云南省曲靖市宜良县第八中学2025届高二数学第一学期期末调研试题含解析

云南省曲靖市宜良县第八中学2025届高二数学第一学期期末调研试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，则直线A1C1到平面ACD1的距离为（）A.1 B.C. D.2．在等差数列中，已知，则（）A.4 B.8C.3 D.63．已知在一次降雨过程中，某地降雨量（单位：mm）与时间t（单位：min）的函数关系可表示为，则在时的瞬时降雨强度为（）mm/min.A. B.C.20 D.4004．若的解集是，则等于（）A.-14 B.-6C.6 D.145．已知椭圆和双曲线有共同的焦点，分别是它们的在第一象限和第三象限的交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则等于（）A.4 B.2C.2 D.36．已知定义在上的函数满足：，且，则的解集为（）A. B.C. D.7．等比数列的公比，中有连续四项在集合中，则等于（）A. B.C D.8．是等差数列，且，，则的值（）A. B.C. D.9．若函数在定义域上单调递增，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.10．已知函数在处取得极小值，则（）A. B.C. D.11．已知，，若，则实数的值为（）A. B.C. D.212．太极图被称为“中华第一图”，闪烁着中华文明进程的光辉，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美．定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O的一个“太极函数”，设圆O：，则下列说法中正确的是（）①函数是圆O的一个太极函数②圆O的所有非常数函数的太极函数都不能为偶函数③函数是圆O的一个太极函数④函数的图象关于原点对称是为圆O的太极函数的充要条件A.①② B.①③C.②③ D.③④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知是双曲线的左焦点，圆与双曲线在第一象限的交点，若的中点在双曲线的渐近线上，则此双曲线的离心率是___________.14．已知p：x＞a是q：2＜x＜3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是______.15．已知圆，以点为中点的弦所在的直线的方程是___________16．有公共焦点，的椭圆和双曲线的离心率分别为，，点为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数（1）若在点处的切线与轴平行，求的值；（2）当时，求证：；（3）若函数有两个零点，求的取值范围18．（12分）记为数列的前项和，且（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和19．（12分）如图所示等腰梯形ABCD中，，，，点E为CD的中点，沿AE将折起，使得点D到达F位置.（1）当时，求证：平面AFC；（2）当时，求二面角的余弦值.20．（12分）新疆长绒棉品质优良，纤维柔长，被世人誉为“棉中极品”，产于我国新疆的吐鲁番盆地、塔里木盆地的阿克苏、喀什等地.棉花的纤维长度是评价棉花质量的重要指标之一，在新疆某地区成熟的长绒棉中随机抽测了一批棉花的纤维长度（单位：mm），将样本数据制成频率分布直方图如下：（1）求的值；（2）估计该样本数据的平均数（同一组中的数据用该组数据区间的中点值为代表）；（3）根据棉花纤维长度将棉花等级划分如下：纤维长度小于30mm大于等于30mm，小于40mm大于等于40mm等级二等品一等品特等品从该地区成熟的棉花中随机抽测两根棉花的纤维长度，用样本的频率估计概率，求至少有一根棉花纤维长度达到特等品的概率.21．（12分）设命题p：，命题q：关于x的方程无实根.（1）若p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若为假命题，为真命题，求实数m的取值范围22．（10分）如图，在三棱柱中，＝2，且，⊥底面ABC．E为AB中点（1）求证：平面；（2）求平面与平面CEB夹角的余弦值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】先证明点A1到平面ACD1的距离即为直线A1C1到平面ACD1的距离，再建立空间直角坐标系，利用向量法求解.【详解】因为平面平面，所以A1C1//平面ACD1，则点A1到平面ACD1的距离即为直线A1C1到平面ACD1的距离.建立如图所示的空间直角坐标系，易知＝(0,0,1)，由题得平面,所以平面,所以,同理,因为平面，所以平面，所以是平面一个法向量，所以平面ACD1的一个法向量为＝(1,1,1)，故所求的距离为.故选：B【点睛】方法点睛：求点到平面的距离常用的方法有：（1）几何法（找作证指求）；（2）向量法；（3）等体积法.要根据已知条件灵活选择方法求解.2、B【解析】根据等差数列的性质计算出正确答案.【详解】由等差数列的性质可知，得.故选:B3、B【解析】对题设函数求导，再求时对应的导数值，即可得答案.【详解】由题设，，则，所以在时的瞬时降雨强度为mm/min.故选：B4、A【解析】由一元二次不等式的解集，结合根与系数关系求参数a、b，即可得.【详解】∵的解集为，∴-5和2为方程的两根，∴有，解得，∴.故选：A.5、A【解析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，由定义可得，，在中利用余弦定理可得，即可求出结果.【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，不妨设在第一象限，根据椭圆和双曲线定义，得，，，由可得，又，在中，，即，化简得，两边同除以，得.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查共焦点的椭圆与双曲线的离心率问题，解题的关键是利用定义以及焦点三角形的关系列出齐次方程式进行求解.6、A【解析】令，利用导数可判断其单调性，从而可解不等式.【详解】设，则，故为上的增函数，而可化为即，故即，所以不等式的解集为，故选：A.7、C【解析】经分析可得，等比数列各项的绝对值单调递增，将五个数按绝对值的大小排列，计算相邻两项的比值，根据等比数列的定义即可求解.【详解】因为等比数列中有连续四项在集合中，所以中既有正数项也有负数项，所以公比，因为，所以，且负数项为相隔两项，所以等比数列各项的绝对值单调递增，按绝对值排列可得，因，，，，所以是中连续四项，所以，故选：C.8、B【解析】根据等差数列的性质计算【详解】因为是等差数列，所以，，也成等差数列，所以故选：B9、D【解析】函数在定义域上单调递增等价于在上恒成立，即在上恒成立，然后易得，最后求出范围即可.【详解】函数的定义域为，，在定义域上单调递增等价于在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，分离参数得，所以，即.【点睛】方法点睛：已知函数的单调性求参数的取值范围的通解：若在区间上单调递增，则在区间上恒成立；若在区间上单调递减，则在区间上恒成立；然后再利用分离参数求得参数的取值范围即可.10、A【解析】由导数与极值与最值的关系，列式求实数的值.【详解】由条件可知，，，解得：，，检验，时，当，得或，函数的单调递增区间是和，当，得，所以函数的单调递减区间是，所以当时，函数取得极小值，满足条件.所以.故选：A11、D【解析】由，然后根据向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】解：因，，所以，因为，所以，即，解得，故选：D.12、B【解析】①③可以通过分析奇偶性和结合图象证明出符合要求，②④可以举出反例.【详解】是奇函数，且与圆O的两交点坐标为，能够将圆O的周长和面积同时等分为两个部分，故符合题意，①正确；同理函数是圆O的一个太极函数，③正确；例如，是偶函数，也能将将圆O的周长和面积同时等分为两个部分，故②错误；函数的图象关于原点对称不是为圆O的太极函数的充要条件，例如为奇函数，但不满足将圆O的周长和面积同时等分为两个部分，所以④错误；故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】计算点渐近线的距离，从而得，由勾股定理计算，由双曲线定义列式，从而计算得，即可计算出离心率.【详解】设双曲线右焦点为，因为的中点在双曲线的渐近线上，由可知，，因为为中点，所以，所以，即垂直平分线段，所以到渐近线的距离为，可得，所以，由双曲线定义可知，，即，所以，所以.故答案为：【点睛】双曲线的离心率是椭圆最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范围)14、【解析】根据充分性和必要性，求得参数取值范围，即可求得结果.【详解】因为p：x＞a是q：2＜x＜3的必要不充分条件，故集合为集合的真子集，故只需.故答案为：.15、【解析】设，利用以为中点的弦所在的直线即为经过点且垂直于AC的直线求得直线斜率，由点斜式可求得直线方程【详解】圆的方程可化为，可知圆心为设，则以为中点的弦所在的直线即为经过点且垂直于的直线．又知，所以，所以直线的方程为，即故答案为：【点睛】本题考查圆的几何性质，考查直线方程求解，是基础题16、4【解析】可设为第一象限的点，，，求出，，化简即得解.【详解】解：可设为第一象限的点，，，由椭圆定义可得，由双曲线的定义可得，可得，，由，可得，即为，化为，则故答案为：4三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）证明见解析；（3）.【解析】（1）由可求得实数的值；（2）利用导数分析函数的单调性，求得，即可证得结论成立；（3）分析可知在上存在唯一的极值点，且，可得出，构造函数，分析函数的单调性，求得的取值范围，再构造，分析函数的单调性，求出的范围，即可得出的取值范围.【小问1详解】解：因为的定义域为，.由题意可得，解得.【小问2详解】证明：当时，，该函数的定义域为，，令，其中，则，故函数在上递减，因为，，所以，存在，使得，则，且，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以，，所以，当时，.【小问3详解】解：函数的定义域为，.令，其中，则，所以，函数单调递减，因为函数有两个零点，等价于函数在上存在唯一的极值点，且为极大值点，且，即，所以，，令，其中，则，故函数在上单调递增，又因为，由，可得，构造函数，其中，则，所以，函数在上单调递增，故，因此，实数的取值范围是.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.18、（1）（2）【解析】（1）利用，再结合等比数列的概念，即可求出结果；（2）由（1）可知数列是以为首项，公差为的等差数列，根据等差数列的前项和公式，即可求出结果.【小问1详解】解：当时，，解得；当且时，所以所以是以为首项，为公比的等比数列所以；【小问2详解】解：由（1）可知，所以，又,所以数列是以为首项，公差为的等差数列，所以数列的前项和.19、（1）证明见解析（2）【解析】（1）结合线面垂直的判定定理来证得结论成立.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得二面角的大小.【小问1详解】设，由于四边形是等腰梯形，是的中点，，所以，所以四边形是平行四边形，由于，所以四边形是菱形，所以，由于，是的中点，所以，由于，所以平面.【小问2详解】由于，所以三角形、三角形、三角形是等边三角形，设是的中点，设，则，所以，所以，由于两两垂直.以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，，,平面的法向量为，设平面法向量为，则，故可设，由图可知，二面角为钝角，设二面角为，，则.20、（1）（2）（3）【解析】（1）由频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1，可求出答案.（2）根据平均数的公式可得到答案.（3）先求出一根棉花纤维长度达到特等品的概率，然后分恰好有一根和两根棉花小问1详解】由解得【小问2详解】该样本数据的平均数为：【小问3详解】由题意一根棉花纤维长度达到特等品的概率为：两根棉花中至少有一根棉花纤维长度达到特等品的概率21、（1）（2）【解析】（1）解一元二次不等式,即可求得当为真命题时的取值范围;（2）先求得命题为真命题时的取值范围.由为假命题,为真命题可知,两命题一真一假.分类讨论,即可求得的取值范围.【详解】（1）当为真命题时,解不等式可得；（2）当为真命题时,由,可得,∵为假命题,为真命题,∴,两命题一真一假,∴或,解得或,∴m的取值范围是.【点睛】本题考查了根据命题真假求参数的取值范围,由复合命题真假判