2024八年级数学上册提练第13招等腰三角形“三线合一”的七种常见题型习题课件新版沪科版

沪科版八年级上第13招等腰三角形“三线合一”的七种常见题型01教你一招02典例剖析03分类训练目

录CONTENTS等腰三角形中的“顶角平分线、底边上的高、底边上的

中线”，只要知道其中“一线”，就可以说明这条线同时也

是其他“两线”.运用等腰三角形“三线合一”的性质证明

角相等、线段相等或垂直关系，可减少证全等的次数，简化

解题过程.

等腰三角形“三线合一”的性质是证线段或角的倍

分关系或相等关系时常用的性质之一，解答含等腰三角形的

题型时，常常要考虑构造等腰三角形“三线合一”的基本图

形.本例通过作垂线，根据等腰三角形“三线合一”的性质

证角的倍分关系.

利用“三线合一”求角的度数1.

如图，一房屋屋架的顶角∠

BAC

＝100°，立柱

AD

⊥

BC

，斜梁

AB

＝

AC

.

求∠

B

，∠

C

，∠

BAD

，∠

CAD

的度数.【解】∵

AB

＝

AC

，∠

BAC

＝100°，

AD

⊥

BC

，∴∠

B

＝∠

C

＝40°，∠

BAD

＝∠

CAD

＝50°.12345678

利用“三线合一”求线段长

BA.2B.3C.4D.5(第2题)123456783.

[2024·阜阳颍州区期末]如图，已知∠

ABC

＝60°，点

P

在边

AB

上，

BP

＝10，点

E

，

F

在边

BC

上，

PE

＝

PF

.

若

BE

＝2，则

EF

的长为(

A

)A.6B.5C.4D.3(第3题)12345678【点拨】如图，过点

P

作

PD

⊥

BC

于点

D

，则∠

PDB

＝90°.∵∠

ABC

＝60°，∴∠

BPD

＝30°.

∵

BE

＝2，

BD

＝5，12345678∴

ED

＝

BD

－

BE

＝5－2＝3.∴

EF

＝2

ED

＝6.故选A.

【答案】A12345678

利用“三线合一”证角相等

求证：∠

ACE

＝∠

B

.

12345678【证明】如图，过点

A

作

AD

⊥

BC

于点

D

.

则∠

ADB

＝90°.

∵

CE

⊥

AE

，∴∠

E

＝90°.

∴Rt△

ABD

≌Rt△

ACE

(

HL

).∴∠

ACE

＝∠

B

.

12345678

利用“三线合一”证线段相等5.

如图，

AB

＝

AE

，

BC

＝

DE

，∠

B

＝∠

E

，

AM

⊥

CD

，垂足为

M

.

求证：

CM

＝

MD

.

12345678【证明】如图，连接

AC

，

AD

.

∴△

ABC

≌△

AED

(

SAS

).∴

AC

＝

AD

.

又∵

AM

⊥

CD

，∴

CM

＝

MD

.

12345678

利用“三线合一”判断三角形的形状6.

已知在△

ABC

中，∠

BAC

＝90°，

AB

＝

AC

，

D

为

BC

边的中点.(1)如图①，

E

，

F

分别是

AB

，

AC

上的点，且

BE

＝

AF

，试判断△

DEF

的形状，并说明理由.12345678

12345678∴

DE

＝

DF

，∠

BDE

＝∠

ADF

.

∵

AD

⊥

BC

，∴∠

ADB

＝90°.∴∠

EDF

＝∠

EDA

＋∠

ADF

＝∠

EDA

＋∠

BDE

＝∠

ADB

＝90°.∴△

DEF

为等腰直角三角形.12345678(2)如图②，

E

，

F

分别为

AB

，

CA

延长线上的点，

且仍有

BE

＝

AF

.

请直接判断△

DEF

是否仍为(1)

中的形状.【解】△

DEF

仍为等腰直角三角形.12345678

利用“三线合一”证线段的倍分关系

(构造三线法)7.

如图，已知在等腰直角三角形

ABC

中，

AB

＝

AC

，

∠

BAC

＝90°，

BF

平分∠

ABC

，

CD

⊥

BF

，交

BF

的延长线于点

D

.

求证：

BF

＝2

CD

.

12345678【证明】如图，延长

BA

，

CD

交于点

E

.

∵

BF

平分∠

ABC

，

CD

⊥

BD

，∴∠

EBD

＝∠

CBD

，∠

BDE

＝∠

BDC

＝90°.又∵

BD

＝

BD

，∴△

BDE

≌△

BDC

.

∴

BC

＝

BE

.

12345678又∵

BD

⊥

CE

，∴

CE

＝2

CD

.

∵∠

BAC

＝90°，∠

BDC

＝90°，∠

AFB

＝∠

DFC

，∴∠

ABF

＝∠

ACE

.

又∵

AB

＝

AC

，∠

BAF

＝∠

CAE

＝90°，∴△

ABF

≌△

ACE

.

∴

BF

＝

CE

.

∴

BF

＝2

CD

.

12345678【点方法】由角平分线与高线重合，构造等腰三角形，利用等腰

三角形“三线合一”证明线段的倍分关系.【点方法】由角平分线与高线重合，构造等腰三角形，利用等腰

三角形“三线合一”证明线段的倍分关系12345678

利用“三线合一”证线段的和差关系

(构造三线法)8.

如图，在△

ABC

中，

AD

⊥

BC

于点

D

，且∠

ABC

＝

2∠

C

.

求证：

CD

＝

AB

＋

BD

.

12345678【证明】如图，以点

A

为圆心，

AB

长为半径画弧交

CD

于点

E

，连接

AE

，则

AE

＝

AB

，∴∠

AEB

＝∠

ABC

.

∵

AD

⊥

BC

，∴

DE

＝

BD

.

∵∠

ABC

＝