17.2.4 一元二次方程求根公式 同步练习

17.2.4一元二次方程求根公式（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、填空题1．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）方程的解为________．二、解答题2．（2021·上海市川沙中学南校八年级期中）解方程：3．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）4．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）解方程：5．（2021·上海·八年级期中）解方程：．6．（2021·上海·八年级期中）解方程：7．（2019·上海市梅陇中学八年级期中）解方程：8．（2019·上海市浦东新区建平中学南校八年级阶段练习）解方程：(用公式法)9．（2021·上海普陀·八年级期末）解方程：x2﹣12x＝410．（2021·上海·虹口实验学校八年级期中）解方程：（x+2）（x﹣3）＝4x+8；11．（2021·上海市蒙山中学八年级期中）用公式法解方程：x2﹣2x﹣3＝0．12．（2021·上海市金山初级中学八年级期中）解方程：．13．（2022·上海·上外附中八年级期末）解方程：．14．（2022·上海·八年级期末）解方程：．15．（2022·上海·八年级期末）解方程：．【能力提升】一、填空题1．（2019·上海市南洋模范中学八年级阶段练习）已知等腰三角形的周长为20，腰长是方程的一个根，则这个等腰三角形的腰长为_______.2．（2022·上海·八年级专题练习）阅读理解：对于这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：理解运用：如果，那么，即有或，因此，方程和的所有解就是方程=0的解．解决问题：求方程的解为___________．二、解答题3．（2019·上海市松江区新桥中学八年级阶段练习）解方程：4．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）5．（2020·上海浦东新·八年级阶段练习）解方程：．6．（2019·上海市民办嘉一联合中学八年级阶段练习）解方程：（公式法）7．（2019·上海市民办桃李园实验学校八年级阶段练习）解方程：8．（2021·上海市培佳双语学校八年级期中）解方程：（x+5）（x﹣2）＝1．9．（2022·上海·八年级专题练习）设m是满足不等式1≤m≤50的正整数，关于x的二次方程（x﹣2）2+（a﹣m）2＝2mx+a2﹣2am的两根都是正整数，求m的值．10．（2021·上海·八年级期中）阅读理解：小明同学进入初二以后，读书越发认真．在学习“用因式分解法解方程”时，课后习题中有这样一个问题：下列方程的解法对不对？为什么？解：或．解得或．所以，．同学们都认为不对，原因：有的说该题的因式分解是错误的；有的说将答案代入方程，方程左右两边不成立，等等．小明同学除了认为该解法不正确，还给出了一种因式分解的做法，小明同学的做法如下：取与的平均值，即将与相加再除以2．那么原方程可化为左边用平方差公式可化为．再移项，开平方可得请你认真阅读小明同学的方法，并用这个方法推导：关于x的方程的求根公式（此时）．

17.2.4一元二次方程求根公式）（解析版）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、填空题1．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）方程的解为________．【答案】或【分析】首先把方程转化为一般形式，再利用公式法求解．【详解】（x-1）（x+3）=12x2+3x-x-3-12=0x2+2x-15=0x=，∴x1=3，x2=-5故答案是:3或-5．【点睛】考查了学生解一元二次方程的能力，解决本题的关键是正确理解运用求根公式．二、解答题2．（2021·上海市川沙中学南校八年级期中）解方程：【答案】，【分析】方程整理后，找出，，的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．【详解】解：方程整理得：，这里，，，，，即，．【点睛】此题考查了解一元二次方程的方法，本题适合公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．3．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）【答案】，．【分析】利用公式法即可求解【详解】解：∵，，．∴，∴，∴，．【点睛】本题主要考查了用公式法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．4．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）解方程：【答案】【分析】先计算根的判别式，再利用公式法解方程即可．【详解】解：由题意得：＞【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握利用公式法解一元二次方程是解题的关键．5．（2021·上海·八年级期中）解方程：．【答案】．【分析】根据公式法即可求解．【详解】解：a=3，b=-4，c=-1，∴方程有两个不相等的实数根=即．【点睛】此题主要考查解一元二次方程，解题的关键是熟知公式法的应用．6．（2021·上海·八年级期中）解方程：【答案】【分析】根据公式法即可求解.【详解】解：其中，得即或所以原方程的根是【点睛】此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知公式法的运用.7．（2019·上海市梅陇中学八年级期中）解方程：【答案】【分析】首先将原方程移项，然后利用公式法直接求解即可.【详解】原方程可化为：【点睛】此题主要考查利用公式法解一元二次方程，熟练掌握，即可解题.8．（2019·上海市浦东新区建平中学南校八年级阶段练习）解方程：(用公式法)【答案】x1=，x2=．【分析】先确定出a、b、c的值，然后再求得的值，再代入一元二次方程的求根公式求出即可．【详解】解：，==28，x=，x1=，x2=．【点睛】本题考查解一元二次方程-公式法：把x=（≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式；用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．9．（2021·上海普陀·八年级期末）解方程：x2﹣12x＝4【答案】x1＝6+2，【分析】利用求根公式求解即可．【详解】解：，，，，，△，则，，．【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．10．（2021·上海·虹口实验学校八年级期中）解方程：（x+2）（x﹣3）＝4x+8；【答案】x1=7，x2=-2【分析】方程整理为一般形式，利用公式法求出解即可．【详解】解：方程整理得：x2-5x-14=0，则a=1，b=-5，c=-14，∵b2-4ac=25+56=81＞0，∴x=，解得：x1=7，x2=-2．【点睛】此题考查了解一元二次方程-公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．11．（2021·上海市蒙山中学八年级期中）用公式法解方程：x2﹣2x﹣3＝0．【答案】x1=+，x2=-．【分析】先确定，然后求，代入公式化简计算即可．【详解】解：∵x2-2x-3=0，∴，∴，∴，∴x1=+，x2=-．【点睛】本题考查的是解一元二次方程，解答本题的关键是熟练掌握公式法的一般步骤：①一元二次方程化为一般式；②a、b、c的值；③计算△；④代入公式．12．（2021·上海市金山初级中学八年级期中）解方程：．【答案】，【分析】方程利用求根公式计算即可求出解．【详解】解：，，，，，即，．【点睛】本题考查了解一元二次方程公式法，解题的关键是熟练掌握求根公式．13．（2022·上海·上外附中八年级期末）解方程：．【答案】，【分析】将方程整理为一般形式，找出a，b及c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．【详解】解：，，，△，则，即，．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．14．（2022·上海·八年级期末）解方程：．【答案】，【分析】用公式法求解即可．【详解】解：∵，，，∴，∴．所以原方程的解为，．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法公式法，先求出∆的值，然后根据求解即可．15．（2022·上海·八年级期末）解方程：．【答案】，．【分析】直接利用公式法即可求出方程的解．【详解】利用公式法求解，根据方程可知，∴，∴．【点睛】本题考查用公式法求一元二次方程的解，熟记解一元二次方程的公式法是解题的关键．【能力提升】一、填空题1．（2019·上海市南洋模范中学八年级阶段练习）已知等腰三角形的周长为20，腰长是方程的一个根，则这个等腰三角形的腰长为_______.【答案】【分析】先求出方程的根，再根据三角形的三边关系分情况讨论求解即可.【详解】公式法解得：（1）当腰长为时，由周长可得，底边为，经检验，符合三角形的三边关系（）；（2）当腰长为时，由周长可得，底边为，经检验，不符合三角形的三边关系（）.故答案为：.【点睛】本题考虑一元二次方程的解法、三角形的三边关系.求出方程的解后，结合周长利用三角形的三边关系进行检验是解题关键.2．（2022·上海·八年级专题练习）阅读理解：对于这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：理解运用：如果，那么，即有或，因此，方程和的所有解就是方程=0的解．解决问题：求方程的解为___________．【答案】【分析】通过因式分解的方法把方程左边分解因式，这样把原方程转化为x−3＝0或x2＋3x−1＝0，然后解一次方程和一元二次方程即可．【详解】解：∵x3−10x＋3＝0，∴x3−9x−x＋3＝0，x（x2−9）−（x−3）＝0，（x−3）（x2＋3x−1）＝0，∴x−3＝0或x2＋3x−1＝0，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了高次方程：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．也考查了公式法解一元二次方程．二、解答题3．（2019·上海市松江区新桥中学八年级阶段练习）解方程：【答案】【分析】用公式法解一元二次方程【详解】解：整理，得：∴方程有两个不相等的实数根∴【点睛】本题考查公式法解一元二次方程，掌握公式正确计算是本题的解题关键.4．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）【答案】【分析】根据公式法可以解答本题．【详解】解：∵，∴a=9，b=，c=1，∴△=，∴方程有两个不相等的实数根，∴=，∴．【点睛】本题考查了解一元二次方程，解答本题的关键是明确解一元二次方程的方法．5．（2020·上海浦东新·八年级阶段练习）解方程：．【答案】，．【分析】首先通过判别式判断实数根的个数，然后应用公式法求解即可．【详解】由题意可知：，，∴∴原方程有两个不相等的实数根∴解得．所以原方程的解为，．故答案为，．【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握并灵活应用三种解一元二次方程的方法是关键．6．（2019·上海市民办嘉一联合中学八年级阶段练习）解方程：（公式法）【答案】【分析】先确定a、b、c的值，求出，再代入公式计算即可．【详解】解：∵a=3，b=-6，c=2，∴，∴∴原方程的解为．【点睛】此题考查公式法解一元二次方程，熟记公式是解题的关键．7．（2019·上海市民办桃李园实验学校八年级阶段练习）解方程：【答案】【分析】先化为一元二次方程一般式，利用求根公式求解即可．【详解】解：，，则可知，由公式法可知：，原方程的解为．【点睛】本题主要考查一元二次方程公式法，二次根式的除法，分母有理化，熟练掌握一元二次方程公式法，二次根式的除法，分母有理化方法是解题的关键．8．（2021·上海市培佳双语学校八年级期中）解方程：（x+5）（x﹣2）＝1．【答案】x1＝，x2＝【分析】先整理为一般式，再根据公式法解一元二次方程的步骤依次计算即可．【详解】解：整理为一般式，得：x2+3x﹣11＝0，∵a＝1，b＝3，c＝﹣11，∴Δ＝32﹣4×1×（﹣11）＝53＞0，则x＝＝，∴x1＝，x2＝．【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握公式法解一元二次方程的步骤是解答的关键．9．（2022·上海·八年级专题练习）设m是满足不等式1≤m≤50的正整数，关于x的二次方程（x﹣2）2+（a﹣m）2＝2mx+a2﹣2am的两根都是正整数，求m的值．【答案】1．4．9．16．25．36．49【分析】首先把方程进行整理，根据方程有两个正整数根，说明根的判别式△＝b2﹣4ac≥0，由此可以求出m的取值范围，然后根据方程有两个正整数根确定m的值．【详解】将方程整理得：x2﹣（2m+4）x+m2+4＝0，∴x＝＝2+m±2，∵x，m均是整数且1≤m≤50，∴m为完全平方数即可，∴m＝1．4．9．16．25．36．49．【点睛】本题考查了含字母系数的一元二次方程，解一元二次方程组，根的判别式，熟练公式是解题的关键．10．（2021·上海·八年级期中）阅读理解：小明同学进入初二以后，读书越发认真．在学习“用因式分解法解方程”时，课后习题中有这样一个问题：下列方程的解法对不对？为什么？解：或．解得或．所以，．同学们都认为不对，原因：有的说该题的因式分解是错误的；有的说将答案代入方程，方程左右两边不成立，等等．小明同学除了认为该解法不正确，还给出了一种因式分