线性代数与解析几何-矩阵

第二章矩阵§2.1

矩阵与矩阵的运算一、矩阵概念的引入二、矩阵的定义三、特殊的矩阵四、矩阵的运算√√√√√其中√表示有航班始发地ABCD目的地ABCD例

某航空公司在A、B、C、D四座城市之间开辟了若干航线，四座城市之间的航班图如图所示，箭头从始发地指向目的地.BACD城市间的航班图情况常用表格来表示:√√一、矩阵概念的引入为了便于计算，把表中的√改成1，空白地方填上0，就得到一个数表：ABCDABCD√√√√√√√这个数表反映了四个城市之间交通联接的情况.其中aij

表示工厂向第

i家商店发送第j种货物的数量．例

某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可用数表表示为：这四种货物的单价及单件重量也可列成数表：其中bi1

表示第

i种货物的单价，bi2

表示第

i种货物的单件重量．数域定义：对于一个至少含有0，1的复数集合的子集合F，如

果其中任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）

仍在F中，那么F称为一个数域．所有的有理数、实数、复数都分别形成一个数域（有理数域、实数域、复数域），分别记为所有的奇数（偶数）都不能构成数域.构成一个数域.通常用表示这个数域.例

集合证显然包含0,1并且对于加减法是封闭的.另外因为a,b,c,d都是有理数，所以ac+2bd,ad+bc也是有理数.从而说明对乘法也是封闭的.设，则知对除法也封闭.

由

m×n

个数排成的

m

行

n

列的数表称为

m行

n列矩阵，简称

m×n

矩阵．记作二、矩阵的定义（定义在数域F上）简记为元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵.这m×n

个数称为矩阵A的元素，简称为元.行数不一定等于列数共有m×n个元素本质上就是一个数表行数等于列数共有n2个元素矩阵行列式同型矩阵与矩阵相等的概念

两个矩阵的行数相等、列数相等时，称为同型矩阵.例如为同型矩阵.

两个矩阵与为同型矩阵，并且对应元 素相等，即 则称矩阵A

与

B相等，记作A=B

.注意：不同型的零矩阵是不相等的.例如只有一行的矩阵称为行矩阵(或行向量).

只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量).2.元素全是零的矩阵称为零距阵．可记作O

.例如：三、特殊的矩阵3.行数与列数都等于

n的矩阵，称为n阶方阵．可记作.称为方阵的主对角线元素，所有主对角线元素的和称为方阵的迹，记为

形如的方阵称为对角阵．

特别的，方阵称为单位矩阵．记作记作．定义

设，称是A的负矩阵，其中例

某工厂生产四种货物，它在上半年和下半年向三家商店发送货物的数量可用数表表示：试求：工厂在一年内向各商店发送货物的数量．其中aij

表示上半年工厂向第

i家商店发送第

j种货物的数量．其中cij

表示工厂下半年向第

i家商店发送第j

种货物的数量．解：工厂在一年内向各商店发送货物的数量1、矩阵的加法定义：设有两个

m×n

矩阵

A=(aij)，B=(bij)，那么矩阵

A与

B的和记作

A＋B，规定为说明：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.知识点比较交换律结合律其他矩阵加法的运算规律设

A、B、C是同型矩阵设矩阵

A=(aij)，记－A

=(－aij)（A的负矩阵）．显然设工厂向某家商店发送四种货物各

l件，试求：工厂向该商店发送第

j种货物的总值及总重量．例（续）该厂所生产的货物的单价及单件重量可列成数表：其中bi1

表示第

i种货物的单价，bi2

表示第

i种货物的单件重量．解：工厂向该商店发送第

j种货物的总值及总重量其中bi1

表示第

i种货物的单价，bi2

表示第

i种货物的单件重量．2、数与矩阵相乘定义：数

k是复数域中的一个数，它与矩阵

A

的乘积记作

kA

或

Ak

，规定为结合律分配律备注数乘矩阵的运算规律设

A、B是同型矩阵，l

,

m

是数矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算.知识点比较其中aij

表示工厂向第

i家商店发送第j种货物的数量．例（续）

某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可用数表表示为：这四种货物的单价及单件重量也可列成数表：其中bi1

表示第

i种货物的单价，bi2

表示第

i种货物的单件重量．试求：工厂向三家商店所发货物的总值及总重量．解：以

ci1，ci2

分别表示工厂向第

i家商店所发货物的总值及总重量，其中i=1,2,3．于是其中aij

表示工厂向第

i家商店发送第j种货物的数量．其中bi1

表示第

i种货物的单价，bi2

表示第

i种货物的单件重量．可用矩阵表示为一般地，4、矩阵与矩阵相乘定义：设，，那么规定矩阵

A与矩阵

B的乘积是一个

m×n

矩阵，其中并把此乘积记作C=AB．例：设则知识点比较有意义.没有意义.只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.例P.34例1.2

结论：矩阵乘法不一定满足交换律.矩阵，却有， 从而不能由得出或的结论．矩阵乘法的运算规律(1)

乘法结合律证明？

(3)

乘法对加法的分配律(2)

数乘和乘法的结合律（其中

l

是数）(4)单位矩阵在矩阵乘法中的作用类似于数1，即矩阵乘法不一定满足交换律!!!(5)

设A是一个n阶方阵，f(x),g(x)为复系数的多项式，则矩阵A的多项式f(A)和g(A)的乘法满足交换律,即f(A)g(A)=g(A)f(A).例：如果AB=BA,我们就称矩阵A，B可交换.证明和对角矩阵可交换的只能是对角矩阵.其中证设矩阵B可以和A可交换.其中则即依次比较两边矩阵的第一行，第二行，…….,可以得到故结论成立(5)矩阵的幂若A是n阶方阵，定义显然,定义思考：下列等式在什么时候成立？A、B可交换时成立5、矩阵的转置定义：把矩阵

A的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作AT

.例转置矩阵的运算性质例：已知解法1解法2定义：设A

为n

阶方阵，如果满足，即那么A称为对称阵.如果满足A=－AT，那么A称为反对称阵.对称阵反对称阵例：设列矩阵X=(x1,x2,…,xn

)T

满足XT

X=1，E

为n阶单位阵，H=E－2XXT，试证明

H是对称阵，且HHT=E.证明：从而

H是对称阵．6、共轭矩阵当为复矩阵时，用表示的共轭复数，记，称为的共轭矩阵.

显然，复矩阵A是实矩阵当且仅当.

例（设A，B

为复矩阵，l为复数，且运算都是可行的）：性质§2.2

矩阵的分块前言由于某些条件的限制，我们经常会遇到大型文件无法上传的情况，如何解决这个问题呢?这时我们可以借助WINRAR把文件分块，依次上传.家具的拆卸与装配问题一：什么是矩阵分块法？问题二：为什么提出矩阵分块法？问题一：什么是矩阵分块法？定义：用一些水平线和垂直线将矩阵分成若干个小块，这种操作称为对矩阵进行分块；每一个小块称为矩阵的子块；矩阵分块后，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.这是2阶方阵吗？例分块矩阵把矩阵A用水平线和垂直线分割成若干个小矩阵.如下图问题二：为什么提出矩阵分块法？答：对于行数和列数较高的矩阵A，运算时采用分块法，可以使大矩阵的运算化成小矩阵的运算，体现了化整为零的思想.分块矩阵的加法若矩阵A、B是同型矩阵，且采用相同的分块法，即则有形式上看成是普通矩阵的加法！分块矩阵的数乘若l是数，且

则有形式上看成是普通的数乘运算！分块矩阵的乘法一般地，设A为m

l

矩阵，B为l

n矩阵

，把A、B分块如下：分块矩阵的转置若，则例如：分块矩阵不仅形式上进行转置，而且每一个子块也进行转置．分块对角矩阵（补充）定义：设A

是n

阶矩阵，若

A

的分块矩阵只有在对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，对角线上的子块都是方阵，那么称A

为分块对角矩阵．例如：方阵的行列式定义：由

n阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵

A的行列式，记作|A|或detA.运算性质证明：要使得|AB|=|A||B|

有意义，A、B

必为同阶方阵，假设A=(aij)n×n，B=(bij)n×n.我们以

n=3为例，构造一个6阶行列式令，则

C=(cij)=AB．从而．§2.3

矩阵的秩一、矩阵的初等变换二、矩阵的秩引例：求解线性方程组①②③④一、矩阵的初等变换①②③④①②③÷2①②③④②－③③－2×①④－3×①①②③④①②③④②÷2③＋5×②④－3×②①②③④①②③④④－2×③③④①②③④①②③④取x3

为自由变量，则令x3=c

，则恒等式①②③④三种变换：交换方程的次序，记作；以非零常数k乘某个方程，记作；一个方程加上另一个方程的k倍，记作.

其逆变换是：结论：由于对原线性方程组施行的变换是可逆变换，因此变换前后的方程组同解.在上述变换过程中，实际上只对方程组的系数和常数进行运算，未知数并未参与运算．iji×ki＋kjiji×ki+kjiji÷ki－kj定义：下列三种变换称为矩阵的初等行变换：交换矩阵中的两行，记作；以非零常数k乘某一行的所有元素，记作；某一行加上另一行的k倍，记作.其逆变换是：把定义中的“行”换成“列”，就得到矩阵的初等列变换的定义．矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换．初等变换初等行变换初等列变换有限次初等变换矩阵A与矩阵B等价，记作矩阵之间的等价关系具有下列性质：反身性；对称性若，则；传递性若，则．阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为零；每个台阶只有一行；阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素.阶梯形矩阵若某行中每个元素都为0，则位于该行下面各行元素也全为0.若有非零元素且非零元素出现于前r行，而对于i=1,2,…,r,第i行中左起第1个非零元素为,则.例是阶梯形矩阵，而不是阶梯形矩阵.证设m×n

矩阵A

若所有的均为0，则显然A是阶梯形矩阵.定理任意一个矩阵都可经过一系列初等行变换化为阶梯形矩阵.否则，设A的第列的元素均为0，而第列有非零元素.利用矩阵的初等变换其中.依次类推.

例把化成阶梯形矩阵.

解

（续）考虑列初等变换

定理任意一个m×n

矩阵A都可与一个形如的矩阵等价.为A的等价标准形.任何矩阵阶梯形矩阵等价标准形矩阵一系列初等行变换一系列初等列变换一系列初等变换结论二、矩阵的秩的概念定义：在m×n

矩阵A中，任取k

行k

列(k≤m，k≤n)，位于这些行列交叉处的k2

个元素按原来的顺序组成的k

阶行列式，称为矩阵A的k阶子式．显然，m×n

矩阵A的k

阶子式共有个．概念辨析：

k阶子式、矩阵的子块、余子式、代数余子式与元素a12相对应的余子式相应的代数余子式矩阵A

的一个2阶子块矩阵A的一个2阶子式矩阵A的一个3阶子式矩阵A的2阶子式如果矩阵A中所有2阶子式都等于零，那么这个3阶子式也等于零．定义：设矩阵A中有一个不等于零的r阶子式

D，且所有r+1阶子式（如果存在的话）全等于零，那么

数r

称为矩阵

A

的秩，记作r(A)．根据行列式按行（列）展开法则可知，矩阵A中任何一个r+2阶子式（如果存在的话）都可以用r+1阶子式来表示．如果矩阵A中所有r+1阶子式都等于零，那么所有r+2阶子式也都等于零．事实上，所有高于r+1阶的子式（如果存在的话）也都等于零．

因此矩阵A

的秩就是A

中非零子式的最高阶数．规定：零矩阵的秩等于零．矩阵A

的秩就是A

中非零子式的最高阶数．显然，若矩阵A

中有某个s

阶子式不等于零，则r(A)≥s； 若矩阵A

中所有t

阶子式等于零，则r(A)<t

．若

A为n阶矩阵，则A的n

阶子式只有一个，即|A|． 当|A|≠0时，r(A)=n;

（非奇异矩阵）又称为满秩矩阵．

当|A|=0时，r(A)<n;

（奇异矩阵）又称为降秩矩阵．若

A为m×n

矩阵，则0≤r(A)≤min(m,n)．r(AT)=r(A)．矩阵A的一个2阶子式矩阵AT

的一个2阶子式AT

的子式与A

的子式对应相等，从而r(AT)=r(A)．例：求矩阵A

和B

的秩，其中解：在

A中，2阶子式．A的3阶子式只有一个，即|A|，而且|A|=0，因此r(A)=2．例：求矩阵A

和B

的秩，其中解（续）：B是一个行阶梯形矩阵，其非零行有3行，因此其4阶子式全为零．以非零行的第一个非零元为对角元的3阶子式，因此r(B)=3．还存在其它3阶非零子式吗？例：求矩阵A

和B

的秩，其中解（续）：B

还有其它

3

阶非零子式，例如结论：阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数．证明

只需证明A经过一次初等变换化成,有定理初等变换不改变矩阵的秩.下面以列变换为例，按三种初等列变换分别论证.设.要证的任意k(k>r)阶子式

D全为零，为此对A按列分块，设经过初等变换后变为取B的任意一个k(k>r)阶子式D,记是D中分别对应于的列.则D有三种情形.(1)

D中不含B的第i列，这时D就是A的子式.则D=0.(2)D中含B的第i列，但不含B的第j列,这时(3)D同时含B的第i列和第j列,B中高于r阶的子式都为0，所以，同理可得

.结论成立.分析

比较矩阵A、B的等价标准形.性质1两个矩阵A、B等价的条件是当且仅当它们有相同的秩.性质2阶梯形矩阵的秩等于它非零行的数目.例：求矩阵A

的秩，其中．分析：在

A中，2阶子式．A的3阶子式共有(个)，要从40个子式中找出一个非零子式是比较麻烦的．一般的矩阵，当行数和列数较高时，按定义求秩是很麻烦的.阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数.一个自然的想法是用初等变换将一般的矩阵化为阶梯形矩阵.两个等价的矩阵的秩是否相等？例：求矩阵的秩。解：第一步先用初等行变换把矩阵化成阶梯形矩阵．阶梯形矩阵有3个非零行，故r(A)=3

．分析：对B

作初等行变换变为阶梯形矩阵，设B

的阶梯形矩阵为，则就是A

的阶梯形矩阵，因此可从中同时看出r(A)及r(B)．例：设，求矩阵A

及矩阵B=(A,b)的秩．解：r(A)=2r(B)=3§2.4

矩阵的逆矩阵与复数相仿，有加、减、乘三种运算.矩阵的乘法是否也和复数一样有逆运算呢？这就是本节所要讨论的问题.这一节所讨论的矩阵，如不特别说明，所指的都是n阶方阵.

从乘法的角度来看，n阶单位矩阵E在同阶方阵中的地位类似于1在复数中的地位．一个复数a

≠0的倒数a－1可以用等式aa－1

=1来刻划.类似地，我们引入对于n阶单位矩阵E以及同阶的方阵A，都有定义：

n阶方阵A称为可逆的，如果有n阶方阵B，使得这里E是n阶单位矩阵.根据矩阵的乘法法则，只有方阵才能满足上述等式.对于任意的n阶方阵A，适合上述等式的矩阵B是唯一的