个因式（x+1）和（x+2），则a+b的值为．【变式2-3】（青羊区校级期中）已知x2+x﹣6是多项式2x4+x3﹣ax2+bx+a+b﹣1的因式，则a＝；b＝．【题型3利用公式法进行因式分解求代数式的值】【例3】（渠县校级期中）若a＝1999x+2000，b＝1999x+2001，c＝1999x+2002，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【变式3-1】（新吴区校级期中）（1）已知x+y＝4，xy＝2，求2x3y+4x2y2+2xy3的值；（2）已知x=112，化简并计算：（1﹣2x）2（2x+1）2﹣（3+2x）2（3﹣2x）【变式3-2】（洪泽区期中）一个长、宽分别为m、n的长方形的周长为16，面积为6，则m2n+mn2的值为．【变式3-3】（安顺模拟）已知m2＝4n+a，n2＝4m+a，m≠n，则m2+2mn+n2的值为（）A．16 B．12 C．10 D．无法确定【题型4利用平方差公式进行因式分解确定整除问题】【例4】（新泰市月考）两个连续的奇数的平方差总可以被k整除，则k等于（）A．6 B．8 C．6的倍数 D．8的倍数【变式4-1】（河北区期末）对于任意整数n，多项式（n+7）2﹣n2都能被（）A．2整除 B．n整除 C．7整除 D．n+7整除【变式4-2】（荔城区校级期中）对于任意的正整数n，能整除代数式（3n+1）（3n﹣1）﹣（3﹣n）（3+n）的整数是（）A．3 B．6 C．10 D．9【变式4-3】（招远市期末）已知424﹣1可以被60﹣70之间的某两个整数整除，则这两个数是（）A．61，63 B．63，65 C．65，67 D．63，64【题型5因式分解】【例5】（梅里斯区期末）因式分解（1）﹣3x3y2+6x2y3﹣3xy4；（2）3x（a﹣b）﹣6y（b﹣a）．【变式5-1】（聊城期末）把下列各式分解因式：（1）9xy2﹣15x3y；（2）﹣9x2y+3xy2﹣6xyz；（3）3m2n﹣6mn+3m；（4）﹣24a2b﹣8ab2+28ab3．【变式5-2】（碑林区校级开学）把下列各式分解因式：（1）4xyz﹣4x2yx﹣12xy2z；（2）20am+1b2m+4﹣12a2m+1bm+2；（3）﹣20c（a﹣b）2﹣25（b﹣a）3；（4）x（x﹣2）﹣x+2．【变式5-3】（寻乌县模拟）把下列各式分解因式：（1）6（a﹣b）2+3（a﹣b）；（2）x（x﹣1）﹣3x+4；（3）x2（y2﹣1）+2x（y2﹣1）+（y2﹣1）；（4）a5【题型6利用添项进行因式分解】【例6】（河北区期末）因式分解：x4+4y4【变式6-1】（寻乌县模拟）因式分解：x2﹣2ax﹣b2﹣2ab．【变式6-2】（永定区期中）把多项式x4+324因式分解．【变式6-3】（柳南区二模）分解多项式a5﹣1的结果是．【题型7利用拆项进行因式分解】【例7】（江油市期末）分解因式：m2+6m+8．【变式7-1】（微山县月考）分解因式：a2﹣6a+8．【变式7-2】（寻乌县模拟）把x2﹣4x+3因式分解．【变式7-3】（微山县月考）分解因式：a4+10a2b2+9b4．【题型8利用因式分解确定三角形的形状】【例8】（鱼台县期末）已知：a，b，c为△ABC的三边长，且2a2+2b2+2c2＝2ab+2ac+2bc，试判断△ABC的形状，并证明你的结论．【变式8-1】（市中区期末）△ABC三边a，b，c满足2a2+b2+c2＝2a（b+c），判断△ABC的形状，并说明理由．【变式8-2】（乐平市期末）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．【变式8-3】（临沂期末）已知a，b，c为△ABC的三边，且b2+2ab＝c2+2ac，试判断△ABC的形状并说明理由．【题型9因式分解在阅读理解中的运用】【例9】（市中区期末）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（x+1）+x（x+1）2＝（1+x）[1+x+x（x+1）]＝（1+x）2（1+x）＝（1+x）3（1）上述分解因式的方法是，共用了次．（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2021，则结果是．（3）依照上述方法分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）．【变式9-1】（徐闻县期末）阅读下列材料：材料1、将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）（1）x2+4x+3＝（x+1）（x+3）（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）材料2、因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：（1）根据材料1，把x2﹣6x+8分解因式．（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：①分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3；②分解因式：m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3．【变式9-2】（盱眙县期末）（1）学习“完全平方公式”时，小明遇到课本上一道题目“计算（a+b+c）2”，他联系所学过的知识和方法，想到两种解决思路；①可以用“整体思想”把三项式转化为两部分：[（a+b）+c]2或[a+（b+c）]2，然后可以利用完全平方公式解决，请你选择一种变形方法写出计算过程；②可以用“数形结合”的方法，画出表示（a+b+c）2的图形，根据面积关系得到结果．请你在下面方框中画出图形，并作适当标注．（2）利用（1）的结论分解因式：x2+y2+4﹣2xy+4x﹣4y＝；（3）小明根据“任意一个数的平方不小于0”，利用配方法求出了一些二次多项式的最大值或最小值，方法如下：①x2﹣6x+7＝x2﹣6x+9﹣2＝（x﹣3）2﹣2∵（x﹣3）2≥0∴（x﹣3）2﹣2≥﹣2．故当x＝3时代数式x2﹣6x+7的最小值为﹣2②﹣x2﹣2x+3＝﹣（x2+2x+1）+4＝﹣（x+1）2+4∵﹣（x+1）2≤0∴﹣（x+1）2+4≤4故当x＝﹣1时代数式﹣x2﹣2x+3的最大值为4请你参考小明的方法，求当x，y取何值时代数式2x2+y2﹣2xy﹣2x+20有最小值，并确定它的最小值．【变式9-3】（丰台区校级期中）阅读下列材料在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，使于观察如何进行因式分解我们把这种因式分解的方法称为“换元法”下面是小涵同学用换元法对多项式（x2+4x+1）（x2+4x+7）+9进行因式分解的过程．解：设x2+4x＝y原式＝（y+1）（y+7）+9（第一步）＝y2+8y+16（第二步）＝（y+4）2（第三步）＝（x2+4x+4）2（第四步）请根据上述材料回答下列问题：（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的．A．提取公因式法B．平方差公式法C．完全平方公式法（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：．（3）请你用换元法对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解（4）当x＝时，多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）﹣1存在最值（填“大”或“小”）．请你求出这个最值

因式分解-九大题型（解析版）【知识点1因式分解】定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。以上公式都可以用来对多项式进行因式分解，因式分解的常用方法：①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；②公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。③分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)④十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)因式分解的一般步骤：（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。【题型1因式分解的意义】【例1】（济宁）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（）A．x2﹣x﹣1＝x（x﹣1）﹣1 B．x2﹣1＝（x﹣1）2 C．x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2） D．x（x﹣1）＝x2﹣x【分析】根据因式分解的定义判断即可．【解答】解：A选项不是因式分解，故不符合题意；B选项计算错误，故不符合题意；C选项是因式分解，故符合题意；D选项不是因式分解，故不符合题意；故选：C．【变式1-1】（儋州校级期末）下列各式不能因式分解的是（）A．a2﹣b2 B．a2﹣2a+1 C．ab﹣a D．a2+b2【分析】利用平方差公式，完全平方公式，以及提取公因式方法判断即可．【解答】解：A、原式＝（a+b）（a﹣b），不符合题意；B、原式＝（a﹣1）2，不符合题意；C、原式＝a（b﹣1），不符合题意；D、原式不能分解，符合题意，故选：D．【变式1-2】（青川县期末）下列各式因式分解正确的是（）A．12a2+a+12=a2+2a+1＝（B．a2+ab﹣6b2＝a（a+b）﹣6b2 C．a2﹣b2﹣a﹣b＝（a+b）（a﹣b）﹣a﹣b D．a﹣2a2+a3＝a（1﹣2a+a2）＝a（1﹣a）2【分析】直接利用因式分解定理判断即可．【解答】解：A选项的系数不正确；B、C选项不是因式乘积形式，不正确；D，a﹣2a2+a3＝a（1﹣2a+a2）＝a（1﹣a）2是正确的．故选：D．【变式1-3】（德惠市期末）给出六个多项式：①x2+y2；②﹣x2+y2；③x2+2xy+y2；④x4﹣1；⑤x（x+1）﹣2（x+1）；⑥m2﹣mn+14n2．其中，能够分解因式的是【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．【解答】解：①x2+y2不能因式分解，故①错误；②﹣x2+y2利用平方差公式，故②正确；③x2+2xy+y2完全平方公式，故③正确；④x4﹣1平方差公式，故④正确；⑤x（x+1）﹣2（x+1）提公因式，故⑤正确；⑥m2﹣mn+14n故答案为：②③④⑤⑥．【题型2利用因式分解求系数的值】【例2】（攀枝花模拟）若关于x的多项式x2﹣px﹣6含有因式x﹣2，则实数p的值为（）A．﹣5 B．5 C．﹣1 D．1【分析】设x2﹣px﹣6＝（x﹣2）（x﹣a），右边利用多项式乘多项式法则计算，合并后根据多项式相等的条件即可求出p的值．【解答】解：根据题意设x2﹣px﹣6＝（x﹣2）（x﹣a）＝x2﹣（a+2）x+2a，∴﹣p＝﹣a﹣2，2a＝﹣6，解得：a＝﹣3，p＝﹣1．故选：C．【变式2-1】（聊城期末）如果100x2+kxy+49y2能分解为（10x﹣7y）2，那么k＝﹣140．【分析】根据完全平方公式展开，再根据对应项系数相等即可求解．【解答】解：∵（10x﹣7y）2，＝100x2﹣140xy+49y2，＝100x2+kxy+49y2，∴k＝﹣140．故应填﹣140．【变式2-2】（南山区校级期中如果x3+ax2+bx+4有两个因式（x+1）和（x+2），则a+b的值为13．【分析】根据题意，可得x3+ax2+bx+4＝（x+1）（x+2）（x+k）（k为任意实数），再根据多项式乘多项式的乘法法则，求出a与b，进一步求得a+b．【解答】解：由题意知：x3+ax2+bx+4＝（x+1）（x+2）（x+k）（k为任意实数）．∴x3+ax2+bx+4＝（x2+3x+2）（x+k）．∴x3+ax2+bx+4＝x3+（3+k）x2+（3k+2）x+2k．∴3+k＝a，3k+2＝b，2k＝4．∴k＝2．∴a＝5，b＝8．∴a+b＝5+8＝13．故答案为：13．【变式2-3】（青羊区校级期中）已知x2+x﹣6是多项式2x4+x3﹣ax2+bx+a+b﹣1的因式，则a＝16；b＝3．【分析】设另一个因式是：2x2+mx+n，计算（x2+x﹣6）（2x2+mx+n），展开以后与多项式2x4+x3﹣ax2+bx+a+b﹣1对应项的系数相同，即可列方程组求a、b的值．【解答】解：设另一个因式是：2x2+mx+n，则（x2+x﹣6）（2x2+mx+n）＝2x4+（m+2）x3+（m+n﹣12）x2+（n﹣6m）x﹣6n则：m+2=1解得：m=−1故答案是：16，3．【题型3利用公式法进行因式分解求代数式的值】【例3】（渠县校级期中）若a＝1999x+2000，b＝1999x+2001，c＝1999x+2002，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】将多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca转化为几个完全平方式的和，再将a＝1999x+2000，b＝1999x+2001，c＝1999x+2002分别代入求值．【解答】解：∵2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca）＝2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca＝（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2＝（1999x+2000﹣1999x﹣2001）2+（1999x+2000﹣1999x﹣2002）2+（1999x+2001﹣1999x﹣2002）2＝1+4+1＝6．∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝6×1故选：D．【变式3-1】（新吴区校级期中）（1）已知x+y＝4，xy＝2，求2x3y+4x2y2+2xy3的值；（2）已知x=112，化简并计算：（1﹣2x）2（2x+1）2﹣（3+2x）2（3﹣2x）【分析】（1）原式提取公因式后，利用完全平方公式分解，将x+y与xy的值代入计算即可求出值；（2）原式利用积的乘方变形，利用平方差公式分解得到结果，将x的值代入计算即可求出值．【解答】解：（1）∵x+y＝4，xy＝2，∴原式＝2xy（x+y）2＝64；（2）原式＝（1﹣4x2）2﹣（9﹣4x2）2＝﹣8（10﹣8x2）＝﹣80+64x2，当x＝112【变式3-2】（洪泽区期中）一个长、宽分别为m、n的长方形的周长为16，面积为6，则m2n+mn2的值为48．【分析】根据长方形周长与面积公式求出mn与m+n的值，原式提取公因式后，代入计算即可求出值．【解答】解：∵一个长、宽分别为m、n的长方形的周长为16，面积为6，∴2（m+n）＝16，mn＝6，即m+n＝8，mn＝6，则原式＝mn（m+n）＝48，故答案为：48【变式3-3】（安顺模拟）已知m2＝4n+a，n2＝4m+a，m≠n，则m2+2mn+n2的值为（）A．16 B．12 C．10 D．无法确定【分析】将m2＝4n+a与n2＝4m+a相减可得（m﹣n）（m+n+4）＝0，根据m≠n，可得m+n+4＝0，即m+n＝﹣4，再将m2+2mn+n2变形为（m+n）2，整体代入即可求解．【解答】解：将m2＝4n+a与n2＝4m+a相减得m2﹣n2＝4n﹣4m，（m+n）（m﹣n）＝﹣4（m﹣n），（m﹣n）（m+n+4）＝0，∵m≠n，∴m+n+4＝0，即m+n＝﹣4，∴m2+2mn+n2＝（m+n）2＝（﹣4）2＝16．故选：A．【题型4利用平方差公式进行因式分解确定整除问题】【例4】（新泰市月考）两个连续的奇数的平方差总可以被k整除，则k等于（）A．6 B．8 C．6的倍数 D．8的倍数【分析】首先设两个奇数分别是2n﹣1和2n+1，把两个数的平方差进行分解因式，即可求得．【解答】解：设两个奇数分别是2n﹣1和2n+1．则（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝4n×2＝8n则两个连续的奇数的平方差总可以被8整除．故选：B．【变式4-1】（河北区期末）对于任意整数n，多项式（n+7）2﹣n2都能被（）A．2整除 B．n整除 C．7整除 D．n+7整除【分析】逆用平方差公式进行运算后即可判断．【解答】解：（n+7）2﹣n2，＝（n+7+n）（n+7﹣n），＝7（2n+7）．∵n为整数，∴7（2n+7）是7的倍数，能被7整除．故选：C．【变式4-2】（荔城区校级期中）对于任意的正整数n，能整除代数式（3n+1）（3n﹣1）﹣（3﹣n）（3+n）的整数是（）A．3 B．6 C．10 D．9【分析】根据平方差公式，可化简整式，根据提取公因式，可得因数．【解答】解：（3n+1）（3n﹣1）﹣（3﹣n）（3+n）＝9n2﹣1﹣（9﹣n2）＝10n2﹣10＝10（n2﹣1），10能整除（3n+1）（3n﹣1）﹣（3﹣n）（3+n），故选：C．【变式4-3】（招远市期末）已知424﹣1可以被60﹣70之间的某两个整数整除，则这两个数是（）A．61，63 B．63，65 C．65，67 D．63，64【分析】先利用平方差公式分解因式，再找出范围内的解即可．【解答】解：424﹣1＝248﹣1＝（224+1）（224﹣1），＝（224+1）（212+1）（212﹣1），＝（224+1）（212+1）（26+1）（26﹣1）；∵26＝64，∴26﹣1＝63，26+1＝65，∴这两个数是65、63．故选：B．【题型5因式分解】【例5】（梅里斯区期末）因式分解（1）﹣3x3y2+6x2y3﹣3xy4；（2）3x（a﹣b）﹣6y（b﹣a）．【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式；（2）先利用相反数把（b﹣a）转化为（a﹣b），再提取公因式．【解答】解：（1）原式＝﹣3xy2（x2﹣2xy+y2）＝﹣3xy2（x﹣y）2；（2）原式＝3x（a﹣b）+6y（a﹣b）＝3（a﹣b）（x+2y）．【变式5-1】（聊城期末）把下列各式分解因式：（1）9xy2﹣15x3y；（2）﹣9x2y+3xy2﹣6xyz；（3）3m2n﹣6mn+3m；（4）﹣24a2b﹣8ab2+28ab3．【分析】（1）提取公因式3xy进行因式分解．（2）提取公因式﹣3xy进行因式分解．（3）提取公因式3m进行因式分解．（4）提取公因式﹣4ab进行因式分解．【解答】解：（1）9xy2﹣15x3y＝3xy（3y﹣5x2）．（2）﹣9x2y+3xy2﹣6xyz＝﹣3xy（3x﹣y+2z）．（3）3m2n﹣6mn+3m＝3m（mn﹣2n+1）．（4）﹣24a2b﹣8ab2+28ab3＝﹣4ab（6a+2b﹣7b2）．【变式5-2】（碑林区校级开学）把下列各式分解因式：（1）4xyz﹣4x2yx﹣12xy2z；（2）20am+1b2m+4﹣12a2m+1bm+2；（3）﹣20c（a﹣b）2﹣25（b﹣a）3；（4）x（x﹣2）﹣x+2．【分析】（1）利用提公因式分解即可解答；（2）利用提公因式分解即可解答；（3）利用提公因式分解即可解答；（4）利用提公因式分解即可解答．【解答】解：（1）4xyz﹣4x2yx﹣12xy2z＝4xyz（1﹣x﹣3y）；（2）20am+1b2m+4﹣12a2m+1bm+2＝4am+1bm+2（5bm+2﹣3am）；（3）﹣20c（a﹣b）2﹣25（b﹣a）3＝﹣20c（b﹣a）2﹣25（b﹣a）3＝﹣5（b﹣a）2[4c+5（b﹣a）]＝﹣5（b﹣a）2（4c+5b﹣5a）；（4）x（x﹣2）﹣x+2＝x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝（x﹣2）（x﹣1）．【变式5-3】（寻乌县模拟）把下列各式分解因式：（1）6（a﹣b）2+3（a﹣b）；（2）x（x﹣1）﹣3x+4；（3）x2（y2﹣1）+2x（y2﹣1）+（y2﹣1）；（4）a5【分析】（1）利用提公因式法分解；（2）先利用乘法法则化简整式，再利用完全平方公式因式分解；（3）先提取公因式，再利用完全平方公式和平方差公式分解；（4）先提取公因式，再利用完全平方公式和平方差公式分解．【解答】解：（1）6（a﹣b）2+3（a﹣b）＝3（a﹣b）[2（a﹣b）+1]＝3（a﹣b）（2a﹣2b+1）；（2）x（x﹣1）﹣3x+4＝x2﹣x﹣3x+4＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2；（3）x2（y2﹣1）+2x（y2﹣1）+（y2﹣1）＝（y2﹣1）（x2+2x+1）＝（y+1）（y﹣1）（x+1）2；（4）a5＝a（a4−12a2b2+1＝a（a2−14b2＝a（a+12b）2（a−12【题型6利用添项进行因式分解】【例6】（市中区期末）因式分解：x4+4y4【分析】运用添项法因式分解．【解答】解：x4+4y4＝x4+4x2y2+4y2﹣4x2y2，＝（x2+2y2）2﹣4x2y2，＝（x2+2y2+2xy）（x2+2y2﹣2xy）【变式6-1】（鱼台县期末）因式分解：x2﹣2ax﹣b2﹣2ab．【分析】运用添项法因式分解．【解答】解：x2﹣2ax﹣b2﹣2ab，＝x2﹣2ax+a2﹣a2﹣b2﹣2ab，＝（x﹣a）2﹣（a+b）2，＝（x﹣a+a+b）（x﹣a﹣a﹣b），＝（x+b）（x﹣2a﹣b）．【变式6-2】（永定区期中）把多项式x4+324因式分解．【分析】原式变形后，利用平方差公式分解即可．【解答】解：x4+324＝x4+36x2+324﹣36x2＝（x2+18）2﹣36x2＝（x2+18）2﹣（6x）2＝（x2+18+6x）（x2+18﹣6x）．【变式6-3】（柳南区二模）分解多项式a5﹣1的结果是．【分析】补上比第一项的指数小1的项逐次分解因式即可．【解答】解：原式＝a5﹣a4+a4﹣a3+a3﹣a2+a2﹣a+a﹣1＝a4（a﹣1）+a3（a﹣1）+a2（a﹣1）+a（a﹣1）+（a﹣1）＝（a﹣1）（a4+a3+a2+a+1）．故答案为：（a﹣1）（a4+a3+a2+a+1）．【题型7利用拆项进行因式分解】【例7】（江油市期末）分解因式：m2+6m+8．【分析】把8变为9﹣1，利用拆项法分解．【解答】解：m2+6m+8＝m2+6m+9﹣1＝（m+3）2﹣1＝（m+3+1）（m+3﹣1）＝（m+4）（m+2）【变式7-1】（市中区期末）分解因式：a2﹣6a+8．【分析】加1再减1，可以组成完全平方式；【解答】解：a2﹣6a+8，＝a2﹣6a+9﹣1，＝（a﹣3）2﹣1，＝（a﹣3﹣1）（a﹣3+1），＝（a﹣2）（a﹣4）【变式7-2】（寻乌县模拟）把x2﹣4x+3因式分解．【分析】常数项先加上1再减1，前三项构成完全平方式，再利用平方差公式因式分解，亦可把﹣4x写出﹣3x﹣x的形式，分组后提取公因式．【解答】解：法一、x2﹣4x+3+1﹣1＝x2﹣4x+4﹣1＝（x﹣2）2﹣1＝（x﹣2+1）（x﹣2﹣1）＝（x﹣1）（x﹣3）．法二、x2﹣4x+3＝x2﹣x﹣3x+3＝x（x﹣1）﹣3（x﹣1）＝（x﹣1）（x﹣3）．【变式7-3】（微山县月考）分解因式：a4+10a2b2+9b4．【分析】把9b4变为25b4﹣16b4，利用拆项法分解．【解答】解：a4+10a2b2+9b4＝a4+10a2b2+25b4﹣16b4＝（a2+5b2）2﹣（4b2）2＝（a2+5b2+4b2）（a2+5b2﹣4b2）＝（a2+9b2）（a2+b2）．【题型8利用因式分解确定三角形的形状】【例8】（鱼台县期末）已知：a，b，c为△ABC的三边长，且2a2+2b2+2c2＝2ab+2ac+2bc，试判断△ABC的形状，并证明你的结论．【分析】先根据完全平方公式进行变形，求出a＝b＝c，即可得出答案．【解答】△ABC是等边三角形．证明如下：∵2a2+2b2+2c2＝2ab+2ac+2bc，∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc＝0，∴a2﹣2ab+b2+a2﹣2ac+c2+b2﹣2bc+c2＝0，∴（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2＝0，∴（a﹣b）2＝0，（a﹣c）2＝0，（b﹣c）2＝0，得a＝b且a＝c且b＝c，即a＝b＝c，所以△ABC是等边三角形．【变式8-1】（鱼台县期末）△ABC三边a，b，c满足2a2+b2+c2＝2a（b+c），判断△ABC的形状，并说明理由．【分析】通过分组分解法把2a2+b2+c2＝2a（b+c）化为（a﹣b）2+（a﹣c）2＝0，然后利用平方的非负性，得出a＝b＝c，判断出△ABC是等边三角形．【解答】解：△ABC是等边三角形．理由如下：∵2a2+b2+c2＝2a（b+c），∴a2+a2+b2+c2＝2ab+2ac，a2+a2+b2+c2﹣2ab﹣2ac＝0，（a2﹣2ab+b2）+（a2﹣2ac+c2）＝0，（a﹣b）2+（a﹣c）2＝0，∵（a﹣b）2≥0，（a﹣c）2≥0，∴（a﹣b）2＝0，且（a﹣c）2＝0，∴a＝b＝c，∴△ABC是等边三角形．【变式8-2】（乐平市期末）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．【分析】先把a2﹣ab﹣ac+bc＝0因式分解，得出（a﹣b）（a﹣c）＝0，由此得出a＝b，或a＝c，或a＝b＝c，从而判断出△ABC是等腰三角形或等边三角形．【解答】解：∵a2﹣ab﹣ac+bc＝0，∴（a2﹣ab）+（﹣ac+bc）＝0，a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，（a﹣b）（a﹣c）＝0，∴a﹣b＝0或a﹣c＝0，a＝b且a＝c，即a＝b，或a＝c，或a＝b＝c，∴△ABC是等腰三角形或等边三角形．【变式8-3】（临沂期末）已知a，b，c为△ABC的三边，且b2+2ab＝c2+2ac，试判断△ABC的形状并说明理由．【分析】把b2+2ab＝c2+2ac进行整理可得：（2a+b+c）（b﹣c）＝0，而2a+b+c≠0，只能是b﹣c＝0，则有b＝c，即可判断△ABC是等腰三角形．【解答】解：△ABC是等腰三角形，理由：∵b2+2ab＝c2+2ac，∴b2﹣c2+2ab﹣2ac＝0，（b﹣c）（b+c）+2a（b﹣c）＝0，（2a+b+c）（b﹣c）＝0，∵2a+b+c≠0，∴b﹣c＝0，即b＝c，∴△ABC是等腰三角形．【题型9因式分解在阅读理解中的运用】【例9】（市中区期末）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（x+1）+x（x+1）2＝（1+x）[1+x+x（x+1）]＝（1+x）2（1+x）＝（1+x）3（1）上述分解因式的方法是提公因式法，共用了2次．（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2021，则结果是（1+x）2022．（3）依照上述方法分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）．【分析】（1）利用提公因式法，进行分解即可解答；（2）仿照已知的计算过程，即可解答；（3）仿照已知的计算过程，即可解答．【解答】解：（1）上述分解因式的方法是提公因式法，共用了2次，故答案为：提公因式法，2；（2）1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2021，则需要用上述方法2021次，结果是（1+x）2022，故答案为：（1+x）2022；（3）1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）＝（1+x）[1+x+x（x+1）+...+x（x+1）n﹣1]＝（1+x）2[（1+x+x（x+1）+...+x（x+1）n﹣2]..．＝（1+x）n+1．【变式9-1】（徐闻县期末）阅读下列材料：材料1、将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）（1）x2+4x+3＝（x+1）（x+3）（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）材料2、因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：（1）根据材料1，把x2﹣6x+8分解因式．（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：①分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3；②分解因式：m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3．【分析】（1）利用十字相乘法变形即可得；（2）①根据材料2的整体思想可以对（x﹣y）2+4（x﹣y）+3分解因式；②根据材料1和材料2可以对m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3分解因式．【解答】解：（1）x2﹣6x+8＝（x﹣2）（x﹣4）；（2）①令A＝x﹣y，则原式＝A2+4A+3＝（A+1）（A+3），所以（x﹣y）2+4（x﹣y）+3＝（x﹣y+1）（x﹣y+3）；②令B＝m2+2m，则原式＝B（B﹣2）﹣3＝B2﹣2B﹣3＝（B+1）（B﹣3），所以原式＝（m2+2m+1）（m2+2m﹣3）＝（m+1）2（m﹣1）（m+3）．【变式9-2】（盱眙县期末）（1）学习“完全平方公式”时，小明遇到课本上一道题目“计算（a+b+c）2”，他联系所学过的知识和方法，想到两种解决思路；①可以用“整体思想”把三项式转化为两部分：[（a+b）+c]2或[a+（b+c）]2，然后可以利用完全平方公式解决，请你选择一种变形方法写出计算过程；②可以用“数形结合”的方法，画出表示（a+b+c）2的图形，根据面积关系得到结果．请你在下面方框中画出图形，并作适当标注．（2）利用（1）的结论分解因式：x2+y