陕西省西安音乐学院附属中等音乐学校2025届高二上数学期末检测试题含解析

陕西省西安音乐学院附属中等音乐学校2025届高二上数学期末检测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．函数在单调递增的一个必要不充分条件是（）A. B.C. D.2．双曲线的左、右焦点分别为、，过点且斜率为的直线与双曲线的左右两支分别交于P、Q两点，若，则双曲线C的离心率为（）A. B.C. D.3．2020年北京时间11月24日我国嫦娥五号探月飞行器成功发射.嫦娥五号是我国探月工程“绕、落、回”三步走的收官之战，经历发射入轨、地月转移、近月制动、环月飞行、着陆下降、月面工作、月面上升、交会对接与样品转移、环月等待、月地转移、再入回收等11个关键阶段.在经过交会对接与样品转移阶段后，若嫦娥五号返回器在近月点（离月面最近的点）约为200公里，远月点（离月面最远的点）约为8600公里，以月球中心为一个焦点的椭圆形轨道上等待时间窗口和指令进行下一步动作，月球半径约为1740公里，则此椭圆轨道的离心率约为（）A.0.32 B.0.48C.0.68 D.0.824．设双曲线与幂函数的图象相交于，且过双曲线的左焦点的直线与函数的图象相切于，则双曲线的离心率为（）A. B.C. D.5．设等差数列，前n项和分别是，若，则（）A.1 B.C. D.6．下图是一个“双曲狭缝”模型，直杆沿着与它不平行也不相交的轴旋转时形成双曲面，双曲面的边缘为双曲线．已知该模型左、右两侧的两段曲线(曲线AB与曲线CD)所在的双曲线离心率为2，曲线AB与曲线CD中间最窄处间的距离为10cm，点A与点C，点B与点D均关于该双曲线的对称中心对称，且|AB|＝30cm，则|AD|＝（）A.10cm B.20cmC.25cm D.30cm7．已知不等式解集为，下列结论正确的是（）A. B.C. D.8．以下四个命题中，正确的是（）A.若，则三点共线B.C.为直角三角形的充要条件是D.若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底9．设等差数列的前项和为，已知，，则的公差为（）A.2 B.3C.4 D.510．已知点在椭圆上，与关于原点对称，，交轴于点，为坐标原点，，则椭圆的离心率为（）A. B.C. D.11．关于x的方程在内有解，则实数m的取值范围（）A. B.C. D.12．若直线被圆截得的弦长为，则的最小值为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．有一组数据：，其平均数是，则其方差是________.14．已知直线与双曲线无公共点，则双曲线离心率的取值范围是____15．已知椭圆的右顶点为，直线与椭圆交于两点，若，则椭圆的离心率为___________.16．与直线平行，且距离为的直线方程为______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知等差数列的前项和为，数列是等比数列，，，，.(1)求数列和的通项公式；(2)若，设数列的前项和为，求.18．（12分）某厂A车间为了确定合理的工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了五次试验，得到数据如下：加工零件的个数x12345加工的时间y（小时）1.52.43.23.94.5（1）在给定的坐标系中画出散点图；（2）求出y关于x的回归方程；（3）试预测加工9个零件需要多少时间？参考公式：，19．（12分）如图，三棱锥中，，，，，，点是PA的中点，点D是AC的中点，点N在PB上，且.（1）证明：平面CMN；（2）求平面MNC与平面ABC所成角的余弦值.20．（12分）已知数列的前n项和为，且（1）求证：数列为等比数列；（2）记，求数列的前n项和为21．（12分）已知椭圆C：的左右焦点分别为，，点P是椭圆C上位于第二象限的任一点，直线l是的外角平分线，过左焦点作l的垂线，垂足为N，延长交直线于点M，（其中O为坐标原点），椭圆C的离心率为（1）求椭圆C的标准方程；（2）过右焦点的直线交椭圆C于A，B两点，点T在线段AB上，且，点B关于原点的对称点为R，求面积的取值范围.22．（10分）在平面直角坐标系内，已知的三个顶点坐标分别为（1）求边的垂直平分线所在的直线的方程；（2）若面积为5，求点的坐标

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】求出导函数，由于函数在区间单调递增，可得在区间上恒成立，求出的范围，再根据充分必要条件的定义即可判断得解.【详解】由题得，函数在区间单调递增，在区间上恒成立，而在区间上单调递减，选项中只有是的必要不充分条件.选项AC是的充分不必要条件，选项B是充要条件.故选：D2、C【解析】由，且，可得，再结合，可得，进而在△中，由余弦定理可得到齐次方程，求出即可.【详解】由题意，可得，因为，所以，又，所以，在△中，，即，由余弦定理，可得，整理得，则，即，解得，因为，所以.故选：C.【点睛】方法点睛：本题考查求双曲线的离心率，属于中档题.双曲线离心率的求法：（1）由条件直接求出（或或），或者寻找（或或）所满足的关系，利用求解；（2）根据条件列出的齐次方程，利用转化为关于的方程，解方程即可，注意根据对所得解进行取舍.3、C【解析】由题意可知，求出的值，从而可求出椭圆的离心率【详解】解：由题意得，解得，所以离心率，故选：C4、B【解析】设直线方程为，联立，利用判别式可得，进而可求，再结合双曲线的定义可求，即得.【详解】可设直线方程为，联立，得，由题意得,∴，，∴，即，由双曲线定义得，.故选：B.5、B【解析】根据等差数列的性质和求和公式变形求解即可【详解】因为等差数列，的前n项和分别是，所以，故选：B6、B【解析】由离心率求出双曲线方程，由对称性设出点A，B，D坐标，求出坐标，求出答案.【详解】由题意得：，解得：，因为离心率，所以，，故双曲线方程为，设，则，，则，所以，则，解得：，故.故选：B7、C【解析】根据不等式解集为，得方程的解为或，且，利用韦达定理即可将用表示，即可判断各选项的正误.【详解】解：因为不等式解集为，所以方程的解为或，且，所以，所以，所以，故ABD错误；，故C正确.故选：C.8、D【解析】利用向量共线的推论可判断A，利用数量积的定义可判断B，利用充要条件的概念可判断C，利用基底的概念可判断D.【详解】对于A，若，，所以三点不共线，故A错误；对于B，因为，故B错误；对于C，由可推出为直角三角形，由为直角三角形，推不出，所以为直角三角形的充分不必要条件是，故C错误；对于D，若为空间的一个基底，则不共面，若不能构成空间的一个基底，设，整理可得，即共面，与不共面矛盾，所以能构成空间的另一个基底，故D正确.故选：D.9、B【解析】由以及等差数列的性质，可得的值，再结合即可求出公差.【详解】解：，得，，又，两式相减得，则.故选：B.10、B【解析】由，得到，结合，得到，进而求得，得出，结合离心率的定义，即可求解.【详解】设，则，由，可得，所以，因为，可得，又由，两式相减得，即，即，又因为，所以，即又由，所以，解得.故选：B.11、A【解析】当时，显然不成立，当时，分离变量，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.【详解】当时，可得显然不成立；当时，由于方程可转化为，令，可得，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，所以当时，函数取唯一的极大值，也是最大值，所以，所以，即，所以实数m的取值范围.故选：A.12、D【解析】先根据已知条件得出，再利用基本不等式求的最小值即可.【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，若直线被截得弦长为，说明圆心在直线：上，即，即，∴，当且仅当，即时，等号成立故选：D.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，本题关键是求出，属常规考题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2【解析】先按照平均数算出a，再按照方差的定义计算即可。【详解】∵，所以，方差，故答案为：2.14、【解析】联立直线得，由无公共点得，进而得，即可求出离心率的取值范围.【详解】联立直线与双曲线可得，整理得，显然，由方程无解可得，即，则，，又离心率大于1，故离心率的取值范围是.故答案为：.15、【解析】求出右顶点坐标，然后推出的纵坐标，利用已知条件列出方程，求解椭圆的离心率即可【详解】解：椭圆的右顶点为，直线与椭圆交于，两点，若，可知，不妨设在第一象限，所以的纵坐标为：，可得：，即，可得，，所以故答案为：16、或【解析】由题意，设所求直线方程为，根据两平行直线间的距离公式即可求解.【详解】解：由题意，设所求直线方程为，因为直线与直线的距离为，所以，解得或，所以所求直线方程为或，故答案为：或.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），；（2）.【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为,根据题意列出表达式，解出公比和公差，再根据等差数等比列的通项公式的求法求出通项即可；（2）根据第一问得到前n项和，数列,分组求和即可.解析：(1)设等差数列的公差为，等比数列的公比为，∵，，，，∴，∴，，∴，.(2)由(1)知，，∴，∴.18、（1）图见解析；（2）；（3）小时.【解析】（1）根据表格数据在坐标系中描出对应点即可.（2）由表格中的数据代入公式算出，再求，即可得到方程；（3）中将自变量为9代入回归方程可得需用时间.【小问1详解】【小问2详解】由表中数据得：，，，，由x与y之间具有线性相关关系，根据公式知：，，∴回归直线方程为：【小问3详解】将代入回归直线方程得，，∴预测加工9个零件需要小时19、（1）证明见解析（2）【解析】建立如图所示空间直角坐标系，得到相关点和相关向量的坐标,（1）求出平面的法向量，利用证明即可；（2）由（1）知平面的法向量，再求平面的法向量，利用向量的夹角公式即可求解.【小问1详解】证明：三棱锥中，，，∴分别以，，，，轴建立如图所示空间直角坐标系∵，，点M是PA的中点，点D是AC的中点，点N在PB上且∴，，，，，设平面的法向量，，，，由得令得∴∵∴又平面∴平面；【小问2详解】，，∴平面∴为平面的法向量则与的夹角的补角是平面与平面所成二面角的平面角.∴平面与平面所成角的余弦值为.20、（1）证明见解析;（2）.【解析】（1）由已知得，当时，两式作差整理得，根据等比数列的定义可得证；（2）由（1）求得，，再运用错位相减法可求得答案.【小问1详解】证明：因为，……①，所以当时，，当时……②，则①-②可得，所以，因为，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列【小问2详解】解：由（1）知，即，因为所以，则……①，①得……②，①-②得，所以.21、（1）（2）【解析】（1）根据题意可得到的值，结合椭圆的离心率，即可求得b,求得答案;（2）由可得，进一步推得，于是设直线方程和椭圆方程联立，利用根与系数的关系，求得弦长，表示出三角形AOB的面积，利用换元法结合二次函数的性质求其范围.【小问1详解】由题意可知：为的中点，为的中点，为的中位线，，,又,故,即,，又，，，椭圆的标准方程为；【小问2详解】由题意可知，，,①当过的直线与轴垂直时，，,②当过的直线不与轴垂直时，可设，，直线方程为,联立,可得：.,,,由弦长公式可知，到距离为,故，令，则原式变为，令，原式变为当时，故，由①②可知.【点睛】本题考查了椭圆方程的求解，以及直