浙江省杭州市七县区2025届数学高二上期末学业质量监测试题含解析

浙江省杭州市七县区2025届数学高二上期末学业质量监测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列说法正确的是（）A.空间中的任意三点可以确定一个平面B.四边相等的四边形一定是菱形C.两条相交直线可以确定一个平面D.正四棱柱的侧面都是正方形2．已知等比数列各项均为正数，且，，成等差数列，则（）A. B.C. D.3．函数单调减区间是（）A. B.C.和 D.4．若方程表示双曲线，则（）A. B.C. D.5．已知椭圆是椭圆上关于原点对称的两点，设以为对角线的椭圆内接平行四边形的一组邻边斜率分别为，则（）A.1 B.C. D.6．若的解集是，则等于（）A.-14 B.-6C.6 D.147．如图，在三棱柱中，为的中点，若，，，则下列向量与相等的是（）A. B.C. D.8．某地为应对极端天气抢险救灾，需调用A，B两种卡车，其中A型卡车x辆，B型卡车y辆，以备不时之需，若x和y满足约束条件则最多需调用卡车的数量为（）A.7 B.9C.13 D.149．已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为A. B.C. D.10．有一组样本数据、、、，由这组数据得到新样本数据、、、，其中，为非零常数，则（）A.两组样本数据的样本平均数相同 B.两组样本数据的样本标准差相同C.两组样本数据的样本中位数相同 D.两组样本数据的样本众数相同11．已知是两个数1，9的等比中项，则圆锥曲线的离心率为（）A.或 B.或C. D.12．设为等差数列的前项和，若，，则公差的值为（）A. B.2C.3 D.4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知数列{}的前n项和为，则该数列的通项公式__________.14．某n重伯努利试验中，事件A发生的概率为p，事件A发生的次数记为X，，，则______15．已知函数（1）求函数的单调区间；（2）设上存在极大值M，证明：.16．已知焦点在轴上的双曲线，其渐近线方程为，焦距为，则该双曲线的标准方程为________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）当时，解不等式；（2）若不等式的解集为，求实数的取值范围.18．（12分）在如图三角形数阵中第n行有n个数，表示第i行第j个数，例如，表示第4行第3个数.该数阵中每一行的第一个数从上到下构成以m为公差的等差数列，从第三行起每一行的数从左到右构成以m为公比的等比数列(其中).已知.（1）求m及；（2）记，求.19．（12分）已知各项为正数的等比数列中，，.（1）求数列通项公式；（2）设，求数列的前n项和.20．（12分）已知函数，且a0（1）当a=1时，求函数f(x)的单调区间；（2）记函数，若函数有两个零点，①求实数a的取值范围；②证明：21．（12分）已知，，函数，直线是函数图象的一条对称轴（1）求函数的解析式及单调递增区间；（2）若，，的面积为，求的周长22．（10分）如图，四棱柱的底面为正方形，平面，，，点在上，且.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求平面与平面夹角的余弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】根据立体几何相关知识对各选项进行判断即可.【详解】对于A，根据公理2及推论可知，不共线的三点确定一个平面，故A错误；对于B，在一个平面内，四边相等的四边形才一定是菱形，故B错误；对于C，根据公理2及推论可知，两条相交直线可以确定一个平面，故C正确；对于D，正四棱柱指上、下底面都是正方形且侧棱垂直于底面的棱柱，侧面可以是矩形，故D错误.故选：C2、A【解析】结合等差数列的性质求得公比，然后由等比数列的性质得结论【详解】设的公比为，因为，，成等差数列，所以，即，，或（舍去，因为数列各项为正）所以故选：A3、B【解析】根据函数求导，然后由求解.【详解】因为函数，所以，由，解得，所以函数的单调递减区间是，故选：B4、C【解析】根据曲线方程表示双曲线方程有，即可求参数范围.【详解】由题设，，可得.故选：C.5、C【解析】根据椭圆的对称性和平行四边形的性质进行求解即可.【详解】是椭圆上关于原点对称两点，所以不妨设，即，因为平行四边形也是中心对称图形，所以也是椭圆上关于原点对称的两点，所以不妨设，即，，得：，即，故选：C6、A【解析】由一元二次不等式的解集，结合根与系数关系求参数a、b，即可得.【详解】∵的解集为，∴-5和2为方程的两根，∴有，解得，∴.故选：A.7、A【解析】利用空间向量基本定理求解即可【详解】由于M是的中点，所以故选：A8、B【解析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义即可求解【详解】设调用卡车的数量为z，则，其中x和y满足约束条件，作出可行域如图所示：当目标函数经过时，纵截距最大，最大.故选：B9、D【解析】分析：先根据条件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c关系，即得离心率.详解：因为等腰三角形，，所以PF2=F1F2=2c,由斜率为得，，由正弦定理得,所以，故选D.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.10、B【解析】利用平均数公式可判断A选项；利用标准差公式可判断B选项；利用中位数的定义可判断C选项；利用众数的定义可判断D选项.【详解】对于A选项，设数据、、、的平均数为，数据、、、的平均数为，则，A错；对于B选项，设数据、、、的标准差为，数据、、、的标准差为，，B对；对于C选项，设数据、、、中位数为，数据、、、的中位数为，不妨设，则，若为奇数，则，；若为偶数，则，.综上，，C错；对于D选项，设数据、、、的众数为，则数据、、、的众数为，D错.故选：B.11、A【解析】根据题意可知，当时，根据椭圆离心率公式，即可求出结果；当时，根据双曲线离心率公式,即可求出结果.【详解】因为是两个数1，9的等比中项，所以，所以，当时，圆锥曲线，其离心率为；当时，圆锥曲线，其离心率为；综上，圆锥曲线的离心率为或.故选：A.12、C【解析】根据等差数列前项和公式进行求解即可.【详解】，故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2n+1【解析】由计算，再计算可得结论【详解】由题意时，，又适合上式，所以故答案为：【点睛】本题考查由求通项公式，解题根据是，但要注意此式不含，14、##0.2【解析】根据二项分布的均值和方差的计算公式可求解【详解】依题意得X服从二项分布，则，解得，故答案为：15、（1）在单调递增，单调递减；（2）详见解析.【解析】（1）求得，利用和即可求得函数的单调性区间；（2）求得函数的解析式，求，对的情况进行分类讨论得到函数有极大值的情形，再结合极大值点的定义进行替换、即可求解.【详解】（1）由题意，函数，则，当时，令，所以函数单调递增；当时，令，即，解得或，令，即，解得，所以函数在区间上单调递增，在区间中单调递减，当时，令，即，解得或，令，即，解得，所以函数在单调递增，在单调递减.（2）由函数，则，令，可得令，解得，当时.，函数在单调递增，此时，所以，函数在上单调递增，此时不存在极大值，当时，令解得，令，解得，所以上单调递减，在上单调递增，因为在上存在极大值，所以，解得，因为，易证明，存在时，，存在使得，当在区间上单调递增，在区间单调递减，所以当时，函数取得极大值，即，，由，所以【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题16、【解析】根据渐近线方程、焦距可得，，再根据双曲线参数关系、焦点的位置写出双曲线标准方程.详解】由题设，可知：，，∴由，可得，，又焦点在轴上，∴双曲线的标准方程为.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】（1）将不等式分解因式，即可求得不等式解集；（2）根据不等式解集，考虑其对应二次函数的特征，即可求出参数的范围.【小问1详解】当时，即，也即，则，解得或，故不等式解集为.【小问2详解】不等式的解集为，即的解集为，也即的解集为，故其对应二次函数的，解得.故实数的取值范围为：.18、（1），；（2）【解析】（1）根据题意以m表示出，由即可求出，进而求出；（2）根据等差数列和等比数列的通项公式求出，再利用错位相减法即可求出.【详解】（1）由已知得，，，，，即，又，，，；（2）由（1）得，当时，，又，，满足，，，两式相减得，.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于结构，利用分组求和法；（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.19、（1）；（2）【解析】（1）根据条件求出即可；（2），然后利用等差数列的求和公式求出答案即可.【详解】（1）且，，（2）20、（1）函数f(x)在区间(0，+)上单调递减（2）①；②证明见解析【解析】（1）求导，求解可得导函数恒小于等于0,即得证；（2）①分析函数的单调性，由有两个实数根可求解；②由（1）得2lnxx−，再利用其放缩可得，由此有，问题得证.【小问1详解】当a=1时，函数因为所以函数f(x)在区间(0，+)上单调递减；【小问2详解】（i）由已知可得方程有两个实数根记，则．当时，，函数k(x)是增函数；当时，，函数k(x)是减函数，所以，故（ii）易知，当x1时，，故．由（1）可知，当0x1时，，所以2lnxx−由，得，所以因为，所以21、（1），单调递增区间为.（2）【解析】（1）先利用向量数量积运算、二倍角公式、辅助角公式求出，再求单增区间；（2）利用面积公式求出，再利用余弦定理求出，即可求出周长.小问1详解】已知，，函数，所以.因为直线是函数图象的一条对称轴，所以,所以，又，所以当k=0时，符合题意，此时要求的单调递增区间，只需,解得：，所以的单调递增区间为.【小问2详解】由于，所以，所以.因为，所以.因为的面积为，所以，即，解得：.又，由余弦定理可得：，即，所以，所以，所以的周长.22、（1）证明见解析（2）（3）【解析】（1）以为原点，所在的直线为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向