第六讲：有限与无限

向雷锋同志学习把有限的生命投入到无限的为人民服务中去你怎么看？第六讲有限与无限的问题我们有时停留在认识“有限”，对“无限”的认识还不足教学内容：第三节有限与无限的问题教学目标：1.了解“初等数学”中的“有限”和“高等数学”中的“无限”。2.进一步认识“有限”与“无限”，体会“有限”与“无限”的本质区别和联系3.能从“有限与无限”的数学角度分析有关的问题5

一、什么是悖论

悖论：从“正确”的前提出发，经过“正确”的逻辑推理，得出荒谬的结论。

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例如：1.“甲是乙”与“甲不是乙”这两个命题中总有一个是错的；这是正确的前提。2.“本句话是七个字”与“本句话不是七个字”这两个命题，数一数它们的字数，这是正确的推理，又均是对的，这就是悖论。7

3.“万物皆数”学说认为“任何数都可表为整数的比”；但以1为边的正方形的对角线之长却不能表为整数的比，这也是悖论。（因为.“万物皆数”学说时，还没有“无理数”，当然也没有“有理数”概念，只是任何数都可表为整数的比）8

二、芝诺悖论

芝诺（前490？—前430？）是（南意大利的）爱利亚学派创始人巴门尼德的学生。他企图证明该学派的学说：“多”和“变”是虚幻的，不可分的“一”及“静止的存在”才是唯一真实的；运动只是假象。于是他设计了四个例证，人称“芝诺悖论”。这些悖论是从哲学角度提出的。我们从数学角度看其中的一个悖论。

1.四个芝诺悖论之一：阿基里斯追不上乌龟。

A1A2A3A4…Ana2a1a4a3102.症结：无限段长度的和，可能是有限的；无限段时间的和，也可能是有限的。例：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，每天取得的产度构成无穷递缩等比数列{an}½,1/4,1/8,1/16,1/32,…其和：½+1/4+1/8+1/16+1/32+…=1

3.芝诺悖论的意义：

1）促进了严格、求证数学的发展

2）较早的“反证法”及“无限”的思想(关于“反证法”，我们在前面已经经历过几次了，如“猜帽子的颜色”；证明“病狗的条数”等，这是重要的数学推理证明方法）

3）尖锐地提出离散与连续的矛盾：空间和时间有没有最小的单位？11

芝诺的前两个悖论是反对“空间和时间是连续的”，后两个悖论则是反对“空间和时间是离散的”。在芝诺看来，这两种理论都有毛病；所以，“运动只是假象，不动不变才是真实”。芝诺的哲学观点虽然不对，但是，他如此尖锐地提出了空间和时间是连续还是离散的问题，引起人们长期的讨论，促进了认识的发展，不能不说是巨大的贡献。12

三、“有无限个房间”的旅馆

1.“客满”后又来1位客人

1234┅k┅↓↓↓↓┅↓┅

2345┅k+1┅

空出了1号房间

13

2.客满后又来了一个旅游团，旅游团中有无穷个客人

1234┅k┅↓↓↓↓┅↓┅

2468┅2k┅

空下了奇数号房间

14

3.客满后又来了一万个旅游团，每个团中都有无穷个客人

1234┅k┅↓↓↓↓┅↓┅

10001200023000340004┅10001×k┅

给出了一万个、又一万个的空房间

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4.[思考题]

该旅馆客满后又来了无穷个旅游团，每个团中都有无穷个客人，还能否安排？16思考有题解沿答17答泊：能。法I.将所音有旅断游团浓的客者人统数一编产号排薯成下徒表，射按箭双头进胞入1，2，3，4，5，…各号症房间透顺序击入住谱，则揪所有陶人都债有房企间住羞。一团余：1.馋1谈→骡1乌.2筋1.衡3矮1.启4勒……↙齿↙悔↙二团婶：2.龟1馆2敲.2员2衔.3乏2碑.4亚…案…↙坦↙三团烦：3.耍1萍3摧.2箭3谷.3未3.罚4残…………备……黎……死……协……涉……乖……18法II攻.让每择个旅业游团枝占据申某固知定素钢数的振方幂由于贺素数富有无才穷多速个，爷正整骂数又馅“串唯一字析因互”，知，盆能安左排住餐下，农且还粪有空葬房，一团…掌…二团…画…三团…店……扶…其…辽…腔…年…源…枪…么…丛…附：袋证明尝“素材数有泪无穷现多个粮”（富反证尊法）19[思]该旅饱馆第矮一天易恰有仇一个腊客人腾，第后二天旦这个坝客人举离开满，又前来了扣两位战客人妹，以特后每镰天都齿有一扭位缸客人皱离开锻，又笑来了改两位素客人晃，无较穷多功天之粘后，进旅店玩老板咏发现看旅店氏里一功个客究人都菊没有与了，见这种甜情况蔽可能偏发生纱吗？20答推：可能姿发生文。将所斥有客祸人按1，2，3，4，5，…的次朋序编狡号，拨先到驻的客沾人编俯号在碧前。均如果忽编号仇在前炊的客任人先鹿离开睬，则计第n号客剖人在尊第n+民1天离效开，舌于是伤无穷隙多天掉之后略旅店漆里就骂没有则客人娘了。21[思]构造纵一个悼无穷楚多个资运动提员百血米赛菠跑，荷但结址果没叫有第凡一名岂的例辽子。皮（要荐求表灾达出扮每一割个运驼动员态的百叉米成债绩，墨且要左求接抓近实铅际：宪不能破跑进9秒）22解答运动员1234…百米成绩10秒9.9秒9.89秒9.889秒…另解…23[思]：构造引一个寄“部心分到柿整体捐的一悄一对吓应”译：从[0，1）→[0，+∞）。24答巾：即25的图毒像26四、拔无限贪与有跌限的珍区别溜和联绍系1.区别1）淡在无样限集布中，孤“部垄分可晴以等稍于全奶体”（这炮是无友限的慕本质鸦），杨而在翠有限创的情漫况下擦，长部用分总赠是小渣于全停体。27当初碰的伽利辈略悖佣论，就贝是因拖为没待有看障到“无限”的这剧一个喉特点贞而产拨生的位。1券2裤3稼4廉5吩6逝7虽8绵9翼1闭0志11私…n…↕炊↕海↕润↕铲↕栗↕爪↕呜↕慈↕抗↕蠢↕具↕慕↕1永4唱9候16指2绑5头3滑6霉4柴9震6泻4逮8抄1甲10惯0秤12健1朋…n2…[该两猫集合冠：有免一一糊对应伞，于愈是推垦出两束集合雨的元春素个托数相姑等；版但由炭“部观分小棉于全在体”戚，又汉推出邀两集恐合的啦元素没个数衬不相势等。笋这就拢形成起悖论渴。]28伽利肾略（Ga橡li湖le知oGa遵li夏le当i，15妨64泳-1吵64伙2），遣意大您利物刮理学票家、敲天文根学家浙和哲愈学家苍，近础代实薯验科蒜学的唤先驱佳者。292.）“有魔限”蚁时成楼立的代许多集命题来，对羡“无让限”雨不再野成立（1）实看数加芽法的开结合丹律在“宋有限水”的橡情况景下，广加法么结合懂律成立:(a+符b)抖+c=a+颤(b滤+c)，a，b，c30在“无限”的情厨况下否，加吹法结些合律愧不再先成立煎。如31有限低半群京若满宣足消疑去律目则一萍定是床群。√无限瓜半群脆若满廉足消弃去律撇则一导定是长群。×32（2）有且限级裹数一轧定有骗“和渴”。√是个棕确定害的数无穷芽级数监一定基有“落和”止。×则不赔是个符确定让的数宣。称舒为该级数降“发丙散”薪。反着之称宽为“芹收敛床”。33有限扁多个议无穷体小量航的乘努积一棕定还盛是无证穷小琴量。(所以应，高另等数方学中朋学习趴“无主穷小培量”笑性质践时应公注意云“有植限个船”的夕条件昏）无穷呀多个良无穷偏小量岩的乘慌积未轻必是自无穷祸小量博（甚样至可狂以是负无穷信大量轰）。342.联系在“乞有限渣”与坡“无节限”扒间建注立联芳系的陪手段充，往积往很勾重要膀。1）数锐学归抱纳法通过悦有限坛的步敲骤，脸证明沉了命处题对孤无限锤个自杯然数烟均成权立。2）极誓限通过筹有限歇的方科法，笼描写寺无限缠的过夕程。如：壶；换自处然数N，都问，使时，洞。353）无躁穷级殃数通过掌有限喘的步伶骤，蹄求出酸无限收次运谋算的拴结果刺，如4）递任推公沫式,a1=气*5）因技子链遍条件（抽略象代闸数中粮的术遮语）363.数学臂中的溉无限但在生秋活中则的反究映1）大参烟囱替是圆朝的：互每一发块砖玻都是躬直的（整惩体看炊又是犯圆的廊）(大家姨的经爽验：酸公园巷中通纵幽的份“曲阴径”疗是“找条石辰”修运成的希；圆镇形的脆石拱女桥；雪家中挪弧形昨的拱辟形装禽饰）2）锉胳刀锉高一个概光滑仿零件扬：每一斑锉锉叮下去角都是盟直的（许比多刀迹合在愁一起展的效具果又筛是光养滑的冒）（微尤积分完中有批“局烂部以误直代予曲”躺微分舱思想村）以下尼几个族近似斤计算枯公式芦就是练在“挺局部幸以直叛代曲纺”微熊分思捧想下咬所得准的结衰果当云很蜻小时叹，有粘：383）不规眠则图迟形的蛮面积擦：大家套都会熔求：烛正方畅形的夸面积涝，长党方形花的面乒积，吧三角逮形的暴面积落，多锈边形乒的面付积，捞圆面调积。但是喂，怎盒样求握不规餐则图腹形的炕面积回？法Ⅰ.用方踩格套守（想令像成罗透明任的）则。通摔过数钻方格桂数计杰算出达面积宏的近郊似值因。方案格越屿小，夸所得绿面积换越准（小学狗数学晃中让悦小学住生数缴方格翻，不携足一兆格当币半个）北师报大小它学数爬学五泪年级锦上册P2仁340法Ⅱ.（高策等数差学中截的方纠法：丢分割粥、求额和、迫取极居限——定积润分）首先赵转化笛成求怖曲边均梯形低的面脑积，汁（不盆规则拌图形散→若识干个姿曲边宁梯形近），胸再设球法求谅曲边完梯形售的面座积：肾划分项，求乞和，县矩形舍面积波之和~曲边典梯形类面积尺；越小嫌，就逆越精选确；沾再取瞎极嫂限课，就得裕到曲览边梯架形的炼面积举。=41五、总潜肯无限挨与实伸无限1．潜宴无限学与实剂无限升简史潜无庭限是洁指把认无限吊看成浑一个色永无誉终止俭的过猛程，爪认为鸭无限曲只存熄在于需人们蜡的思坟维中黎，只潜是说界话的览一种愉方式构，不粒是一雾个实坏体。42从古南希腊们到康辣托以型前的跌大多泡数哲树学家纽奉和数稍学家碰都持戚这种局潜无闷限的强观点刻。他山们认神为“稼正整印数集竹是无影限的锅”来华自我末们不肌能穷酬举所爸有正佣整数莲。例固如，陈可以梢想象失一个晚个正雅整数稻写在锦一张社张小爸纸条金上，领从1，2，3，…写起燃，每缠写一沾张，召就把护该纸厌条装咏进一煌个大挑袋子省里，夕那么姜，这疫一过朗程将劳永无阶终止甲。因此近，把皮全体订正整脉数的雅袋子姿看作适一个肿实体就是不就可能痕的，棉它只行能存促在于侮人们描的思护维里划。43但康摊托不嘱同意驶这一妈观点金，他仙很愿授意把四这个扛装有教所有些正整晨数的附袋子猪看作熔一个谊完整崇的实燃体。道这就沸是实村无限栽的观会点。康托快的工悲作是壁划时拔代的提，对插现代胖数学姻产生暂了巨疤大的杜影响欲，但薯当时匆，康梳托的卫老师珠克罗垃内克亮尔，扶却激恼烈反唉对康江托的伏观点充。所施以康爱托当吸时的叹处境雪和待粪遇都蜘不太捉好。44康托Ge资or闹g茄Fe谅rd由in煮an宿d番Ph课il窝ip另C只an招to都r眯(1描84鉴5～19猪18损)德国刑数学颈家，喇集合怀论的惑创始蒜者。18保45年3月3日生肝于圣赵彼得欠堡（翼今苏匹联列临宁格泻勒）收，19凉18年1月6日病慕逝于孟哈雷针。18不62年17岁时文入瑞睬士苏脾黎世除大学,翌年砍转入诵柏林暂大学,主修换数学胜，从穗学于E.添E.库默剥尔、K.（T.唇W.）外调尔斯奖特拉束斯和L.克罗茅内克吹。18钳66年曾晓去格璃丁根绪学习骨一学披期。18看67年在泽库默肆尔指床导下票以数及论方幸面的锋论文中获博堵士学秀位。18算69年在季哈雷炊大学俭通过缝讲师远资格颂考试翻，后翅即在京该大座学任鹅讲师酸，18穷72年任钳副教星授，18您79年任纳教授免。452．无仿限集厘合也填有“翁大小匀”——从“苏一一业对应搭”说抖起实无洲限的版观点脚让我市们知古道，闲同样议是无熔限集魔合，汁也可葬能有起不同撒的“大小”。正整味数集东合是衰最“小”的无锅限集猴合。实数钳集合凭比正凉整数锦集“大”。实志数集弃合上女全体宇连续扯函数挨的集撤合又坦比实胀数集规合更辈大。不存机在最“大”的无谦限集旦合（河即对冬于任劫何无纷限集蛙合，笛都能煎找到稻更“大”的无盆限集慨合）都。46这需战要“散一一相对应瓣”的蛇观点杜。1）“雅一一秤对应冈”——双射司（单肯射+满射亲）2）集篇合的咏势|A仇|—淡—集合等中元墓素的华多少3）|N兵|坛=可数滴无穷刘势a，|Q贞|=a4）|R评|剃=不可建数无急穷（榨称连挡续统迫势c）,：无扣理数圈比有香理数酒多得咳多。475）无叼穷集祖合可胜能有驳不同城的势妹，其从中最相小的封势是a；不盟存在次最大塘的势传。6）“母连续熄统假堆设”抽长期占未彻降底解擦决“连哨续统咸假设枯”：阀可数狗无穷a是无锋限集祸中最筝小的静势，给连续攀统势c是（芦否？咸）次匠小的死势。？48康托18故82年曾宣认为倒他证按明了稿这一瞧假设肆，后或来发遇现证明有凳错。19过00年希蜘尔伯哀特提前出的23个问梅题里读，连涉续统肃假设梯是第据一个详问题稼。19绒38年哥掩德尔庭证明乡丰了连蝴续统架假设贤对ZF公理立集合泉论是舱相容势的，19方63年科磁恩证饰明了港连续聚统假舌设对ZF公理陷集合基论是颂独立荒的。茎这样居，在ZF公理冤集合企论中柴，既缎不能喜证明够也不衰能否啦定连耳续统抱假设石。直到帝现在企，这楼一问王题仍树吸引摆着一咬些数浙学家架的兴沫趣。49分球妖怪论19脚24年巴虾拿赫浊（左巧）和辣塔斯解基（灾右）已首次趁提出疼这一婶定理友。50分球振怪论在选表择公盯理成队立的张前提刻下可协以将蚊一个厌三维导实心衰球分辩成有塑限多范块，娱然后半仅仅收通过植旋转震和平烘移将歇这有贯限多牛块重钩新组举合，购就可针以组相成两觉个半缓径和铺原来响相同饰的完闲整的奔球。苏这不狱是真洞正的划悖论沫，只笑不过颜意味砖着选膊择公众理可钟以导供致某碧些违牙反直插觉、配令人鼓惊讶基的结川果。51六．白哲学寸中的雅无限1．哲头学对润“无菠限”托的兴捆趣哲学喷是研公究整指个世犁界的胞科学汉。自关从提渡出“无限”的概权念，迫就引愧起了伞哲学桃家广夕泛的拜关注露和研纹究。团现在咳我们缎知道逗哲学洲中有涨下边砍一些候命题悉：52物质沃是无祖限的傲；时灿间与幻玉空间领是无述限的训；物步质的酒运动就形式哀是无唤限的咱。一个转人的采生命压是有码限的慢；一肤个人埋对客傍观世拣界的需认识惩是有牢限的已。532．数菠学对融“无哨限”阳的兴爆趣数学昌则更毁严密脆地研昼究有恼限与迷无限树的关众系，毙大大拨提高弹了人粉类认塔识无咳限的唯能力英。在用有限尤环境懂中生质存的豪有限突的人钓类，稼获得址把握品无限目的能艘力和脏技巧陵，那昌是人踏类的痛智慧棋；在受获得明这些智成果修过程德中体吧现出贩来的烂奋斗另与热鸟情，日那是湖人类欲的情片感；姿对无日限的谈认识籍成果雹，则店是人提类智等慧与帝热情被的共枪同结办晶。挪一个复人，恰若把颗自己薪的智遗慧与牌热情戴融入主数学味学习帝和数桌学研未究之偿中，亡就会炉产生查一种坐特别管的感所受。宿如果升这样垫，数桌学的下学习昂不仅生不是贯难事义，而振且会温充满当乐趣价。本讲料作业1.你现甚在怎仪样从距数学任的角沫度看孝“部圈分”蔽与“翅整体及”的钩关系零？你蒸相信勾“部俯分可毕以等殿于整梅体”语吗？帅如果亮相信爹，请兆举1个例颗子。2.你现链在怎对样从仙数学倾的角音度看友“直便”与场“曲愚”？躁请举1个“壤局部挡以直械代曲爷”的惨例子本讲冤结束棍，谢沃谢！56本节酬结束谢谢58抓三拜堆：有三探堆谷支粒（宏例如10蹦0粒、20乐0粒、30拉0粒）贱，甲胶、乙泥轮流振抓，家每次捕只能兼从一狸堆中鸡抓，小最少卖抓1粒，法可抓视任意居多粒毙；甲教先抓摩，规腐定谁教抓到障最后一把声谁赢宿。问老：甲棒应该懒如何商抓？浅为什沟么？59提示唯：二进运制60“抓三僚堆”的二宾进制调解法用二扰进制五表示景这三六堆谷浅粒数印，写火成三明行，泊并上括下对也齐，排各列粪相加绳，列爪的加嘱法定源义为这就扭是模2加法。（插只要原是2的倍傲数，瞎就记已为0）关于模2加法，可蚕以推态广；亭比如号推广盆为卖模7加法障：例1：1号是生星期浅一，赚问27号是输星期约几？解答：27号与1号相乘差26天，疯因为仓，肃说明兰过去3个7天之暖后，草