2024-2025学年安徽省“皖中名校联盟”高二（上）第二次教学质量检测数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年安徽省“皖中名校联盟”高二（上）第二次教学质量检测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若复数z满足z(1+i)=−4+2i(i是虚数单位)，则|z|等于(

)A.10 B.10 C.252.命题p:−3≤x≤2，q:x≤a，若q的一个充分不必要条件是p，则a的取值范围是(

)A.(−3,+∞) B.[−3,+∞) C.(2,+∞) D.[2,+∞)3.焦点在y轴上，且长轴长与短轴长之比为2:1，焦距为43的椭圆方程为(

)A.x24+y216=1 B.4.已知空间向量a=(2,−1,1),b=(m,−3,3)，若a与b的夹角是锐角，则m的取值范围是A.(−∞,−6)∪(−6,3) B.(−∞,3)

C.(−3,6)∪(6,+∞) D.(−3,+∞)5.已知直线mx+3y+m−1=0与直线x+(m+2)y+2m−2=0平行，则m的值为(

)A.3 B.−3 C.1或−3 D.−1或36.已知圆C:(x−3)2+(y−3)2=4，一条光线从点A(−1,2)处射到直线l:x+y=0上，经直线lA.(−∞,0]∪[2021,+∞) B.[0,2021]7.为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育文化”知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩(满分100分，成绩取整数)整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法不正确的是(

)

A.a的值为0.005 B.估计这组数据的众数为75

C.估计这组数据的平均数为70 D.估计成绩低于60分的有250人8.成语“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，意思是在小小的军帐之内作出正确的部署，决定了千里之外战场上的胜利．“帷幄”是古代打仗必备的帐篷，又称“幄帐”，如图是一种幄帐示意图，帐顶采用“五脊四坡式”，四条斜脊的长度相等，一条正脊平行于底面．若各斜坡面与底面所成二面角的正切值均为12，底面矩形的长与宽之比为2:1，则正脊与斜脊长度的比值为(

)

A.23 B.43 C.34二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是(

)A.若m⊥β，α//β，则m⊥α B.若n⊥α，n⊥β，则α//β

C.若m//α，n//α，则m//n D.若m⊥α，α⊥β，则m//β10.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1棱长为1，PA.BP的最小值为62

B.当P在A1D上运动时，都有C1P⊥BD1

C.当P在直线A11.已知函数f(x)=2x+1,x≤0loA.函数f(x)的值域为[−1,+∞)

B.方程f(x)=2有两个不等的实数解

C.关于x的方程f2(x)−(a+1)f(x)+a=0的解的个数可能为2，3，4，5

D.不等式f(f(x))>0三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知sinα=45，且α为第二象限角，则sin13.过点A(−1,3)的直线l被圆x2+y2=9截得的弦长为414.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F1，右焦点为F2四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)在如图所示的平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=1,AD=2,AA1=2(1)用a，b，c表示AC1，BD(2)求AC(3)求异面直线BD1与AC16.(本小题15分)已知ΔABC的顶点A(5,1)，边AB上的中线CM所在的直线方程为x−y=0，边AC上的高BH所在直线方程为5x+y−10=0，求：(1)顶点C的坐标；(2)直线BC的方程．17.(本小题15分)已知椭圆C:x2a2+(1)求椭圆C的方程；(2)椭圆C的右焦点为F，点P为椭圆C上不同于顶点的一点，若直线AP，FP与y轴相交，交点分别为M，N，且|OM|⋅|ON|=94，求点P18.(本小题17分)在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB//DC，AB⊥AD，CD=AD=12AB，∠PAD=45∘，E是PA的中点，G(1)求证：DE//平面PBC；(2)求平面PGC与平面PBC夹角的余弦值；(3)在线段PA上是否存在点H，使得GH与平面PGC所成角的余弦值是63，若存在，求出AH19.(本小题17分)已知动点M与两个定点O(0,0)，A(−3,0)的距离的比为12，动点M的轨迹为曲线C(1)求C的轨迹方程，并说明其形状；(2)过直线x=−3上的动点P(−3,p)分别作C的两条切线PQ，PR(Q、R为切点)，B(1,0)，PB交QR于点N．(ⅰ)证明：直线QR过定点，并求该定点坐标；(ⅱ)是否存在点P，使ΔABN的面积最大？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案1.A

2.D

3.A

4.C

5.B

6.B

7.C

8.B

9.AB

10.ABC

11.ACD

12.−2413.x=−1

或

4x+3y−5=0

14.515.解：(1)AC1=a+b+c，BD1=−a+b+c，AC=a因为|A所以|AC1|=

33

，即(3)因为BD1=同理可求得|BD1|=

15

，又因为BD所以cos〈BD1，AC所以异面直线AC与BD1所成角的余弦值为|cos〈BD1

16.解：(1)由于

BH⊥AC

，且

BH

的直线方程为

5x+y−10=0

，所以

kBH=−5故

kAC=15

，所以

AC

所在的直线方程为由于

AB

边上的中线

CM

所在的直线方程为

x−y=0

，所以

y=15xx−y=0

，解得

故点

C(0,0)

；

(2)设点

B(m,n)

，则

AB

的中点

M

(m+52由于点

M

在直线

x−y=0

上，所以

m+52−n+12=0

同时点

B

在直线

5x+y−10=0

上，所以

5m+n−10=0

，故

m−n+4=05m+n−10=0

，解得

m=1n=5

，即点

B(1,5)所以

kBC=5

，所以直线

BC

的方程为

5x−y=0

17.解：(1)由题意可得

a=2

，

b=3所以椭圆

C

的方程为

x24(2)如图

法一：设

P(x0

，

y0)

，其中

−2<x0<2因为直线

AP

，

FP

与

y

轴相交，所以直线

AP

，

FP

斜率都存在，直线

AP

方程为

y=y0x0−2(x−2)

，令

x=0直线

FP

方程为

y=y0x0−1(x−1)

，令

x=0

所以

|OM|⋅|ON|=|−2y又因为

x024+y代入

|2y02(x整理得

|2(2−x0)(2+x0)所以

x0=7

或

x0又因为

−2<x0<2

，

x0≠0

所以点

P

的横坐标为

−15法二：由题意直线

AP

斜率存在，且不为0，设直线

AP

的方程为

y=k(x−2)

，令

x=0

，得

yM=−2k由

y=k(x−2),x24+y23=1,

得

设

P(x0

，

y0)

，其中

−2<x0<2

且

由韦达定理知

2⋅x0=16k2直线

FP

的方程为

y=y0令

x=0

，得

yN=所以

|OM|⋅|ON|=|−2k||12k4所以

k2=−2720

(舍)或

代入

x0=8k2−64满足

−2<x0<2

，

所以点

P

的横坐标为

−15

18.证明：(1)取PB的中点M，连结EM，CM，

∵CD//AB，且CD=12AB，E，M分别是PA、PB的中点，

∴EM/​/AB，且EM=12AB，

∴EM/​/CD，且EM=CD，∴四边形CDEM为平行四边形，

∴DE/​/CM，

∵CM⊂平面PBC，DE⊄平面PBC，

∴DE/​/平面PBC．

(2)∵∠PAD=45°，PD⊥平面ABCD，AD、DC在平面ABCD内，

∴PD⊥DC，PD⊥AD，设DA=1，∴PD=AD=1，

又因为AB⊥AD，AB

//

DC，所以DC⊥AD，

可得DA、DC、DP两两垂直，如图，以D为原点，DA、DC、DP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

则A(1,0,0)，B(1,2,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，

设点G(1,t,0)，则CG=(1,t−1,0)，DB=(1,2,0)，

∵CG⊥BD，可得t=12，∴G(1,12,0)，

设平面GPC的法向量n=(x1,y1,z1)，CG=1,−12,0，

由n⋅PC=0n⋅GC=0，得−y1+z1=0x1−12y1=0，取x1=1，得n=(1,2,2)，

设平面PBC的法向量为m=(x,y,z)，

BC=(−1,−1,0)，CP=(0,−1,1)，则m·BC=0m·CP=0，即−x−y=0−y+z=0,

令y=1，则x=−1，z=1，∴

sinθ=|cos整理得：

20λ2+8λ−1=0

，解得：

λ=110

，

λ=−12

∴

存在满足条件的点

H

，

AH=(−110,0,110

19.解：(1)设

M(x,y)

，由题目条件有

|MO||MA|=化简整理得

(x−1)2+故曲线

C

是以

(1,0)

为圆心，2为半径的圆；(2)如图：

(i)

因为

PQ⊥QB

，

PR⊥RB

，所以点

Q

、

R

在以

PB

为直径的圆

C1

可求得圆

C1

的方程为

(x+1)2+(y−所以直线

QR

为圆

C1

与圆

C

由①

−

②，整理得

4x−py=0

，即直线

QR

的方程为4x−py=0，故直线

QR

恒过定点

(0,0)

；

(ii)