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文档简介
山东省泰安市东平县2025届高二数学第一学期期末质量检测模拟试题注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知为等比数列的前n项和,,,则()A.30 B.C. D.30或2.已知数列满足且,则()A.是等差数列 B.是等比数列C.是等比数列 D.是等比数列3.若两直线与互相垂直,则k的值为()A.1 B.-1C.-1或1 D.24.椭圆C:的焦点在x轴上,其离心率为则椭圆C的长轴长为()A.2 B.C.4 D.85.抛物线的准线方程为()A. B.C. D.6.已知双曲线的离心率为5,则其标准方程为()A. B.C. D.7.双曲线:的一条渐近线与直线垂直,则它的离心率为()A. B.C. D.8.甲、乙两人下棋,甲获胜的概率为30%,甲不输的概率为80%,则甲、乙下成平局的概率()A.50% B.30%C.10% D.60%9.已知定义在区间上的函数,,若以上两函数的图像有公共点,且在公共点处切线相同,则m的值为()A.2 B.5C.1 D.010.设、是两条不同的直线,、、是三个不同的平面,则下列命题正确的是()A.若,则 B.若,则C.若,则 D.若,则11.已知向量,,且,则的值是()A. B.C. D.12.若函数有两个零点,则实数a的取值范围是()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知点P是椭圆上的一点,点,则的最小值为____________.14.在正方体中,则直线与平面所成角的正弦值为__________15.椭圆的左焦点为,M为椭圆上的一点,N是的中点,O为原点,若,则______16.年月我国成功发射了第一颗人造地球卫星“东方红一号”,这颗卫星的运行轨道是以地心(地球的中心)为一个焦点的椭圆.已知卫星的近地点(离地面最近的点)距地面的高度约为,远地点(离地面最远的点)距地面的高度约为,且地心、近地点、远地点三点在同一直线上,地球半径约为,则卫星运行轨道是上任意两点间的距离的最大值为___________三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)设命题,,命题,.若p、q都为真命题,求实数m的取值范围.18.(12分)已知双曲线,抛物线的焦点与双曲线的一个焦点相同,点为抛物线上一点.(1)求双曲线的焦点坐标;(2)若点到抛物线的焦点的距离是5,求的值.19.(12分)已知椭圆的左、右顶点坐标分别是,,短轴长等于焦距.(1)求椭圆的方程;(2)若直线与椭圆相交于两点,线段的中点为,求.20.(12分)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过F且与x轴垂直的直线交该抛物线于A,B两点,|AB|=4(1)求抛物线的方程;(2)过点F的直线l交抛物线于P,Q两点,若△OPQ的面积为4,求直线l的斜率(其中O为坐标原点)21.(12分)如图是一抛物线型机械模具的示意图,该模具是抛物线的一部分且以抛物线的轴为对称轴,已知顶点深度4cm,口径长为12cm(1)以顶点为坐标原点建立平面直角坐标系(如图),求该抛物线的标准方程;(2)为满足生产的要求,需将磨具的顶点深度减少1cm,求此时该磨具的口径长22.(10分)如图,在四棱锥中,平面,底面是直角梯形,其中,,,,为棱上的点,且.(1)求证:平面;(2)求二面角的正弦值;(3)设为棱上的点(不与,重合),且直线与平面所成角的正弦值为,求的值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】利用等比数列基本量代换代入,列方程组,即可求解.【详解】由得,则等比数列的公比,则得,令,则即,解得或(舍去),,则故选:A2、D【解析】由,化简得,结合等比数列、等差数列的定义可求解.【详解】由,可得,所以,又由,,所以是首项为,公比为2的等比数列,所以,,,,所以不是等差数列;不等于常数,所以不是等比数列.故选:D.3、B【解析】根据互相垂直的两直线的性质进行求解即可.【详解】由,因此直线的斜率为,直线的斜率为,因为两直线与互相垂直,所以,故选:B4、C【解析】根据椭圆的离心率,即可求出,进而求出长轴长.【详解】由椭圆的性质可知,椭圆的离心率为,则,即所以椭圆C的长轴长为故选:C.【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质,属于基础题.5、A【解析】将抛物线的方程化成标准形式,即可得到答案;【详解】抛物线的方程化成标准形式,准线方程为,故选:A.6、D【解析】双曲线离心率公式和a、b、c的关系即可求得m,从而得到双曲线的标准方程.【详解】∵双曲线,∴,又,∴,∵离心率为,∴,解得,∴双曲线方程.故选:D.7、A【解析】先利用直线的斜率判定一条渐近线与直线垂直,求出,再利用双曲线的离心率公式和进行求解.【详解】因为直线的斜率为,所以双曲线的一条渐近线与直线垂直,所以,即,则双曲线的离心率.故选:A.卷II(非选择题8、A【解析】根据甲获胜和甲、乙两人下成平局是互斥事件即可求解.【详解】甲不输有两种情况:甲获胜或甲、乙两人下成平局,甲获胜和甲、乙两人下成平局是互斥事件,所以甲、乙两人下成平局的概率为.故选:A.9、C【解析】设两曲线与公共点为,分别求得函数的导数,根据两函数的图像有公共点,且在公共点处切线相同,列出等式,求得公共点的坐标,代入函数,即可求解.【详解】根据题意,设两曲线与公共点为,其中,由,可得,则切线的斜率为,由,可得,则切线斜率为,因为两函数的图像有公共点,且在公共点处切线相同,所以,解得或(舍去),又由,即公共点的坐标为,将点代入,可得.故选:C.10、B【解析】根据线线、线面、面面的位置关系,对选项进行逐一判断即可.【详解】选项A.一条直线垂直于一平面内的,两条相交直线,则改直线与平面垂直则由,不能得出,故选项A不正确.选项B.,则正确,故选项B正确.选项C若,则与可能相交,可能异面,也可能平行,故选项C不正确.选项D.若,则与可能相交,可能平行,故选项D不正确.故选:B11、A【解析】求出向量,的坐标,利用向量数量积坐标表示即可求解.【详解】因为向量,,所以,,因为,所以,解得:,故选:A.12、C【解析】函数有两个零点等价于方程有两个根,等价于与图象有两个交点,通过导数分析的单调性,根据图象即可求出求出的范围.【详解】函数有两个零点,方程有两个根,,分离参数得,与图象有两个交点,令,,令,解得当时,,在单调递增,当时,,在单调递减,且在处取得极大值及最大值,可以画出函数的大致图象如下:观察图象可以得出.故选:C.【点睛】本题主要考查函数零点的应用,构造函数求函数的导数,利用函数极值和导数之间的关系是解决本题的关键.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】设,表示出,消去y,利用二次函数求最值即可.【详解】设,则.所以当x=1时,最小.故答案为:.14、【解析】建立空间直角坐标系,利用空间向量夹角公式进行求解即可【详解】建立如图所示的空间直角坐标系,设该正方体的棱长为1,所以,,,,因此,,,设平面的法向量为:,所以有:,令,所以,因此,设与的夹角为,直线与平面所成角为,所以有,故答案为:15、4【解析】根据三角形的中位线定理,结合椭圆的定义即可求得答案.【详解】椭圆的左焦点为,如图,设右焦点为,则,由N是的中点,O为得中点,,故,又,所以,故答案为:416、【解析】根据题意由a-c=439+6371,a+c=2384+6371,求得2a即可.【详解】设椭圆的长半轴长为a,半焦距为c,由题意得:a-c=439+6371,a+c=2384+6371,两式相加得:2a=15565,因为椭圆上任意两点间的距离的最大值为长轴长2a,所以卫星运行轨道是上任意两点间的距离的最大值为,故答案为:15565三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、【解析】先求出命题为真时,的取值范围,再取交集可得答案.【详解】若命题,为真命题,则,解得;若命题,为真命题,则命题,为假命题,即方程无实数根,因此,,解得.又p、q都为真命题,所以实数m的取值范围是.【点睛】本题考查全称命题与特称命题的真假求参数值、一元二次函数的性质,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力.18、(1);(2).【解析】(1)根据双曲线的方程求出即得双曲线的焦点坐标;(2)先求出的值,再解方程得解.【详解】(1)因为双曲线的方程为,所以.所以.所以.所以双曲线的焦点坐标分别为.(2)因为抛物线的焦点与双曲线的一个焦点相同,所以抛物线的焦点坐标是(2,0),所以.因为点为抛物线上一点,所以点到抛物线的焦点的距离等于点到抛物线的准线的距离.因为点到拋物线的焦点的距离是5,即,所以.【点睛】本题主要考查双曲线的焦点坐标的求法,考查抛物线的定义和几何性质,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19、(1);(2).【解析】(1)由椭圆顶点可知,又短轴长等于焦距可知,求出,即可写出椭圆方程(2)根据“点差法”可求直线的斜率,写出直线方程,联立椭圆方程可得,,代入弦长公式即可求解.【详解】(1)依题意,解得.故椭圆方程为.(2)设的坐标分别为,,直线的斜率显然存在,设斜率为,则,两式相减得,整理得.因为线段的中点为,所以,所以直线的方程为,联立,得,则,,故.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及简单几何性质,“点差法”,弦长公式,属于中档题.20、(1);(2).【解析】(1)根据抛物线的定义以及抛物线通径的性质可得,从而可得结果;(2)设直线的方程为,代入,得,利用弦长公式,结合韦达定理可得的值,由点到直线的距离公式,根据三角形面积公式可得,从而可得结果.【详解】(1)由抛物线的定义得到准线的距离都是p,所以|AB|=2p=4,所以抛物线的方程为y2=4x(2)设直线l的方程为y=k(x-1),P(x1,y1),Q(x2,y2)因为直线l与抛物线有两个交点,所以k≠0,得,代入y2=4x,得,且恒成立,则,y1y2=-4,所以又点O到直线l的距离,所以,解得,即【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系的相关问题,意在考查综合利用所学知识解决问题能力和较强的运算求解能力,其常规思路是先把直线方程与圆锥曲线方程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程,解决相关问题21、(1)(2)cm【解析】(1)设抛物线的标准方程为,由题意可得抛物线过点,将此点代入方程中可求出的值,从而可得抛物线方程,(2)设此时的口径长为,则抛物线过点,代入抛物线方程可求出的值,从而可求得答案【小问1详解】由题意,建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线的标准方程为,因为顶点深度4,口径长为12,所以该抛物线过点,所以,得,所以抛物线方程为;【小问2详解】若将磨具的顶点深度减少,设此时的口径长为,则可得,得,所以此时该磨具的口径长22、(1)证明见解析;(2);(3).【解析】(1)由已知证得,,,以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,根据向量垂直的坐标表示和线面垂直的判定定理可得证;(2)根据二面角的空间向量求解方法可得答案;(3)设,表示点Q,再利用线面角的空间向量求解方法,建立方程解得,可得答案.【详解】(1)因为平面,平面,平面,所以,,又因为,则以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,由已知可得,,,,,,所以,,,因为,,所以,,又,平面,平面,所以平面.(2)由(1)可知平面,可作为平面的法向量,设平面的法向量因
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