17.3.1 一元二次方程根的判别式 同步练习

17.3.1一元二次方程根的判别式（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．（2022·上海徐汇·八年级期末）下列方程中，没有实数根的是（

）A． B． C． D．2．（2022·上海市刘行新华实验学校八年级阶段练习）关于x的方程，下列说法中正确的是（

）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．无法确定3．（2022·上海市风华初级中学八年级期末）下列关于x的方程说法正确的是（

）A．没有实数根；B．有实数根；C．有两个相等的实数根；D．（其中m是实数）一定有实数根.4．（2022·上海·八年级期末）下列一元二次方程没有实数根的是（

）A．x2-2=0 B．x2-2x=0 C．x2+x+1=0 D．(x-1)(x-3)=05．（2022·上海·八年级期末）对于一元二次方程下列说法：①当时，则方程一定有一根为；②若则方程一定有两个不相等的实数根；③若是方程的一个根，则一定有；④若，则方程有两个不相等的实数根．其中正确的是（

）A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④二、解答题6．（2022·上海·八年级期末）求证：无论取何值时，关于的一元二次方程都没有实数根.【能力提升】一、单选题1．（2022·上海市罗星中学八年级期末）下列一元二次方程中，没有实数根的方程是（

）A．； B．； C．； D．．2．（2022·上海市张江集团中学八年级期末）下列方程中，没有实数解的是（

）A． B．C． D．3．（2022·上海·八年级专题练习）已知，则表达式a4+a3b+a2b2+ab3+b4的值为（）A．12499 B．12599 C．12699 D．127994．（2022·上海·八年级期中）下列关于x方程中，有实数根的是（）A． B． C． D．5．（2022·上海·八年级期末）已知为实数，则关于的方程的实数根情况一定是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个实数根 D．没有实数根6．（2022·上海·八年级期末）关于的一元二次方程的根的情况（

）A．有两个实数根 B．有两个不相等的实数根C．没有实数根 D．由的取值确定7．（2022·上海·八年级期末）如果一直角三角形的三边为a，b，c，∠B=90°，那么关于x的方程a（x2﹣1）﹣2cx+b（x2+1）=0的根的情况为（）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．没有实数根 D．无法确定根的情况8．（2022·上海田家炳中学八年级期中）下列方程中，有实数根的方程是（）A．x4+16＝0 B．x2+2x+3＝0 C． D．9．（2022·上海市民办扬波中学八年级期中）下列关于x的方程中，有实数根的是（

）A．x²+2x+3=0 B．x3+2=0 C． D．+3=0二、解答题10．（2022·上海市刘行新华实验学校八年级阶段练习）已知关于x的方程是一元二次方程．(1)求m的值；(2)解该一元二次方程．11．（2022·上海·八年级期末）阅读材料：对于任何实数，我们规定符号的意义是(1)按照这个规定请你计算的值(2)按照这个规定请你判断的值能否等于0，若能请求出x的值，若不能，请说明理由．

17.3.1一元二次方程根的判别式（解析版）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．（2022·上海徐汇·八年级期末）下列方程中，没有实数根的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用一元二次方程根的判别式，即可求解．【详解】解：A、，所以方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；B、，所以方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；C、，所以方程有两个相等的实数根，故本选项不符合题意；D、，所以方程没有的实数根，故本选项符合题意；故选：D【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握二次函数，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键．2．（2022·上海市刘行新华实验学校八年级阶段练习）关于x的方程，下列说法中正确的是（

）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．无法确定【答案】A【分析】计算出Δ=（-k）2-4×1×（k-2）=（k-2）2+4＞0即可得出结论．【详解】解：Δ=（-k）2-4×1×（k-2）=（k-2）2+4＞0，所以方程有两个不相等的实数根．故选：A．【点睛】本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．3．（2022·上海市风华初级中学八年级期末）下列关于x的方程说法正确的是（

）A．没有实数根；B．有实数根；C．有两个相等的实数根；D．（其中m是实数）一定有实数根.【答案】D【分析】要判定方程根的情况，首先求出其判别式，然后根据判别式的正负情况即可作出判断．【详解】解：A、移项得：，，故方程有两个不相等的实数根，说法错误；B、中，，故方程没有实数根，说法错误；C、中，，故方程没有实数根，说法错误；D、中，，故方程有两个不相等的实数根，正确；故选：D．【点睛】本题考查了根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系是本题的关键：Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；Δ＜0时，方程没有实数根．4．（2022·上海·八年级期末）下列一元二次方程没有实数根的是（

）A．x2-2=0 B．x2-2x=0 C．x2+x+1=0 D．(x-1)(x-3)=0【答案】C【分析】分别计算四个方程的根的判别式Δ＝b2﹣4ac，然后根据△的意义分别判断方程根的情况．【详解】解：A、Δ＝02﹣4×1×（﹣2）＝8＞0，方程有两个不相等的实数根，所以A选项不符合题意；B、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，方程有两个不相等的实数根，所以，B选项不符合题意；C、Δ＝12﹣4×1×1＝﹣4＜0，方程有没有的实数根，所以C选项符合题意；D、由原方程得到：x2﹣4x+3＝0，则Δ＝（﹣4）2﹣4×1×3＝4＞0，方程有两个不相等的实数根，所以D选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．5．（2022·上海·八年级期末）对于一元二次方程下列说法：①当时，则方程一定有一根为；②若则方程一定有两个不相等的实数根；③若是方程的一个根，则一定有；④若，则方程有两个不相等的实数根．其中正确的是（

）A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④【答案】C【分析】根据一元二次方程根的意义及根的判别式，逐项分析判断即可．【详解】解：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），△＝b2−4ac，①将x＝−1代入方程ax2＋bx＋c＝0，得a−b＋c＝0，即b＝a＋c．故①正确．②若ab＞0，bc＜0，则ac＜0，则△＝b2−4ac＞0，即方程ax2＋bx＋c＝0一定有两个不相等的实数根．故②正确．③将x＝c代入方程ax2＋bx＋c＝0，得ac2＋bc＋c＝0，得c＝0或ac＋b＋1＝0．故③错误．④若b＝2a＋3c，△＝b2−4ac＝（2a＋3c）2−4ac=4（a＋c）2＋5c2＞0，∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根．故④正确．所以正确的是①②④，故选C．【点睛】本题综合考查了一元二次方程根的意义及利用根的判别式判断方程的根的情况，解题的关键是熟知根的判别式．二、解答题6．（2022·上海·八年级期末）求证：无论取何值时，关于的一元二次方程都没有实数根.【答案】见解析.【分析】根据根的判别式即可得出答案．【详解】解：由题意可知：△=4-4（k2+4k+7）=4-4k2-16k-28=-4k2-16k-24=-4（k2+4k+6），∵k2+4k+6=k2+4k+4+2=（k+2）2+2＞0，∴△＜0，∴无论k取何值时，该方程都没有实数根．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练运用一元二次方程根的判别式，属于基础题型．【能力提升】一、单选题1．（2022·上海市罗星中学八年级期末）下列一元二次方程中，没有实数根的方程是（

）A．； B．； C．； D．．【答案】A【分析】根据方程和根的判别式逐个判断即可．【详解】A、，方程没有实数根，故本选项符合题意；B、，方程有两个不相等实数根，故本选项不符合题意；C、，方程有两个不相等实数根，故本选项不符合题意；D、，方程有两个不相等实数根，故本选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了根的判别式和一元二次方程，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键．2．（2022·上海市张江集团中学八年级期末）下列方程中，没有实数解的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】将y=-x-5代入二元二次方程化为一元二次方程，再利用根的判别式计算求值即可；【详解】解：由题意得：y=-x-5，A．化简得：，，△=1＞0，有实数解不符合题意；B．化简得：，，△=-3＜0，没有实数解符合题意；C．化简得：，，△=9＞0，有实数解不符合题意；D．化简得：，，△=49＞0，有实数解不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了二元二次方程组的解，掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．3．（2022·上海·八年级专题练习）已知，则表达式a4+a3b+a2b2+ab3+b4的值为（）A．12499 B．12599 C．12699 D．12799【答案】A【分析】设ab＝m，a+b＝n，构建关于m，n的方程组，求出m，n的值，正确得出ab，a+b的值，然后对所求式子变形可得结论．【详解】解：设ab＝m，a+b＝n，则有，解得或，当m＝11，n＝6时，ab＝11，a+b＝6，∴a（6﹣a）＝11，∴a2﹣6a+11＝0，∵Δ＝62﹣4×1×11＝﹣8＜0，∴方程无解，此种情形不成立，∴m＝6，n＝11，∴ab＝6，a+b＝11，∵a4+a3b+a2b2+ab3+b4＝a3（a+b）+（ab）2+b3（a+b）＝（a+b）（a3+b3）+（ab）2＝（a+b）2[（a+b）2﹣3ab）]+（ab）2＝112×（112﹣18）+62＝12499，故选：A．【点睛】本题考查一元二次方程，乘法公式，因式分解等知识，解题的关键是学会利用换元法解决问题，属于中考常考题型．4．（2022·上海·八年级期中）下列关于x方程中，有实数根的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】A中方程，移项并平方可得一次方程，求解得的值，判断将代入原方程中算术平方根是否有意义，若有则存在实数根；B中方程，移项并平方可得一次方程，该一次方程无解，故原方程无实数根；C中方程平方移项得x2﹣5x+7＝0，由于，此方程无实数根，故原方程无实数根；D中方程平方移项得x2﹣7x+11＝0，由于，可得此方程的解是：或，判断将代入原方程中算术平方根是否有意义，若有则存在实数根．【详解】解：A中∵∴平方得解得x＝2.5∵2﹣x＜0，算术平方根无意义∴原方程无实数根，故本选项不符合题意；B中∵∴平方得∴此方程无实数根，故本选项不符合题意；C中∵平方移项得x2﹣5x+7＝0∴此方程无实数根，故本选项不符合题意；D中∵平方移项得x2﹣7x+11＝0∴方程的解是：或∵，∴原方程有实数根，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了无理方程，一元二次方程的根，算术平方根的非负性等知识．解题的关键在于正确的进行求解．5．（2022·上海·八年级期末）已知为实数，则关于的方程的实数根情况一定是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个实数根 D．没有实数根【答案】C【分析】计算判别式的值，利用配方法得到△＝（m+2）2≥0，然后根据判别式的意义对各选项进行判断．【详解】解：∵a＝1，b＝－(m－2)，c＝－2m，∴，∵，∴，∴方程有两个实数根，故选：C．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2－4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．6．（2022·上海·八年级期末）关于的一元二次方程的根的情况（

）A．有两个实数根 B．有两个不相等的实数根C．没有实数根 D．由的取值确定【答案】B【分析】计算出方程的判别式为△=a2+8，可知其大于0，可判断出方程根的情况．【详解】方程的判别式为，所以该方程有两个不相等的实数根，故选：B．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式与方程根的情况是解题的关键．7．（2022·上海·八年级期末）如果一直角三角形的三边为a，b，c，∠B=90°，那么关于x的方程a（x2﹣1）﹣2cx+b（x2+1）=0的根的情况为（）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．没有实数根 D．无法确定根的情况【答案】A【分析】根据勾股定理，确立a2+c2=b2，化简根的判别式，判断根的情况就是判断△与0的大小关系．【详解】∵∠B=90°∴a2+c2=b2化简原方程为：（a+b）x2-2cx+b-a=0∴△=4c2-4（b2-a2）=4c2-4c2=0∴方程有两个相等实数根故选A．【点睛】考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根.8．（2022·上海田家炳中学八年级期中）下列方程中，有实数根的方程是（）A．x4+16＝0 B．x2+2x+3＝0 C． D．【答案】C【分析】利用在实数范围内，一个数的偶数次幂不能为负数对A进行判断；利用判别式的意义对B进行判断；利用分子为0且分母不为0对C进行判断；利用非负数的性质对D进行判断．【详解】解：A、因为x4＝﹣16＜0，所以原方程没有实数解，所以A选项错误；B、因为△＝22﹣4×3＝﹣8＜0，所以原方程没有实数解，所以B选项错误；C、x2﹣4＝0且x﹣2≠0，解得x＝﹣2，所以C选项正确；D、由于x＝0且x﹣1＝0，所以原方程无解，所以D选项错误．故选C．【点睛】此题考查判别式的意义，分式有意义的条件，二次根式，解题关键在于掌握运算法则9．（2022·上海市民办扬波中学八年级期中）下列关于x的方程中，有实数根的是（

）A．x²+2x+3=0 B．x3+2=0 C． D．+3=0【答案】B【分析】根据①分母=0，②中，被开方数a＜0时，③△＜0，满足①、②、③中的任何一个条件，方程都无实数根.【详解】A、x2+2x+3=0中，△=4-12=-8＜0，无实数根；B、x3+2=0中，有实数根；C、中，分母=0，无实数根；D、+3=0中，被开方数a＜0，无实数根；故选B．【点睛】本题考查了不解方程来判别方程根的情况，依据是：一元二次方程ax