2025届安徽省全国示范高中名校高二数学第一学期期末学业水平测试试题含解析

2025届安徽省全国示范高中名校高二数学第一学期期末学业水平测试试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．等差数列的公差为2，若成等比数列，则（）A.72 B.90C.36 D.452．甲、乙两名同学同时从教室出发去体育馆打球（路程相等），甲一半时间步行，一半时间跑步；乙一半路程步行，一半路程跑步.如果两人步行速度、跑步速度均相等，则（）A.甲先到体育馆 B.乙先到体育馆C.两人同时到体育馆 D.不确定谁先到体育馆3．过点P(2，1)作直线l，使l与双曲线－y2＝1有且仅有一个公共点，这样的直线l共有A.1条 B.2条C.3条 D.4条4．参加抗疫的300名医务人员，编号为1，2，…，300.为了解这300名医务人员的年龄情况，现用系统抽样的方法从中抽取15名医务人员的年龄进行调查.若抽到的第一个编号为6，则抽到的第二个编号为（）A.21 B.26C.31 D.365．对于两个平面、，“内有无数多个点到的距离相等”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6．已知圆，圆，M，N分别是圆上的动点，P为x轴上的动点，则以的最小值为（）A B.C. D.7．已知数列中，，则（）A.2 B.C. D.8．在等差数列中，已知，则数列的前6项之和为（）A.12 B.32C.36 D.729．设，命题“若，则或”的否命题是（）A.若，则或B.若，则或C.若，则且D.若，则且10．已知曲线C的方程为，则下列结论正确的是（）A.当时，曲线C为圆B.“”是“曲线C为焦点在x轴上的双曲线”的充分而不必要条件C.“”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要而不充分条件D.存在实数k使得曲线C为双曲线，其离心率为11．如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点、，交其准线于点，若，且，则的值为（）A. B.C. D.12．已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点坐标为，则的最大值为（）A. B.13C.3 D.5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设直线的方向向量分别为，若，则实数m等于___________.14．某校学生在研究折纸实验中发现，当对折后纸张达到一定的厚度时，便不能继续对折了．在理想情况下，对折次数与纸的长边和厚度有关系：．现有一张长边为30cm，厚度为0.05cm的矩形纸，根据以上信息，当对折完4次时，的最小值为________；该矩形纸最多能对折________次．（参考数值：，）15．一条直线经过，并且倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的方程为__________16．已知正项等比数列的前项和为，且，则_______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点，M是PB的中点，平面ABC，且，，.（1）求证:平面PAC；（2）求三棱锥M—ABC体积.18．（12分）某情报站有．五种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周末使用的四种密码中等可能地随机选用一种．设第一周使用密码，表示第周使用密码的概率（1）求；（2）求证：为等比数列，并求的表达式19．（12分）抛物线的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点（1）若，求直线AB的斜率；（2）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值20．（12分）已知抛物线的焦点为，经过点的直线与抛物线交于两点，其中点A在第一象限；（1）若直线的斜率为，求的值；（2）求线段的长度的最小值21．（12分）已知，是函数的两个极值点.（1）求的解析式；（2）记，，若函数有三个零点，求的取值范围.22．（10分）已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，且，（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】由题意结合成等比数列，有即可得，进而得到、，即可求.【详解】由题意知：，，又成等比数列，∴，解之得，∴，则，∴，故选：B【点睛】思路点睛：由其中三项成等比数列，利用等比中项性质求项，进而得到等差数列的基本量1、由成等比，即；2、等差数列前n项和公式的应用.2、A【解析】设出总路程与步行速度、跑步速度，表示出两人所花时间后比较不等式大小【详解】设总路程为，步行速度，跑步速度对于甲：，得对于乙：，当且仅当时等号成立，而，故，乙花时间多，甲先到体育馆故选：A3、B【解析】利用几何法，结合双曲线的几何性质，得出符合条件的结论.【详解】由双曲线的方程可知其渐近线方程为y＝±x，则点P(2，1)在渐近线y＝x上，又双曲线的右顶点为A(2，0)，如图所示．满足条件的直线l有两条：x＝2，y－1＝－(x－2)【点睛】该题考查的是有关直线与双曲线的公共点有一个的条件，结合双曲线的性质，结合图形，得出结果，属于中档题目.4、B【解析】将300个数编号：001，002，003，，3000，再平均分为15个小组，然后按系统抽样方法得解.【详解】将300个数编号：001，002，003，，3000，再平均分为15个小组，则第一编号为006，第二个编号为.故选：B.5、B【解析】根据平面的性质分别判断充分性和必要性.【详解】充分性：若内有无数多个点到的距离相等，则、平行或相交，故充分性不成立；必要性：若，则内每个点到的距离相等，故必要性成立，所以“内有无数多个点到的距离相等”是“”的必要不充分条件.故选：B.6、A【解析】求出圆关于轴的对称圆的圆心坐标，以及半径，然后求解圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出的最小值.【详解】圆关于轴对称圆的圆心坐标，半径为1，圆的圆心坐标为，半径为3，易知，当三点共线时，取得最小值，的最小值为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和，即：.故选：A.注意:9至12题为多选题7、A【解析】根据数列的周期性即可求解.【详解】由得,显然该数列中的数从开始循环,数列的周期是，所以.故选：A.8、C【解析】利用等差数列的求和公式结合角标和定理即可求解.【详解】解：等差数列中，所以等差数列的前6项之和为：故选：C.9、C【解析】根据否命题的定义直接可得.【详解】根据否命题的定义可得命题“若，则或”的否命题是若，则且，故选：C.10、C【解析】根据椭圆、双曲线的定义及简单几何性质计算可得；【详解】解：由题意，曲线C的方程为，对于A中，当时，曲线C的方程为，此时曲线C表示椭圆，所以A错误；对于B中，当曲线C的方程为表示焦点在x轴上的双曲线时，则满足，解得，所以“”是“曲线C为焦点在x轴上的双曲线”的必要不充分条件，所以B不正确；对于C中，当曲线C的方程为表示焦点在x轴上的椭圆时，则满足，解得，所以“”是“曲线C为焦点在x轴上的双曲线”的必要不充分条件，所以C正确；对于D中，当曲线C的方程为表示双曲线，且离心率为时，此时双曲线的实半轴长等于虚半轴长，此时，解得，此时方程表示圆，所以不正确.故选：C.11、B【解析】分别过点、作准线的垂线，垂足分别为点、，设，根据抛物线的定义以及直角三角形的性质可求得，结合已知条件求得，分析出为的中点，进而可得出，即可得解.【详解】如图，分别过点、作准线的垂线，垂足分别为点、，设，则由己知得，由抛物线的定义得，故，在直角三角形中，，，因为，则，从而得，所以，，则为的中点，从而.故选：B.12、B【解析】利用椭圆的定义求解.【详解】如图所示：，故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2【解析】根据向量垂直与数量积的等价关系，，计算即可.【详解】因为，则其方向向量，，解得.故答案为：2.14、①.64②.6【解析】利用即可求解，利用和换底公式进行求解.【详解】令，则，则，即，即当对折完4次时，最小值为；由题意，得，，则，所以该矩形纸最多能对折6次.故答案为：64，6.15、【解析】先求出直线倾斜角，从而可求得直线的倾斜角，则可求出直线的斜率，进而可求出直线的方程【详解】因为直线的斜率为，所以直线的倾斜角为，所以直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，因为直线经过，所以直线的方程为，即，故答案为：16、【解析】根据给定条件求出正项等比数列的公比即可计算作答.【详解】设正项等比数列的公比为，依题意，，即，而，解得，所以.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）2【解析】（1）依题意可得，再由平面，得到，即可证明平面；（2）连接，可证，即可得到平面，为三棱锥的高，再根据锥体的体积公式计算可得；【详解】（1）证明:因为是半圆的直径，所以.因为平面，平面，所以，又因为平面，平面，且所以平面.（2）解:因为，，所以，.连接.因为、分别是，的中点，所以，.又平面.所以平面.因此为三棱锥的高.所以.【点睛】本题考查线面垂直的证明，锥体的体积的计算，属于中档题.18、（1），，，（2）证明见解析，【解析】(1)根据题意可得第一周使用A密码，第二周使用A密码的概率为0，第三周使用A密码的概率为，以此类推；(2)根据题意可知第周从剩下的四种密码中随机选用一种，恰好选到A密码的概率为，进而可得，结合等比数列的定义可知为等比数列，利用等比数列的通项公式即可求出结果.【小问1详解】，，，【小问2详解】第周使用A密码，则第周必不使用A密码（概率为），然后第周从剩下的四种密码中随机选用一种，恰好选到A密码的概率为故，即故为等比数列且，公比故，故19、（1）；（2）面积最小值是4【解析】本题主要考查抛物线的标准方程及其几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系、直线的斜率等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，依题意F（1,0），设直线AB的方程为．将直线AB的方程与抛物线的方程联立，得，由此能够求出直线AB的斜率；第二问，由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于，由此能求出四边形OACB的面积的最小值试题解析：（1）依题意知F（1,0），设直线AB方程为．将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得．设，，所以，．①因为，所以．②联立①和②，消去，得所以直线AB的斜率是（2）由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于因为，所以当m＝0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4考点：抛物线的标准方程及其几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系、直线的斜率20、（1）3；（2）12.【解析】(1)联立直线l与抛物线C的方程，求出A和B的横坐标即可得AFBF(2)设直线l方程为，与抛物线C方程联立，求出线段AB长度求其最小值即可.【小问1详解】设，抛物线的焦点为，直线l经过点F且斜率，直线l的方程为，将直线l方程与抛物线消去y可得，点A是第一象限内的交点，解方程得，∴.【小问2详解】设，由题知直线l斜率不为0，故设直线l的方程为：，代入抛物线C的方程化简得，，∵＞0，∴，∴，当且仅当m＝0时取等号，∴AB长度最小值为12.21、（1）；（2）【解析】（1）根据极值点的定义，可知方程的两个解即为，，代入即得结果；（2）根据题意，将方程转化为，则函数与直线在区间，上有三个交点，进而求解的取值范围【详解】解：（1）因为，所以根据极值点定义，方程的两个根即