动点问题总结

动点问题及练习题

一.概念：“动点型问题”就是指题设图形中存在一个或多个动点

二.关键：动中求静、

数学思想：分类函数方程数形结合转化

三、类型：

专题一：建立动点问题得函数解析式

1、应用勾股定理建立函数解析式。

2、应用比例式建立函数解析式。

3、应用求图形面积得方法建立函数关系式。

专题二：函数中因动点产生得相似三角形问题

1.相似三角形得证明

2.相似三角形得性质

例题2、正方形A3CD边长为4,M、N分别就是8C、CD上得两

个动点，当“点在BC上运动时，保持AM与MN垂直，

(1)证明：RtAABMRt^MCN；

(2)设梯形A8CN得面积为y,求y与x之间得函数关系式;

当M点运动到什么位置时，四边形ABCN面积最大，并求出最大面积;

(3)当M点运动到什么位置时RtAABMsRtAAMN,求此时x得值.

专题三：以圆为载体得动点问题

例题例如图，已知直角梯形ABCD中,AD〃BC,NA

BMC

AD=3cm,BC=9cm.OOI得圆心01从点A开始沿A一D一C折线以Icm/s

得速度向点C运动，。02得圆心02从点B开始沿BA边以百cm/s得

速度向点A运动，如果。01半径为2cm,。02得半径为4cm,若01、

02分别从点A、点B同时出发，运动得时间为ts

请求出。02与腰CD相切时t得值；

练习题

1、如图，在平行四边形ABCD中，AD=4cm,Z

A=60°,BD_LAD、一动点P从A出发，以每秒1cm

得速度沿A-B-C得路线匀速运动，过点P作直线PM,使PM_LAD、

(1)当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E,求4APE得面

积；

(2)当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A-B-C得路线运

动，且在AB上以每秒1cm得速度匀速运动，在BC上以每秒2cm得

速度匀速运动、过Q作直线QN,使QN〃PM、设点Q运动得时间为

t秒(OWtWIO),直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形得面积

为Scm2、

①求S关于t得函数关系式；②(附加题)求S得最大值。

2、如图，在梯形A8CQ中，AD//BC,AD=3,DC=5,AB=4夜，ZB=45°.

动点M从B点出发沿线段以每秒2个单位长度得速度向终点C运

动；动点N同时从C点出发沿线段CO以每秒1个单位长度得速度向

终点。运动.设运动得时间为f秒.

(09年济南中考)(1)求5c得长。

(2)当时，求f得值.

(3)试探究：f为何值时，△MNC为等腰三角形.

3、如图，在Rt△/如中，/AOB=9U°，%=3cm,仍=4c点0

为坐标原点建立坐标系，设只0分别为AB、二得动点它们祠时

分别从点从。向〃点匀速运动，速度均为1cm/秒，设入0移动时

间为t(0W1W4)

(1)求相得长，过点尸做乃红处于弘求出产点得坐标(用力表

示)

(2)求△07®面积S(cm?),与运动时间t(秒)之间得函数关系式,

当［为何值时，S有最大值？最大就是多少？

(3)当方为何值时，△〃图为直角三角形？

(4)若点尸运动速度不变，改变0得运动速度，使为正

自A点出发沿A-B-C-0得路线移动，速度为每秒1个单位，移动

时间记为t秒,

(1)动点P在从A到B得移动过程中，设4APD得面积为S,试写出

S与t得函数关系式，指出自变量得取值范围，并求出S得最大值

(2)动点P从出发，几秒钟后线段PD将梯形COAB得面积分成1：3

两部分？求出此时P点得坐标

5、如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B得坐

标分别为(3,0),(3,4)o动点MN分别从0、B同时出发，以每

秒1个单位得速度运动。其中，点M沿0A向终点A运动，点N沿BC

向终点C运动。过点N作NPJ_AC,交AC于P,连结MP。已知动点运

动了x秒。

(1)P点得坐标为()；(用含x

得代数式表示)

(2)试求/MPA面积得最大值，并求此时x得值。

(3)请您探索：当x为何值时，Z1MPA就是一个等腰三角形？您发

现了几种情况？写出您得研究成果。

6在三角形ABC中，

=60°,BA=24cm,BC—16cm、现有动点

(第26题)

从点A出发,沿射线AB向点B方向运动;动点Q从点C出发,沿射线

CB也向点B方向运动、如果点P得速度就是4c加/秒，点Q得速度就是

25/秒,它们同时出发，求：⑴几秒钟后，APBQ得面积就是△ABC得

面积得一半？(2)在第⑴问得前提下,P,Q两点之间得距离就是多少?

7、如图，已知直角坐标系内得梯形AOBC(0为原点)，AC〃0B,0C

_LBC,AC,0B得长就是关于x得方程x2—(k+2)x+5=0得两个根，且

SAAOC：SABOC=1：5。

(1)填空：0C=,k=；

(2)求经过0,C,B三点得抛物线得另一个交点为D,动点P,Q分

别从0,D同时出发，都以每秒1个单位得速度运动，其中点P沿0B

由0—B运动，点Q沿DC由D-C运动，过点Q作QM_LCD交BC于点

M,连结PM,设动点运动时间为t秒，请您探索：当t为何值时，△

P跳B就是直角三角形。Ay

例题2、，(3)N3=NAMN=90。，A

/.要使AA8A,必须有//

MNB

第24题

当点M运动到BC得中点时，△ABMs△AMN,此时-x=2.

例题4,、解：(1)当氏E,6三点共线时，两点同时停止运动，如

图2所示.由题意可知：E2t,除8,FD=2广4,FC=2t.

FDFD

'：ED//BC,:.△FED^XFBC..

FCBC

解得E...当2时，两点同时停止运动

(2)'：ED=t,CF=2t,：.S=S^S^-X8X4+1X2tXi=16+t2.

22

即916+t2.(0WtW4)；

(3)①若〃七/时，则点夕只能在⑦得延长线上，

欧=(2r—4)2+*=5/一16,+16,

威=4?+/=产+16,5r2-16/+16=r2+16.工i=4或依(舍去)；

②若刀时，•.•％=42+〃=〃+16,"=4巴...r+16=4上.•.，=gG；

③若郎文时，:*(2.4)2+*=5'-16/+16,FC=4九

：.5r-16r+16=4t2....♦=16+86(舍去)，-=16-86

...当方得值为4,g百，16-8百时，以反F,。三点为顶点得

三角形就是等腰三角形；

(4)在RtZXaF与Rt△皈中，:4BCF/CD方90°，—=—=2,

CDED

:.RSBCFSRSCED.：.ABF(=ACED.

VAD〃BC,：./BC5/CED.若/BEO/BFC,归/BE俏/BCE.即

BE^BC.

V^=r2-16^+80,Ar2-16/+80=64.

/.^=16+873(舍去)，t2=16-873.

.•.当316-86时.，4BEO/BFC.

1、第(1)问比较简单，就就是一个静态问题当点P运动2秒时-，AP=2

cm,

由NA=60°,知AE=1,PE=有、

B

SAAPE=T

第（2）问就就是一个动态问题了，题目要求面积与运动时间得函数

关系式，这就需要我们根据题目，综合分析，分类讨论、

P点从A-BfC一共用了12秒，走了12cm,

Q点从A-B用了8秒，BfC用了2秒，

所以t得取值范围就是OWtWIO

不变量：P、Q点走过得总路程都就是12cm,P点得速度不变，所以

AP始终为:t+2

如当8WtW10时一，点Q所走得路程AQ=lX8+2（t-8）=2t-8

①当0WtW6时一，点P与点Q都在AB上运动，

设PM与AD交于点G,QN与AD交于点F,

t_V3匚葩&

则AQ=t,AF=2,QF=T,AP=t+2,AG=l+2,PG=+T\

...此时两平行线截平行四边形ABCD就是一个直角梯形，

旦t+&

其面积为（PG+QF）XAG4-2S=22、

当6WtW8时，点P在BC上运动，点Q仍在AB上运动、

设PM与DC交于点G,QN与AD交于点F,

tt

则AQ=t,AF=2,DF=4-2（总量减部分量），

国

QF=2,AP=t+2,BP=t-6（总量减部分量），

CP=AC-AP=12-（t+2）=10-t（总量减部分量），

PG=（I°T）石，而BD=46,

故此时两平行线截平行四边形ABCD得面积为

--Z2+1（X/3/-34V3

平行四边形得面积减去两个三角形面积S=8、

当8WtW10时.，点P与点Q都在BC上运动、

设PM与DC交于点G,QN与DC交于点F,

则AQ=2t-8,CQ=AC-AQ=12-（2t-8）=20-2t,（难点）

QF=（20-2t）与，CP=10-t,PG=（i。­）石、

...此时两平行线截平行四边形ABCD得面积为S=亏/”函r+15硒、

递

②（附加题）当0WtW6E^,S得最大值为〒；

当6WtW8时，S得最大值为66；

当8WtW10时一，S得最大值为6百；

所以当t=8时-，S有最大值为6右、

2、解：（1）如图①，过A、。分别作AKJ.BC于K,DHLBC于H,

则四边形AD”K就是矩形AKH=AD=3.

在RtZ\ABK中，AK=ABsin45°=472.—=4

2

8K=ABRos45。=4及*4

在RtZ^CO〃中，由勾股定理得，—=,52—42=3

BC=BK+KH+HC=4+3+3=10

'：MN幽图勤MN//DG（图②）

：.BG=AD=3：.GC=10-3=7

由题意知，当M、N运动至打秒时，CN=t,CM=10-2r.

DG//MN：./NMC=4DGC

—CNCM

又NC=NC：.AMNCs/\GDC：.——=——

CDCG

即卜殍解得，

(3)分三种情况讨论：

①当NC=MC时，如图③，即f=10—2f/./=—

3

②当MN=NC时-，如图④，过N作NE_LMC于E

VZC=ZC,NDHC=NNEC=90°

.NCEC

ANECsADHC

~DC~~HC

3、(1)由题意知:BD=5,BQ=t,QC=4-t,DP=t,BP=5-t

VPQ±BC.,.△BPQ^ABDC.=挺即二=L：.t=-