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文档简介
吉林省长春市外国语学校2025届数学高三上期末经典试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.函数在上的最大值和最小值分别为()A.,-2 B.,-9 C.-2,-9 D.2,-22.“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件3.设集合,,则()A. B.C. D.4.阿波罗尼斯(约公元前262~190年)证明过这样的命题:平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点,间的距离为2,动点与,的距离之比为,当,,不共线时,的面积的最大值是()A. B. C. D.5.已知双曲线:的焦距为,焦点到双曲线的渐近线的距离为,则双曲线的渐近线方程为()A. B. C. D.6.下列四个图象可能是函数图象的是()A. B. C. D.7.设集合,,若,则()A. B. C. D.8.已知函数是定义在上的奇函数,函数满足,且时,,则()A.2 B. C.1 D.9.对于正在培育的一颗种子,它可能1天后发芽,也可能2天后发芽,….下表是20颗不同种子发芽前所需培育的天数统计表,则这组种子发芽所需培育的天数的中位数是()发芽所需天数1234567种子数43352210A.2 B.3 C.3.5 D.410.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆的右焦点为,若F到直线的距离为,则E的离心率为()A. B. C. D.11.已知等差数列的前项和为,,,则()A.25 B.32 C.35 D.4012.定义,已知函数,,则函数的最小值为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知实数,且由的最大值是_________14.某校名学生参加军事冬令营活动,活动期间各自扮演一名角色进行分组游戏,角色按级别从小到大共种,分别为士兵、排长、连长、营长、团长、旅长、师长、军长和司令.游戏分组有两种方式,可以人一组或者人一组.如果人一组,则必须角色相同;如果人一组,则人角色相同或者人为级别连续的个不同角色.已知这名学生扮演的角色有名士兵和名司令,其余角色各人,现在新加入名学生,将这名学生分成组进行游戏,则新加入的学生可以扮演的角色的种数为________.15.在数列中,,,曲线在点处的切线经过点,下列四个结论:①;②;③;④数列是等比数列;其中所有正确结论的编号是______.16.在平面直角坐标系中,点P在直线上,过点P作圆C:的一条切线,切点为T.若,则的长是______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在三棱锥中,是边长为的正三角形,平面平面,,M、N分别为、的中点.(1)证明:;(2)求三棱锥的体积.18.(12分)己知点,分别是椭圆的上顶点和左焦点,若与圆相切于点,且点是线段靠近点的三等分点.求椭圆的标准方程;直线与椭圆只有一个公共点,且点在第二象限,过坐标原点且与垂直的直线与圆相交于,两点,求面积的取值范围.19.(12分)设函数,是函数的导数.(1)若,证明在区间上没有零点;(2)在上恒成立,求的取值范围.20.(12分)如图,在四棱柱中,平面,底面ABCD满足∥BC,且(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.21.(12分)已知.(1)解不等式;(2)若均为正数,且,求的最小值.22.(10分)已知在四棱锥中,平面,,在四边形中,,,,为的中点,连接,为的中点,连接.(1)求证:.(2)求二面角的余弦值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】
由函数解析式中含绝对值,所以去绝对值并画出函数图象,结合图象即可求得在上的最大值和最小值.【详解】依题意,,作出函数的图象如下所示;由函数图像可知,当时,有最大值,当时,有最小值.故选:B.【点睛】本题考查了绝对值函数图象的画法,由函数图象求函数的最值,属于基础题.2、A【解析】
首先利用二倍角正切公式由,求出,再根据充分条件、必要条件的定义判断即可;【详解】解:∵,∴可解得或,∴“”是“”的充分不必要条件.故选:A【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,二倍角正切公式的应用是解决本题的关键,属于基础题.3、D【解析】
利用一元二次不等式的解法和集合的交运算求解即可.【详解】由题意知,集合,,由集合的交运算可得,.故选:D【点睛】本题考查一元二次不等式的解法和集合的交运算;考查运算求解能力;属于基础题.4、A【解析】
根据平面内两定点,间的距离为2,动点与,的距离之比为,利用直接法求得轨迹,然后利用数形结合求解.【详解】如图所示:设,,,则,化简得,当点到(轴)距离最大时,的面积最大,∴面积的最大值是.故选:A.【点睛】本题主要考查轨迹的求法和圆的应用,还考查了数形结合的思想和运算求解的能力,属于中档题.5、A【解析】
利用双曲线:的焦点到渐近线的距离为,求出,的关系式,然后求解双曲线的渐近线方程.【详解】双曲线:的焦点到渐近线的距离为,可得:,可得,,则的渐近线方程为.故选A.【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用,构建出的关系是解题的关键,考查计算能力,属于中档题.6、C【解析】
首先求出函数的定义域,其函数图象可由的图象沿轴向左平移1个单位而得到,因为为奇函数,即可得到函数图象关于对称,即可排除A、D,再根据时函数值,排除B,即可得解.【详解】∵的定义域为,其图象可由的图象沿轴向左平移1个单位而得到,∵为奇函数,图象关于原点对称,∴的图象关于点成中心对称.可排除A、D项.当时,,∴B项不正确.故选:C【点睛】本题考查函数的性质与识图能力,一般根据四个选择项来判断对应的函数性质,即可排除三个不符的选项,属于中档题.7、A【解析】
根据交集的结果可得是集合的元素,代入方程后可求的值,从而可求.【详解】依题意可知是集合的元素,即,解得,由,解得.【点睛】本题考查集合的交,注意根据交集的结果确定集合中含有的元素,本题属于基础题.8、D【解析】
说明函数是周期函数,由周期性把自变量的值变小,再结合奇偶性计算函数值.【详解】由知函数的周期为4,又是奇函数,,又,∴,∴.故选:D.【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性,掌握周期性与奇偶性的概念是解题基础.9、C【解析】
根据表中数据,即可容易求得中位数.【详解】由图表可知,种子发芽天数的中位数为,故选:C.【点睛】本题考查中位数的计算,属基础题.10、A【解析】
由已知可得到直线的倾斜角为,有,再利用即可解决.【详解】由F到直线的距离为,得直线的倾斜角为,所以,即,解得.故选:A.【点睛】本题考查椭圆离心率的问题,一般求椭圆离心率的问题时,通常是构造关于的方程或不等式,本题是一道容易题.11、C【解析】
设出等差数列的首项和公差,即可根据题意列出两个方程,求出通项公式,从而求得.【详解】设等差数列的首项为,公差为,则,解得,∴,即有.故选:C.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式的求法和应用,涉及等差数列的前项和公式的应用,属于容易题.12、A【解析】
根据分段函数的定义得,,则,再根据基本不等式构造出相应的所需的形式,可求得函数的最小值.【详解】依题意得,,则,(当且仅当,即时“”成立.此时,,,的最小值为,故选:A.【点睛】本题考查求分段函数的最值,关键在于根据分段函数的定义得出,再由基本不等式求得最值,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
将其转化为几何意义,然后根据最值的条件求出最大值【详解】由化简得,又实数,图形为圆,如图:,可得,则由几何意义得,则,为求最大值则当过点或点时取最小值,可得所以的最大值是【点睛】本题考查了二元最值问题,将其转化为几何意义,得到圆的方程及斜率问题,对要求的二元二次表达式进行化简,然后求出最值问题,本题有一定难度。14、【解析】
对新加入的学生所扮演的角色进行分类讨论,分析各种情况下个学生所扮演的角色的分组,综合可得出结论.【详解】依题意,名学生分成组,则一定是个人组和个人组.①若新加入的学生是士兵,则可以将这个人分组如下;名士兵;士兵、排长、连长各名;营长、团长、旅长各名;师长、军长、司令各名;名司令.所以新加入的学生可以是士兵,由对称性可知也可以是司令;②若新加入的学生是排长,则可以将这个人分组如下:名士兵;连长、营长、团长各名;旅长、师长、军长各名;名司令;名排长.所以新加入的学生可以是排长,由对称性可知也可以是军长;③若新加入的学生是连长,则可以将这个人分组如下:名士兵;士兵、排长、连长各名;连长、营长、团长各名;旅长、师长、军长各名;名司令.所以新加入的学生可以是连长,由对称性可知也可以是师长;④若新加入的学生是营长,则可以将这个人分组如下:名士兵;排长、连长、营长各名;营长、团长、旅长各名;师长、军长、司令各名;名司令.所以新加入的学生可以是营长,由对称性可知也可以是旅长;⑤若新加入的学生是团长,则可以将这个人分组如下:名士兵;排长、连长、营长各名;旅长、师长、军长各名;名司令;名团长.所以新加入的学生可以是团长.综上所述,新加入学生可以扮演种角色.故答案为:.【点睛】本题考查分类计数原理的应用,解答的关键就是对新加入的学生所扮演的角色进行分类讨论,属于中等题.15、①③④【解析】
先利用导数求得曲线在点处的切线方程,由此求得与的递推关系式,进而证得数列是等比数列,由此判断出四个结论中正确的结论编号.【详解】∵,∴曲线在点处的切线方程为,则.∵,∴,则是首项为1,公比为的等比数列,从而,,.故所有正确结论的编号是①③④.故答案为:①③④【点睛】本小题主要考查曲线的切线方程的求法,考查根据递推关系式证明等比数列,考查等比数列通项公式和前项和公式,属于基础题.16、【解析】
作出图像,设点,根据已知可得,,且,可解出,计算即得.【详解】如图,设,圆心坐标为,可得,,,,,解得,,即的长是.故答案为:【点睛】本题考查直线与圆的位置关系,以及求平面两点间的距离,运用了数形结合的思想.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析;(2).【解析】
(1)取中点,连接,,证明平面,由线面垂直的性质可得;(2)由,即可求得三棱锥的体积.【详解】解:(1)证明:取中点D,连接,.因为,,所以且,因为,平面,平面,所以平面.又平面,所以;(2)解:因为平面,平面,所以平面平面,过N作于E,则平面,因为平面平面,,平面平面,平面,所以平面,又因为平面,所以,由于,所以所以,所以.【点睛】本题考查线面垂直,考查三棱锥体积的计算,解题的关键是掌握线面垂直的判定与性质,属于中档题.18、;.【解析】
连接,由三角形相似得,,进而得出,,写出椭圆的标准方程;由得,,因为直线与椭圆相切于点,,解得,,因为点在第二象限,所以,,所以,设直线与垂直交于点,则是点到直线的距离,设直线的方程为,则,求出面积的取值范围.【详解】解:连接,由可得,,,椭圆的标准方程;由得,,因为直线与椭圆相切于点,所以,即,解得,,即点的坐标为,因为点在第二象限,所以,,所以,所以点的坐标为,设直线与垂直交于点,则是点到直线的距离,设直线的方程为,则,当且仅当,即时,有最大值,所以,即面积的取值范围为.【点睛】本题考查直线和椭圆位置关系的应用,利用基本不等式,属于难题.19、(1)证明见解析(2)【解析】
(1)先利用导数的四则运算法则和导数公式求出,再由函数的导数可知,函数在上单调递增,在上单调递减,而,,可知在区间上恒成立,即在区间上没有零点;(2)由题意可将转化为,构造函数,利用导数讨论研究其在上的单调性,由,即可求出的取值范围.【详解】(1)若,则,,设,则,,,故函数是奇函数.当时,,,这时,又函数是奇函数,所以当时,.综上,当时,函数单调递增;当时,函数单调递减.又,,故在区间上恒成立,所以在区间上没有零点.(2),由,所以恒成立,若,则,设,.故当时,,又,所以当时,,满足题意;当时,有,与条件矛盾,舍去;当时,令,则,又,故在区间上有无穷多个零点,设最小的零点为,则当时,,因此在上单调递增.,所以.于是,当时,,得,与条件矛盾.故的取值范围是.【点睛】本题主要考查导数的四则运算法则和导数公式的应用,以及利用导数研究函数的单调性和最值,涉及分类讨论思想和放缩法的应用,难度较大,意在考查学生的数学建模能力,数学运算能力和逻辑推理能力,属于较难题.20、(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)证明,根据得到,得到证明.(Ⅱ)如图所示,分别以为轴建立空间直角坐标系,平面的法向量,,计算向量夹角得到答案.【详解】(Ⅰ)平面,平面,故.,,故,故.,故平面.(Ⅱ)如图所示:分别以为轴建立空间直角
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