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文档简介
沪科版八年级上第15章轴对称图形与等腰三角形集训课堂练素养4.“手拉手”(共顶点)模型的等腰三角形对于“手拉手”的两个等腰直角三角形，如图①所示，有下
面的结论：(1)△
ADG
≌△
CDE
；(2)
AG
＝
CE
；(3)
AG
与
CE
的夹角是
90°；(4)
HD
平分∠
AHE
.
当两个等腰直角三角形变为正方形时，如图②所示，上面的结论依然成立.模型1
共顶点的等腰直角三角形1.
已知△
ACB
和△
DCE
都是等腰直角三角形，∠
ACB
＝∠
DCE
＝90°，连接
AE
，
BD
交于点
O
，
AE
与
DC
交于点
M
，
BD
与
AC
交于点
N
.
(1)如图①，求证：
AE
＝
BD
；12
12(2)如图②，若
AC
＝
DC
，在不添加任何辅助线的情况
下，请直接写出四对全等的直角三角形.【解】△
ACB
≌△
DCE
，△
EMC
≌△
BNC
，△
AON
≌△
DOM
，△
AOB
≌△
DOE
.
12【点方法】如果两个等腰三角形共顶点且顶角相等，那么会
得到一对全等三角形，且改变两个三角形的相对位置
并不会改变三角形的全等关系.12模型2
共顶点的等边三角形2.
如图，在等边三角形
ABC
的边
AC
的延长线上取一点
E
，
以
CE
为边作等边三角形
CDE
，使
B
，
D
在
AE
的同侧，
AD
与
BE
交于点
O
，
AD
与
BC
交于点
P
，
BE
与
CD
交于
点
Q
，连接
PQ
，
OC
.
(1)求证：△
ACD
≌△
BCE
.
12【证明】∵△
ABC
和△
DCE
都是等边三角形，∴
BC
＝
AC
，
CE
＝
DC
，∠
BCA
＝
∠
DCE
＝60°，∴∠
ACD
＝∠
BCE
.
在△
ACD
和△
BCE
中，∵
AC
＝
BC
，∠
ACD
＝∠
BCE
，
DC
＝
EC
，∴△
ACD
≌△
BCE
(
SAS
).12(2)∠
AOB
的度数为
.60°
【点拨】∵△
ACD
≌△
BCE
，∴∠
DAC
＝∠
CBE
.
∵∠
ACB
＝∠
DCE
＝60°，∴∠
BCD
＝60°.∵△
DCE
是等边三角形，∴∠
EDC
＝60°＝∠
BCD
，∴
BC
∥
DE
，∴∠
CBE
＝∠
DEO
，∴∠
DAC
＝∠
DEO
，∴∠
AOB
＝∠
DAC
＋∠
BEC
＝∠
DEO
＋∠
BEC
＝∠
DEC
＝60°.12(3)写出图中其他的2对全等三角形，并选一对说明理由.【解】△
ACP
≌△
BCQ
，△
CQE
≌△
CPD
.
选择证明△
ACP
≌△
BCQ
，过程如下：∵∠
BCQ
＝60°，∴∠
ACB
＝∠
BCQ
＝60°.在△
ACP
与△
BCQ
中，∵∠
CAP
＝∠
CBQ
，
AC
＝
BC
，∠
ACP
＝∠
BCQ
，∴△
ACP
≌△
BCQ
(
ASA
).(答案不唯一)12(4)猜想
PQ
和
AE
的位置关系，并说明理由.【解】
PQ
∥
AE
.
理由如下：∵△
ACP
≌△
BCQ
，∴
PC
＝
QC
.
又∵∠
BCD
＝60°，∴△
PCQ
是等边三角形，∴∠
CPQ
＝60°，∴∠
ACB
＝∠
CPQ
，∴
PQ
∥
AE
.
12(5)求证：
OC
平分∠
AOE
.
【证明】如图，过点
C
分别作
CM
⊥
OA
于点
M
，
CN
⊥
OE
于点
N
，则∠
AMC
＝∠
CNB
＝∠
OMC
＝90°.在△
MAC
和△
NBC
中，∵∠
AMC
＝∠
BNC
，∠
MAC
＝∠
NBC
，
AC
＝
BC
，12∴△
MAC
≌△
NBC
(
AAS
)，∴
MC
＝
NC
.
在Rt△
MOC
和Rt△
NOC
中，∵
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