专项11-多边形的角的计算与证明-大题专练（30题）专题培优

多边形的角的计算与证明-大题专练（30题）-专题培优一．解答题（共30小题）1．（花都区期末）已知，四边形ABCD中，∠C+∠D＝200°，∠B＝3∠A，求∠A和∠B的度数．2．（海陵区校级月考）一个多边形的所有内角与它的一个外角之和是2018°，求这个外角的度数和它的边数．3．（大丰区月考）一个多边形的每个内角都相等，每个内角与相邻外角的差为100°，求这个多边形内角和的度数和边数．4．（鼓楼区校级月考）在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比与它相邻外角的3倍还大20°，求这个多边形的边数以及它的内角和．5．（临河区期末）在各个内角都相等的多边形中，一个内角是一个外角的4倍，则这个多边形是几边形？这个多边形的内角和是多少度？6．（浦东新区期中）若一个多边形的内角和的147．（娄底月考）一个多边形的内角和与外角和的度数总和为1260°，求多边形的边数．8．（和平区期末）如图，五角星的顶点为A、B、C、D、E，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数？9．（阜平县期中）已知n边形的内角和θ＝（n﹣2）×180°．（1）当θ＝900°时，求出边数n；（2）小明说，θ能取800°，这种说法对吗？若对，求出边数n；若不对，说明理由．10．（江岸区校级月考）求出下列图形中x的值．11．（玄武区校级月考）如图，在△ABC中，∠A＝80°，∠C＝60°，F、H是BC上的点，FG⊥AC，HD⊥AC，垂足分别为G、D，在AB上取一点E，使∠BED+∠B＝180°，求四边形BEDH各内角的度数．12．（襄城区期末）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，将四边形沿对角线BD折叠，点A恰好落在DC边上的点E处，若∠EBC＝20°，求∠EBD的度数．13．（邗江区月考）如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．（1）求证：∠A+∠C＝∠B+∠D．利用以上结论解决下列问题：（2）如图2所示，∠1＝130°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为．（3）如图3，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD，AB分别相交于点M，N．①若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数．②若角平分线中角的关系改成“∠CAP=14∠CAB，∠CDP=14∠CDB”，试直接写出∠P与∠14．（新吴区月考）（1）如图①，把三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的内部时，∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律；（2）如果把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED的外部点A′的位置，如图②，此时∠A与∠1、∠2之间存在什么样的关系？（3）如果把四边形ABCD沿EF折叠，使点A、D落在四边形BCFE的内部A′、D′的位置，如图③，你能求出∠A、∠D、∠1与∠2之间的关系吗？（直接写出关系式即可）15．（徐州期中）如图，在四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°．（1）如图1，若∠B＝∠C，则∠C＝度；（2）如图2，若∠ABC的角平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，试求出∠C的度数；（3）①如图3，若∠ABC和∠DCB的角平分线交于点E，试求出∠BEC的度数；②在①的条件下，若延长BA、CD交于点F（如图4）．将原来条件“∠A＝140°，∠D＝80°”改为“∠F＝40°”．其他条件不变．则∠BEC的度数为．16．（沂水县期末）（1）已知图①中的三角形ABC，分别作AB，BC，CA的延长线BD，CE，AF，测量∠CBD，∠ACE，∠BAF的度数，并计算∠CBD+∠ACE+∠BAF．由此你有什么发现？请利用所学知识解释说明；（2）类似地，已知图②中的四边形PQRS，分别作PQ，QR，RS，SP的延长线QG，RH，SM，PN，测量∠RQG，∠SRH，∠PSM，∠QPN的度数，并计算∠RQG+∠SRH+∠PSM+∠QPN．由此你又有什么发现？（3）综合（1）（2）的发现，你还能进一步得到什么猜想？17．（丛台区校级期末）在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角的3倍还大20°，（1）求这个多边形的边数；（2）若将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是多少？18．（雨花区校级月考）已知：如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝∠BAD．（1）求证：AD∥BC；（2）若∠ABC的平分线交CD的延长线于点E，过点E作EF⊥EB交BA的延长线于点F，∠F＝50°，求∠BCD的度数．19．（即墨区期末）“转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化成简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题．（1）请你根据已经学过的知识求出下面星形图（1）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数；（2）若对图（1）中星形截去一个角，如图（2），请你求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；（3）若再对图（2）中的角进一步截去，你能由题（2）中所得的方法或规律，猜想图3中的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N的度数吗？只要写出结论，不需要写出解题过程）20．（齐齐哈尔期末）探究与发现：探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？已知：如图1，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系．探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？已知：如图2，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？已知：如图3，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系．21．（巴南区期中）已知边数为n的多边形的一个外角是m°，内角和是x°，外角和是y°．（1）当x＝2y时，求n的值；（2）若x+y+m＝2380，求m的值．22．（中山市校级期中）回答下列问题：（1）如图①，△ABC的内角∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线相交于P点，∠A＝40°，∠P的度数＝（直接写出答案）．（2）如图②，四边形ABCD中，设∠A＝α，∠D＝β，∠P为四边形ABCD的内角∠ABC与外角∠DCE的平分线所在直线相交而形成的锐角，如图②，若α+β＞180°，求∠P的度数（用α，β的代数式表示，写出详细过程）．23．（江岸区校级月考）在四边形ABCD中，O在其内部，满足∠ABO=1n∠ABC，∠DCO=1（1）如图1，当n＝2时，如果∠A+∠D＝260°，直接写出∠O的度数；（2）当n＝3时，M、N分别在AB、DC的延长线上，BC下方一点P，满足∠CBP＝2∠PBM，∠BCP＝2∠PCN，①如图2，判断∠O与∠P之间的数量关系，并证明你的结论；②如图3，延长线段BO、PC交于点Q，△BQP中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，直接写出∠A+∠D的度数为．24．（袁州区校级期中）（1）如图1我们称之为“8”字形，请直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系；（2）如图2，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝度；（3）如图3所示，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，猜想∠B，∠P，∠D之间的数量关系，并证明．25．（袁州区校级期中）四边形ABCD中，∠BAD的角平分线与边BC交于点E，∠ADC的角平分线交直线AE于点O．（1）若点O在四边形ABCD的内部，①如图1，若AD∥BC，∠B＝50°，∠C＝70°，则∠DOE＝°；②如图2，试探索∠B、∠C、∠DOE之间的数量关系，并将你的探索过程写下来．（2）如图3，若点O在四边形ABCD的外部，请你直接写出∠B、∠C、∠DOE之间的数量关系．26．（天心区期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC，DF平分∠CDA．（1）若∠ABC＝76°，求∠AEB的大小；（2）求证：BE∥DF．27．（青秀区校级期中）已知某正多边形的一个内角都比它相邻外角的3倍还多20°．（1）求这个正多边形一个内角的度数；（2）求这个正多边形的内角和．28．（温岭市期中）已知一个n边形的每个内角是135°．（1）求n；（2）求这个n边形的内角和．29．（蜀山区校级期中）在活动课上我们曾经探究过三角形内角和等于180°，四边形内角和等于360°，五边形内角和等于540°，…，请同学们仔细读题，看图，解决下面的问题：（1）如图①，△OAB、△OCD的顶点O重合，且∠A+∠B+∠C+∠D＝180°，则∠AOB+∠COD＝（直接写出结果）．（2）连接AD、BC，若AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线．①如图②，如果∠AOB＝110°，那么∠COD的度数为（直接写出结果）．②如图③，若∠AOD＝∠BOC，AB与CD平行吗？请写出理由．30．（福山区期中）直线在同一平面内有平行和相交两种位置关系，线段首尾连接可以变换出很多不同的图形，这些不同的角又有很多不同关系，今天我们就来探究一下这些奇妙的图形吧！【问题探究】（1）如图1，请直接写出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝；（2）将图1变形为图2，∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E的结果如何？请写出证明过程；（3）将图1变形为图3，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的结果如何？请写出证明过程．【变式拓展】（4）将图3变形为图4，已知∠BGF＝160°，那么∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是．

多边形的角的计算与证明-大题专练（30题）-专题培优（解析版）一．解答题（共30小题）1．（花都区期末）已知，四边形ABCD中，∠C+∠D＝200°，∠B＝3∠A，求∠A和∠B的度数．【分析】利用四边形的内角和等于360度即可解决问题．【解析】：∵四边形内角和360°，∠C+∠D＝200°，∴∠B+∠A＝360°﹣200°＝160°，∵∠B＝3∠A，∴3∠A+∠A＝160°，∴∠A＝40°，∴∠B＝120°．答：∠A和∠B的度数分别是40°和120°．2．（海陵区校级月考）一个多边形的所有内角与它的一个外角之和是2018°，求这个外角的度数和它的边数．【分析】设这个多边形边数是n，表示出一个外角的范围，求出不等式的解集确定出正整数n的值，即为多边形的边数，继而求出这个外角即可．【解析】：设这个多边形的边数是n，n为正整数，根据题意得：0°＜2018°﹣（n﹣2）×180°＜180°，解得：109990＜n即n＝13，这个外角为2018°﹣（13﹣2）×180°＝38°．3．（大丰区月考）一个多边形的每个内角都相等，每个内角与相邻外角的差为100°，求这个多边形内角和的度数和边数．【分析】设这个多边形的内角为n°，则根据题意列出方程求出n的值，再根据多边形的外角和等于360度和多边形的内角和公式求出多边形的边数和内角和．【解析】：设这个多边形的内角为n°，则根据题意可得：n﹣（180﹣n）＝100，解得：n＝140．故多边形的外角度数为：180﹣140＝40°，∵多边形的外角和等于360度，∴这个多边形的边数为：360°÷40°＝9，内角和为：（9﹣2）×180°＝1260°．故这个多边形的内角和度数为1260°，边数为9．4．（鼓楼区校级月考）在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比与它相邻外角的3倍还大20°，求这个多边形的边数以及它的内角和．【分析】设多边形的一个外角为α，则与其相邻的内角等于3α+20°，根据内角与其相邻的外角的和是180度列出方程，求出α的值，再由多边形的外角和为360°，求出此多边形的边数为360°÷α，进而求出多边形的内角和．【解析】：设多边形的一个外角为α，则与其相邻的内角等于3α+20°，由题意，得（3α+20°）+α＝180°，解得α＝40°，即多边形的每个外角为40°，又∵多边形的外角和为360°，∴多边形的外角个数=360°∴多边形的边数＝9，∴多边形的内角和＝（9﹣2）×180°＝1260°．5．（临河区期末）在各个内角都相等的多边形中，一个内角是一个外角的4倍，则这个多边形是几边形？这个多边形的内角和是多少度？【分析】首先设多边形的边数为n，根据多边形内角和公式180°（n﹣2）和多边形外角和为360°，可得方程180（n﹣2）＝360×4，再解即可得边数，再利用内角和公式即可得到结论．【解析】：设多边形的边数为n，180（n﹣2）＝360×4，解得：n＝10，这个多边形的内角和＝（10﹣2）×180＝1440（度）．答：这个多边形是10边形，这个多边形的内角和是1440度．6．（浦东新区期中）若一个多边形的内角和的14【分析】设这个多边形的边数是n，由题意“一个多边形的内角和的14【解析】：设这个多边形的边数是n，由题意得：14（n解得：n＝12，答：这个多边形的边数是12．7．（娄底月考）一个多边形的内角和与外角和的度数总和为1260°，求多边形的边数．【分析】设多边形的边数为n，根据多边形内角和公式可列出方程，解方程即可．【解析】：设多边形的边数是n，由题意得，（n﹣2）×180°+360°＝1260°，解得：n＝7．答：多边形的边数为7．8．（和平区期末）如图，五角星的顶点为A、B、C、D、E，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数？【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AGE＝∠A+∠C，∠DFE＝∠B+∠D，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【解析】：如图，由三角形的外角性质得，∠AGE＝∠A+∠C，∠DFE＝∠B+∠D，∵∠AGE+∠DFE+∠E＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．9．（阜平县期中）已知n边形的内角和θ＝（n﹣2）×180°．（1）当θ＝900°时，求出边数n；（2）小明说，θ能取800°，这种说法对吗？若对，求出边数n；若不对，说明理由．【分析】（1）将θ＝900°代入内角和公式，直接计算即可；（2）将θ＝800°代入内角和公式，求出n的值，若n的值为整数，则可以取800°，若n的值为分数，则不可以取800°．【解析】：（1）900°＝（n﹣2）×180°，整理得n﹣2＝5，解得n＝7；（2）小明的说法不对．理由如下：当θ取800时，800°＝（m﹣2）×180°，解得n=58∵n为正整数，∴θ不能取800°．10．（江岸区校级月考）求出下列图形中x的值．【分析】（1）根据三角形的外角性质求解即可；（2）根据四边形内角和是360°求解即可．【解析】：（1）由三角形的外角性质得，x+（x+10）＝x+70，即2x+10＝x+70，解得，x＝60．（2）根据四边形的内角和为360°得，x+（x+10）+90+60＝360，解得，x＝100．11．（玄武区校级月考）如图，在△ABC中，∠A＝80°，∠C＝60°，F、H是BC上的点，FG⊥AC，HD⊥AC，垂足分别为G、D，在AB上取一点E，使∠BED+∠B＝180°，求四边形BEDH各内角的度数．【分析】根据平行线的判定得出DH∥FG，DE∥BC，根据平行线的性质得出∠CFG＝∠DHC，∠DHC＝∠HDE，即可求出答案．【解析】：∵∠BED+∠B＝180°，∴CB∥DE，∵∠C＝60°，∴∠ADE＝60°，∵∠A＝80°，∴∠AED＝180°﹣∠A﹣∠ADE＝180°﹣80°﹣60°＝40°，∵HD⊥AC，∴∠HDA＝90°，∴∠HDE＝∠HDA﹣∠ADE＝90°﹣60°＝30°，∵CB∥DE，∴∠DHB＝180°﹣∠HDE＝180°﹣30°＝150°，∵∠DEB是△ADE的外角，∴∠DEB＝∠A+∠ADE＝80°+60°＝140°，∴∠B＝180°﹣∠DEB＝180°﹣140°＝40°．综上，四边形BEDH各内角度数为：∠B＝40°，∠BED＝140°，∠HDE＝30°，∠DHB＝150°．12．（襄城区期末）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，将四边形沿对角线BD折叠，点A恰好落在DC边上的点E处，若∠EBC＝20°，求∠EBD的度数．【分析】易得∠DEB＝110°，那么根据折叠得到∠DAB＝110°，进而利用平行得到∠ABC的度数，那么就可得到∠ABE的度数，除以2就是∠EBD的度数．【解析】：∵∠EBC＝20°，DC⊥BC，∴∠BEC＝70°，∴∠DEB＝110°，∴∠DAB＝110°，∵AD∥BC，∴∠ABC＝70°，∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝70°﹣20°＝50°，∴∠EBD=12∠13．（邗江区月考）如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．（1）求证：∠A+∠C＝∠B+∠D．利用以上结论解决下列问题：（2）如图2所示，∠1＝130°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为260°．（3）如图3，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD，AB分别相交于点M，N．①若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数．②若角平分线中角的关系改成“∠CAP=14∠CAB，∠CDP=14∠CDB”，试直接写出∠P与∠【分析】（1）根据三角形的内角和即可得到结论；（3）①根据角平分线的定义得到∠CAP＝∠BAP，∠BDP＝∠CDP，再根据三角形内角和定理得到∠CAP+∠C＝∠CDP+∠P，∠BAP+∠P＝∠BDP+∠B，两等式相减得到∠C﹣∠P＝∠P﹣∠B，即∠P=12（∠C+∠B），然后把∠C＝120°，∠②与①的证明方法一样得到4∠P＝∠B+3∠C．【解析】：（1）证明：在图1中，有∠A+∠C＝180°﹣∠AOC，∠B+∠D＝180°﹣∠BOD，∵∠AOC＝∠BOD，∴∠A+∠C＝∠B+∠D；（2）如图2所示，∵∠DME＝∠A+∠E，∠3＝∠DME+∠D，∴∠A+∠E+∠D＝∠3，∵∠2＝∠3+∠F，∠1＝130°，∴∠3+∠F＝∠2＝∠1＝130°，∴∠A+∠E+∠D+∠F＝130°，∵∠B+∠C＝∠1＝130°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝260°．故答案为：260°．（3）①以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP∴2∠P+∠BAP+∠CDP＝∠B+∠C+∠CAP+∠BDP，∵AP、DP分别平分∠CAB和∠BDC，∴∠BAP＝∠CAP，∠CDP＝∠BDP，∴2∠P＝∠B+∠C，∵∠B＝100°，∠C＝120°，∴∠P=12（∠B+∠C）②3∠P＝∠B+2∠C，其理由是：∵∠CAP=14∠CAB，∠CDP=1∴∠BAP=34∠CAB，∠BDP=3以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP∴∠C﹣∠P＝∠CDP﹣∠CAP=14（∠CDB﹣∠∠P﹣∠B＝∠BDP﹣∠BAP=34（∠CDB﹣∠∴3（∠C﹣∠P）＝∠P﹣∠B，∴4∠P＝∠B+3∠C．14．（新吴区月考）（1）如图①，把三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的内部时，∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律∠A=12（2）如果把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED的外部点A′的位置，如图②，此时∠A与∠1、∠2之间存在什么样的关系？（3）如果把四边形ABCD沿EF折叠，使点A、D落在四边形BCFE的内部A′、D′的位置，如图③，你能求出∠A、∠D、∠1与∠2之间的关系吗？（直接写出关系式即可）【分析】（1）根据折叠的性质表示出∠ADE、∠AED，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；（2）先根据折叠的性质及平角的定义表示出∠ADE、∠AED，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；（3）先根据折叠的性质表示出∠ADE、∠AED，再根据四边形的内角和定理列式整理即可得解；【解析】：（1）根据折叠的性质可知：∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，∴∠1＝180°﹣2∠ADE①，∠2＝180°﹣2∠AED②，①+②，得∠1+∠2＝360°﹣2（∠ADE+∠AED），∵∠ADE+∠AED+∠A＝180°，∴∠ADE+∠AED＝180°﹣∠A，∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝360°﹣360°+2∠A＝2∠A，∴∠A=1故答案为：∠A=1（2）根据折叠的性质可知，∴∠1＝180°﹣2∠ADE①，∠2＝2∠AED﹣180°②，①﹣②，得∠1﹣∠2＝180°﹣2∠ADE﹣2∠AED+180°＝360°﹣2（∠ADE+∠AED），∴2（∠ADE+∠AED）＝360°﹣（∠1﹣∠2），∵∠A+∠ADE+∠AED＝180°，∴∠ADE+∠AED＝180°﹣∠A，∴2（180°﹣∠A）＝360°﹣（∠1﹣∠2），360°﹣2∠A＝360°﹣∠1+∠2，∴∠1﹣∠2＝2∠A，∴∠A=1（3）根据折叠的性质可知，∠AEF=1∠DFE=1∵∠A+∠D+∠AEF+∠DFE＝360°，∴∠A+∠D+12（180°﹣∠1）∴2（∠A+∠D）＝∠1+∠2+360°，∴∠A+∠D=115．（徐州期中）如图，在四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°．（1）如图1，若∠B＝∠C，则∠C＝70度；（2）如图2，若∠ABC的角平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，试求出∠C的度数；（3）①如图3，若∠ABC和∠DCB的角平分线交于点E，试求出∠BEC的度数；②在①的条件下，若延长BA、CD交于点F（如图4）．将原来条件“∠A＝140°，∠D＝80°”改为“∠F＝40°”．其他条件不变．则∠BEC的度数为110°．【分析】（1）根据四边形内角和等于360°求出∠B+∠C的度数，再除以2即可求解；（2）先根据平行线的性质得到∠ABC的度数，再根据角平分线定义和四边形内角和即可求解；（3）①根据四边形内角和求出∠ABC+∠BCD的度数，再根据角平分线定义得到∠EBC+∠ECB的度数，最后根据三角形内角和即可求解，②根据三角形内角和及角平分线定义即可求解．【解析】：（1）∵四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°，∴∠B+∠C＝360°﹣（140°+80°）＝140°，∵∠B＝∠C，∴∠C＝70°．（2）∵BE∥AD，∴∠ABE+∠A＝180°，∴∠ABE＝180°﹣∠A＝180°﹣140°＝40°，∵∠ABC的角平分线BE交DC于点E，∴∠ABC＝80°，∴∠C＝360°﹣（140°+80°+80°）＝60°．（3）①∵四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°，∴∠B+∠C＝360°﹣（140°+80°）＝140°，∵∠ABC和∠BCD的角平分线交于点E，∴∠EBC+∠ECB＝70°，∴∠BEC＝180°﹣70°＝110°．②∵∠F＝40°，∴∠FBC+∠BCF＝180°﹣40°＝140°，∵∠ABC和∠BCD的角平分线交于点E，∴∠EBC+∠ECB＝70°，∴∠BEC＝180°﹣70°＝110°．16．（沂水县期末）（1）已知图①中的三角形ABC，分别作AB，BC，CA的延长线BD，CE，AF，测量∠CBD，∠ACE，∠BAF的度数，并计算∠CBD+∠ACE+∠BAF．由此你有什么发现？请利用所学知识解释说明；（2）类似地，已知图②中的四边形PQRS，分别作PQ，QR，RS，SP的延长线QG，RH，SM，PN，测量∠RQG，∠SRH，∠PSM，∠QPN的度数，并计算∠RQG+∠SRH+∠PSM+∠QPN．由此你又有什么发现？（3）综合（1）（2）的发现，你还能进一步得到什么猜想？【分析】（1）根据三角形内角和与邻补角的定义求解即可；（2）根据四边形内角和与邻补角的定义求解即可；（3）根据多边形内角和与邻补角的定义求解即可．【解析】：（1）∠CBD＝138°，∠ACE＝117°，∠BAF＝105°，所以∠CBD+∠ACE+∠BAF＝360°，发现：三角形中的外角和为360°，理由：因为∠CBD+∠ABC＝180°，∠ACE+∠ACB＝180°，∠BAC+∠BAF＝180°，所以∠CBD+∠ACE+∠BAF+∠ABC+∠ACB+∠BAC＝540°，又因为∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，所以∠CBD+∠ACE+∠BAF＝360°；（2）∠RQG＝125°，∠SRH＝113°，∠PSM＝48°，∠QPN＝74°，所以∠RQG+∠SRH+∠PSM+∠QPN＝360°；发现：在四边形的外角和是360°；∵∠RQG+∠PQR＝180°，∠SRH+∠QRS＝180°，∠PSM+∠RSP＝180°，∠QPN+∠QPS＝180°，∵∠RQG+∠PQR+∠SRH+∠QRS+∠PSM+∠RSP+∠QPN+∠QPS＝720°，∵∠PQR+∠QRS+∠RSP+∠QPS＝360°，∴∠RQG+∠SRH+∠PSM+∠QPN＝360°．（3）猜想：多边形的外角和和都是360°．设多边形为n边形，则n边形的每一个内角与它相邻的外角的和为180°，∴n边形的外角和＝180°n﹣（n﹣2）×180°＝180°n﹣180°n+360°＝360°．17．（丛台区校级期末）在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角的3倍还大20°，（1）求这个多边形的边数；（2）若将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是多少？【分析】（1）设多边形的一个外角为α，则与其相邻的内角等于3α+20°，根据内角与其相邻的外角的和是180度列出方程，求出α的值，再由多边形的外角和为360°，求出此多边形的边数为360°÷α；（2）剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变．根据多边形的内角和定理可以知道，边数增加1，相应内角和就增加180度，由此即可求出答案．【解析】：（1）设多边形的一个外角为α，则与其相邻的内角等于3α+20°，由题意，得（3α+20）+α＝180°，解得α＝40°．即多边形的每个外角为40°．又∵多边形的外角和为360°，∴多边形的外角个数=360∴多边形的边数＝9，答：这个多边形的边数是9；（2）因为剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，当截线为经过对角2个顶点的直线时，多边形的边数减少了1条边，内角和＝（9﹣2﹣1）×180°＝1080°；当截线为经过多边形一组对边的直线时，多边形的边数不变，内角和＝（9﹣2）×180°＝1260°；当截线为只经过正方形一组邻边的一条直线时，多边形的边数增加一条边，内角和＝（9﹣2+1）×180°＝1440°．答：将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是1080°或1260°或1440°．18．（雨花区校级月考）已知：如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝∠BAD．（1）求证：AD∥BC；（2）若∠ABC的平分线交CD的延长线于点E，过点E作EF⊥EB交BA的延长线于点F，∠F＝50°，求∠BCD的度数．【分析】（1）根据平行线的性质得到∠BCD+∠CBA＝180°，再根据等量关系得到∠BAD+∠CBA＝180°，根据平行线的判定即可求解；（2）根据直角三角形的性质可求∠ABE的度数，根据角平分线的定义可求∠ABC的度数，再根据平行线的性质得到∠BCD的度数．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠BCD+∠CBA＝180°，∵∠BCD＝∠BAD，∴∠BAD+∠CBA＝180°，∴AD∥BC；（2）解：∵EF⊥EB，∠F＝50°，∴∠ABE＝40°，∵CD是∠ABC的平分线，∴∠ABC＝80°，∵AB∥CD，∴∠BCD＝100°．19．（即墨区期末）“转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化成简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题．（1）请你根据已经学过的知识求出下面星形图（1）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数；（2）若对图（1）中星形截去一个角，如图（2），请你求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；（3）若再对图（2）中的角进一步截去，你能由题（2）中所得的方法或规律，猜想图3中的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N的度数吗？只要写出结论，不需要写出解题过程）【分析】（1）根据三角形外角的性质和三角形内角和定理可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数；（2）根据三角形外角的性质和四边形内角和等于360°可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；（3）根据图中可找出规律∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，并且每截去一个角则会增加180度，由此即可求出答案．【解析】：（1）∵∠1＝∠2+∠D＝∠B+∠E+∠D，∠1+∠A+∠C＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°；（2）∵∠1＝∠2+∠F＝∠B+∠E+∠F，∠1+∠A+∠C+∠D＝360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°；（3）根据图中可得出规律∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，每截去一个角则会增加180度，所以当截去5个角时增加了180×5度，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝180°×5+180°＝1080°．20．（齐齐哈尔期末）探究与发现：探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？已知：如图1，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系．探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？已知：如图2，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？已知：如图3，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系．【分析】探究一：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠FDC＝∠A+∠ACD，∠ECD＝∠A+∠ADC，再根据三角形内角和定理整理即可得解；探究二：根据角平分线的定义可得∠PDC=12∠ADC，∠PCD=1探究三：根据四边形的内角和定理表示出∠ADC+∠BCD，然后同理探究二解答即可．【解析】：探究一：∵∠FDC＝∠A+∠ACD，∠ECD＝∠A+∠ADC，∴∠FDC+∠ECD＝∠A+∠ACD+∠A+∠ADC＝180°+∠A；探究二：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，∴∠PDC=12∠ADC，∠PCD=1∴∠P＝180°﹣∠PDC﹣∠PCD＝180°−12∠ADC−＝180°−12（∠ADC+∠＝180°−12（180°﹣∠＝90°+12∠探究三：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，∴∠PDC=12∠ADC，∠PCD=1∴∠P＝180°﹣∠PDC﹣∠PCD＝180°−12∠ADC−＝180°−12（∠ADC+∠＝180°−12（360°﹣∠A﹣∠=12（∠A+∠21．（巴南区期中）已知边数为n的多边形的一个外角是m°，内角和是x°，外角和是y°．（1）当x＝2y时，求n的值；（2）若x+y+m＝2380，求m的值．【分析】（1）根据多边形的外角和定理和多边形的内角和公式列代数式求解即可；（2）把多边形的内角和公式与外角和定理代入所给代数式求解即可，m是小于180的．【解析】：（1）∵多边形的外角和为360°，∴y＝360，∵n边形的内角和为（n﹣2）×180°，∴x＝（n﹣2）×180＝180n﹣360，∵x＝2y，∴180n﹣360＝2×360，∴n＝6．（2）∵x+y+m＝2380，∴180n﹣360+360+m＝2380，即180n+m＝2380，∵n边形的一个外角是m°，∴m＜180，∵n为正整数，∴n为2380÷180的整数部分，m为2380÷180的余数，∵2380÷180＝13⋯⋯40，∴m＝40．22．（中山市校级期中）回答下列问题：（1）如图①，△ABC的内角∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线相交于P点，∠A＝40°，∠P的度数＝20°（直接写出答案）．（2）如图②，四边形ABCD中，设∠A＝α，∠D＝β，∠P为四边形ABCD的内角∠ABC与外角∠DCE的平分线所在直线相交而形成的锐角，如图②，若α+β＞180°，求∠P的度数（用α，β的代数式表示，写出详细过程）．【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠CBP=12∠ABC，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平分线的定义表示出∠DCP，然后整理即可得到∠P=1（2）先根据四边形内角和等于360°，得出∠ABC+∠DCB＝360°﹣（α+β），根据内角与外角的关系和角平分线的定义得出∠ABC+（180°﹣∠DCE）＝360°﹣（α+β）＝2∠PBC+（180°﹣2∠DCP）＝180°﹣2（∠DCF﹣∠FBC）＝180°﹣2∠P，从而得出结论．【解析】：（1）∵BP平分∠ABC，∴∠CBP=12∠∵CP平分△ABC的外角，∴∠DCP=12∠ACD=12（∠A+∠ABC）=12在△BCP中，由三角形的外角性质，∠DCP＝∠CBP+∠P=12∠ABC+∠∴12∠A+12∠ABC=12∴∠P=12∠A（2）∵∠ABC+∠DCB＝360°﹣（α+β），∴∠ABC+（180°﹣∠DCE）＝360°﹣（α+β）＝2∠FBC+（180°﹣2∠DCP）＝180°﹣2（∠DCP﹣∠FBC）＝180°﹣2∠P，∴360°﹣（α+β）＝180°﹣2∠P，2∠P＝α+β﹣180°，∴∠P=12（α+23．（江岸区校级月考）在四边形ABCD中，O在其内部，满足∠ABO=1n∠ABC，∠DCO=1（1）如图1，当n＝2时，如果∠A+∠D＝260°，直接写出∠O的度数130°；（2）当n＝3时，M、N分别在AB、DC的延长线上，BC下方一点P，满足∠CBP＝2∠PBM，∠BCP＝2∠PCN，①如图2，判断∠O与∠P之间的数量关系，并证明你的结论；②如图3，延长线段BO、PC交于点Q，△BQP中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，直接写出∠A+∠D的度数为210°或240°．【分析】（1）首先根据四边形的内角和及角平分线的定义，求出∠OBC+∠OCD，进而根据三角形的内角和定理即可求解；（2）①首先由已知求出∠OBC=23∠ABC，∠PBC=23∠MBC，根据平角的定义得出∠PBO＝∠PBC+∠OBC②在△BQP中，由①得∠PBQ＝120°，根据题意分二种情况进行讨论：（a）∠P＝2∠Q，（b）∠Q＝2∠P，分别求解即可．【解析】：（1）∵∠ABO=1n∠ABC，∠DCO=1∴当n＝2时，∠ABO=12∠ABC，∠DCO=1∴∠ABC＝2∠CBO，∠DCB＝2∠OCB，∵∠A+∠D＝260°，∠A+∠D+∠ABC+∠DCB＝360°，∴∠ABC+∠DCB＝100°，∴∠CBO+∠OCB＝50°，∴∠O＝180°﹣（∠CBO+∠OCB）＝130°；故答案为：130°；（2）①∠O+∠P＝120°．证明：∵∠ABO=1n∠ABC，∠DCO=1∴当n＝3时，∠OBC=23∠ABC，∠OCB=2∵∠CBP＝2∠PBM，∠BCP＝2∠PCN，∴∠CBP=23∠CBM，∠BCP=2∴∠PBO＝∠PBC+∠OBC=23（∠CBM+∠ABC）同理∠PCO＝120°，∵∠O+∠P+∠PBO+∠PCO＝360°，∴∠O+∠P＝360°﹣120°﹣120°＝120°．②由①得：∠PBQ＝120°，∠PCO＝120°，如果△BQP中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分二种情况：（a）∠P＝2∠Q，∵∠PBQ＝120°，∴∠Q＝20°，则∠P＝40°，∴∠PBC+∠BCP＝180°﹣40°＝140°，∴∠CBO+∠OCB＝2×120°﹣140°＝100°，∵∠OBC=23∠ABC，∠OCB=2∴∠ABC+∠DCB＝150°，∴∠A+∠D＝360°﹣150°＝210°；（b）∠Q＝2∠P，∵∠PBQ＝120°，∴∠P＝20°，则∠Q＝40°，∴∠PBC+∠BCP＝180°﹣20°＝160°，∴∠CBO+∠OCB＝2×120°﹣160°＝80°，∵∠OBC=23∠ABC，∠OCB=2∴∠ABC+∠DCB＝120°，∴∠A+∠D＝360°﹣120°＝240°．综上所述，∠A+∠D的度数为：210°或240°．故答案为：210°或240°．24．（袁州区校级期中）（1）如图1我们称之为“8”字形，请直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系；（2）如图2，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝540度；（3）如图3所示，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，猜想∠B，∠P，∠D之间的数量关系，并证明．【分析】（1）根据三角形内角和定理即可得出∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）∠6，∠7的和与∠8，∠9的和相等．由多边形的内角和得出答案即可；（3）先根据“8字形”中的角的规律，可得∠1+∠D＝∠P+∠3①，∠4+∠B＝∠2+∠P②，由已知条件∠1＝∠2，∠3＝∠4，将①+②，可得2∠P＝∠D+∠B．【解析】：（1）如图1，∵∠A+∠B+∠AOB＝∠C+∠D+∠COD＝180°，∠AOB＝∠DOC，∴∠A+∠B＝∠C+∠D；（2）∵∠6，∠7的和与∠8，∠9的和相等，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠8+∠9＝540°，故答案为：540．（3）如图3，由图知，∠1+∠D＝∠P+∠3①，∠4+∠B＝∠2+∠P②，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，①+②得：∠1+∠D+∠4+∠B＝∠P+∠3+∠2+∠P，即2∠P＝∠D+∠B．25．（袁州区校级期中）四边形ABCD中，∠BAD的角平分线与边BC交于点E，∠ADC的角平分线交直线AE于点O．（1）若点O在四边形ABCD的内部，①如图1，若AD∥BC，∠B＝50°，∠C＝70°，则∠DOE＝120°；②如图2，试探索∠B、∠C、∠DOE之间的数量关系，并将你的探索过程写下来．（2）如图3，若点O在四边形ABCD的外部，请你直接写出∠B、∠C、∠DOE之间的数量关系．【分析】（1）①根据平行线的性质和角平分线的定义可求∠BAE，∠CDO，再根据三角形外角的性质可求∠DOE的度数；②根据三角形外角的性质和角平分线的定义可得∠DOE和∠BAD、∠ADC的关系，再根据四边形内角和等于360°可求∠B、∠C、∠DOE之间的数量关系；（2）根据四边形和三角形的内角和得到∠BAD+∠ADC＝360°﹣∠B﹣∠C，∠EAD+∠ADO＝180°﹣∠DOE，根据角平分线的定义得到∠BAD＝2∠EAD，∠ADC＝2∠ADO，于是得到结论．【解析】：（1）①∵AD∥BC，∠B＝50°，∠C＝70°，∴∠BAD＝130°，∠ADC＝110°，∵AE、DO分别平分∠BAD、∠CDA，∴∠OAD＝65°，∠ADO＝55°，∴∠DOE＝∠OAD+∠ADO＝65°+55°＝120°故答案为：120；②∠B+∠C+2∠DOE＝360°，理由：∵∠DOE＝∠OAD+∠ADO，∵AE、DO分别平分∠BAD、∠CDA，∴2∠DOE＝∠BAD+∠ADC，∵∠B+∠C+∠BAD+∠ADC＝360°，∴∠B+∠C+2∠DOE＝360°；（2）∠B+∠C＝2∠DOE，理由：∵∠BAD+∠ADC＝360°﹣∠B﹣∠C，∠EAD+∠ADO＝180°﹣∠DOE，∵AE、DO分别平分∠BAD、∠CDA，∴∠BAD＝2∠EAD，∠ADC＝2∠ADO，∴∠BAD+∠ADC＝2（∠EAD+∠ADO），∴360°﹣∠B﹣∠C＝2（180°﹣∠DOE），∴∠B+∠C＝2∠DOE．26．（天心区期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC，DF平分∠CDA．（1）若∠ABC＝76°，求∠AEB的大小；（2）求证：BE∥DF．【分析】（1）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结果；（2）根据四边形的内角和定理和∠A＝∠C＝90°，得∠ABC+∠ADC＝180°；根据角平分线定义、等角的余角相等易证明和BE与DF两条直线有关的一对同位角相等，从而证明两条直线平行．【解答】（1）解：∵∠ABC＝76°，BE平分∠ABC，∴∠ABE=1∴∠AEB＝180°﹣∠A﹣∠ABE＝180°﹣90°﹣38°＝52°；（2）证明：∵∠A＝∠C＝90°，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠ABE＝∠CBE=12∠ABC，∠ADF＝∠CDF=1∴∠ABE+∠ADF=12（∠ABC+∠ADC）又∠ABE+∠AEB＝90°，∴∠ADF＝∠AEB，∴BE∥DF．27．（青秀区校级期中）已知某正多边形的一个内角都比它相邻外角的3倍还多20°．（1）求这个正多边形一个内角的度数；（2）求这个正多边形的内角和．【分析】（1）设这个正多边形的一个外角的度数为x°，利用一个内角与相邻外角互补得到180°﹣x°＝3x°+20°，解得x°＝40°，再由180°﹣x°即可计算；（2）根据外角和定理计算出正多边形的边数，然后根据多边形内角和定理计算即可．【解析】：（1）设这个正多边形的一个外角的度数为x°，根据题意得180°﹣x°＝3x°+20°，解得x°＝40°，180°﹣x°＝140°，所以这个正多边形一个内角的度数140°；（2）因为这个正多边形的一个外角的度数为40°，所以这个正多边形边数＝360°÷40°＝9，所以这个正多边形的内角和是（9﹣2）×180°＝1260°．28．（温岭市期中）已知一个n边形的每个内角是135°．（1）求n；（2）求这个n边形的内角和．【分析】（1）利用内角度数计算出外角度数，然后再利用外角和求边数即可；（2）利用多边形内角和公式计算即可．【解析】：（1）∵一个n边形的每个内角是135°，∴每一个外角度数为：180°﹣135°＝45°，∴n＝360°÷45°＝8；（2）内角和：180°×（8﹣2）＝180°×6＝1080°．29．（蜀山区校级期中