北京市五十七中学2025届高一数学第一学期期末质量检测模拟试题含解析

北京市五十七中学2025届高一数学第一学期期末质量检测模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．函数，x∈R在（）A.上是增函数B.上是减函数C.上是减函数D.上是减函数2．已知，且点在线段的延长线上，，则点的坐标为（）A. B.C. D.3．已知函数，的最值情况为（）A.有最大值，但无最小值 B.有最小值，有最大值1C.有最小值1，有最大值 D.无最大值，也无最小值4．弧长为3，圆心角为的扇形面积为A. B.C.2 D.5．设函数,若关于的方程有四个不同的解,且,则的取值范围是（）A. B.C. D.6．函数是（）A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为的偶函数C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数7．我国在2020年9月22日在联合国大会提出，二氧化碳排放力争于2030年前实现碳达峰，争取在2060年前实现碳中和．为了响应党和国家的号召，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关：把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，经测算，该技术处理总成本y（单位：万元）与处理量x（单位：吨）之间的函数关系可近似表示为，当处理量x等于多少吨时，每吨的平均处理成本最少（）A.120 B.200C.240 D.4008．已知函数则（）A.－ B.2C.4 D.119．函数是（）A.偶函数，在是增函数B.奇函数，在是增函数C.偶函数，在是减函数D.奇函数，在是减函数10．已知全集U＝{0，1，2}且＝{2}，则集合A的真子集共有A.3个 B.4个C.5个 D.6个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．命题“”的否定是___________.12．当时，函数取得最大值，则___________.13．已知函数，则当_______时，函数取得最小值为_________.14．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”其意思为：“有一块扇形的田，弧长为30步，其所在圆的直径为16步，问这块田的面积是多少平方步？”该问题的答案为___________平方步.15．若，，且，则的最小值为__________16．已知，且，则__三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，则=___________.18．已知角终边与单位圆交于点（1）求的值；（2）若，求的值.19．已知函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为.（1）当时，求函数的最大值和最小值；（2）将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若为偶函数，求的值.20．已知函数（1）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；（2）解不等式21．已知.（1）若关于x的不等式的解集为区间，求a的值；（2）设，解关于x的不等式.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】化简，根据余弦函数知识确定正确选项.【详解】，所以在上递增，在上递减.B正确，ACD选项错误.故选：B2、C【解析】设，根据题意得出，由建立方程组求解即可.【详解】设，因为，所以即故选：C【点睛】本题主要考查了由向量共线求参数，属于基础题.3、C【解析】利用二次函数的图象与性质，得到二次函数的单调性，即可求解最值，得到答案.【详解】由题意，函数，可得函数在区间上单调递增，所以当时，函数取得最小值，最小值为，当时，函数取得最小值，最小值为，故选C.【点睛】本题主要考查了二次函数的性质及其应用，其中解答中熟练利用二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.4、B【解析】弧长为3，圆心角为，故答案为B5、D【解析】由题意，根据图象得到，，，，，推出.令，，而函数.即可求解.【详解】【点睛】方法点睛：已知函数零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.6、A【解析】由题可得，根据正弦函数的性质即得.【详解】∵函数，∴函数为最小正周期为的奇函数.故选：A.7、D【解析】先根据题意求出每吨的平均处理成本与处理量之间的函数关系，然后分和分析讨论求出其最小值即可【详解】由题意得二氧化碳每吨的平均处理成本为，当时，，当时，取得最小值240，当时，，当且仅当，即时取等号，此时取得最小值200，综上，当每月得理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低为200元，故选：D8、C【解析】根据分段函数的分段条件，先求得，进而求得的值，得到答案.【详解】由题意，函数，可得，所以.故选：C.【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中根据分段函数的分段条件，代入准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.9、B【解析】利用奇偶性定义判断的奇偶性，根据解析式结合指数函数的单调性判断的单调性即可.【详解】由且定义域为R，故为奇函数，又是增函数，为减函数，∴为增函数故选：B.10、A【解析】,所以集合A的真子集的个数为个，故选A.考点：子集二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、，.【解析】根据特称命题的否定的性质进行求解即可.【详解】特称命题的否定，先把存在量词改为全称量词，再把结论进行否定即可，命题“，”的否定是“，”，故答案为：，.12、##【解析】由辅助角公式，正弦函数的性质求出，，再根据两角和的正切和公式，诱导公式求.【详解】（其中，），当时，函数取得最大值∴，，即，，所以，.故答案为：.13、①.##②.【解析】根据求出的范围，根据余弦函数的图像性质即可求其最小值.【详解】∵，∴，∴当，即时，取得最小值为，∴当时，最小值为.故答案为：；－3.14、120【解析】利用扇形的面积公式求解.【详解】由题意得：扇形弧长为30，半径为8，所以扇形的面积为：，故答案为：12015、##【解析】运用均值不等式中“1”的妙用即可求解.【详解】解：因为，，且，所以，当且仅当时等号成立，故答案为：.16、【解析】利用二倍角公式可得，再由同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】解：因为，整理可得，解得，或2（舍去），由于，可得，，所以，故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、【解析】因为和关于轴对称，所以，那么，（或），所以.【考点】同角三角函数，诱导公式，两角差余弦公式【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若与的终边关于轴对称，则，若与的终边关于轴对称，则，若与的终边关于原点对称，则.18、（1）；（2）或.【解析】（1）首先根据三角函数的定义，求得三角函数值，再结合二倍角公式化简，求值；（2）利用角的变换，利用两角和的余弦公式，化简求值.【详解】解：由三角函数定义得，（1）（2）∵∴∴当时当时19、（1）（2）【解析】（1）根据题意可得，从而可求得，再根据正弦函数的性质结合整体思想即可得出答案；（2）求出平移后的函数的解析式，再根据正余弦函数的奇偶性即可得出答案.【小问1详解】解：因为函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，所以，所以，所以，所以，当时，，所以当时，函数取得最小值，当时，函数取得最大值，所以；【小问2详解】解：函数的图象向左平移个单位后，得到函数，因为为偶函数，所以，所以，又因为，所以.20、（1）f（x）为奇函数，证明见解析；（2）当a＞1时，不等式的解集为（0，1）；当0＜a＜1时，不等式的解集为（﹣1，0）【解析】（1）先求出函数的定义域，再求出f（﹣x）与f（x）的关系，利用函数的奇偶性的定义，得出结论；（2）分类讨论底数的范围，再利用函数的定义域和单调性，求得x的范围【小问1详解】对于函数，由，求得﹣1＜x＜1，故函数的定义域为（﹣1，1），再根据可得f（x）为奇函数【小问2详解】不等式f（x）＞0，即loga（x+1）＞loga（1﹣x），当a＞1时，可得x+1＞1﹣x，且x∈（﹣1，1），求得0＜x＜1当0＜a＜1时，可得x+1＜1﹣x，且x∈（﹣1，1），求得﹣1＜x＜0，综上，当a＞1时，不等式的解集为（0，1）；当0＜a＜1时，不等式的解集为（﹣1，0）21、（1）；（2）答案见解析.【解析】(1)先将分式不等式转化成一元二次不等式，再根据解集与根的关系，即得结果；(2)